劉天帥, 魏興波, 高先龍

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

自1958年安德森局域[1]提出以來(lái),擴(kuò)展相到局域相的相變已經(jīng)被廣泛研究.目前,較為集中的2個(gè)研究方向是遷移率邊[2-4]及多體安德森局域[3-5].單體系統(tǒng)相對(duì)簡(jiǎn)單,但能夠反映出多體系統(tǒng)的部分性質(zhì),所以對(duì)于單體系統(tǒng)的研究仍具有重要意義.

在多體系統(tǒng)的無(wú)序外勢(shì)里加入隨機(jī)相位,計(jì)算能級(jí)差比率(定義為相鄰2個(gè)能級(jí)差的最小值和最大值之比)及其平均值[6-7]是研究不同相統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一種常見(jiàn)手段.這種方法能夠在有限系統(tǒng)中明確區(qū)分?jǐn)U展相和局域相.現(xiàn)有的研究結(jié)果表明,多體系統(tǒng)中能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值在擴(kuò)展相中會(huì)呈現(xiàn)出高斯正交分布(Gauss orthogonal ensemble,GOE)[8],其對(duì)應(yīng)的平均值〈r〉=0.530 7;而在局域相中,能級(jí)差比率則表現(xiàn)出泊松統(tǒng)計(jì)[9]的特性,對(duì)應(yīng)的平均值〈r〉=0.386 0.但是在一維單體系統(tǒng)中,能級(jí)差比率的方法是否依然適用? 是否仍然體現(xiàn)出多體的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)? 這還是一個(gè)值得研究的問(wèn)題.

在單體系統(tǒng)中,一維具有準(zhǔn)無(wú)序外勢(shì)的Aubry-André (A-A)模型已被證實(shí)了這樣一個(gè)結(jié)論:隨著無(wú)序外勢(shì)強(qiáng)度W/t的增加,系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷不同的相:當(dāng)W/t<2時(shí),系統(tǒng)處于擴(kuò)展相;當(dāng)W/t=2時(shí)，系統(tǒng)處于臨界相;當(dāng)W/t>2時(shí),系統(tǒng)處于局域相[10-13].W/t<2和W/t>2的情況已經(jīng)被大量研究,但是對(duì)于W/t=2的情況,尤其是臨界相的能級(jí)差比率,至今仍沒(méi)有確切的研究結(jié)果.臨界相的能級(jí)差比率是否也體現(xiàn)出某種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)?它的值是否也是確定的?這仍然有待研究.

1 模型及方法

標(biāo)準(zhǔn)的A-A模型其臨界相只是一個(gè)點(diǎn).為了更好地研究臨界相,筆者選取如下的模型進(jìn)行研究[14],其形式為

-(t+λi-1+Vi-1)ui-1-(t+λi+1+Vi+1)ui+1+Wiui=εiui.

(2)

若令t+λi+Vi=Ti,則方程對(duì)應(yīng)的矩陣為

本文主要采用能級(jí)差比率的方法研究臨界相性質(zhì).在準(zhǔn)無(wú)序勢(shì)Wi中加入隨機(jī)相位計(jì)算能級(jí)差比率是一種研究系統(tǒng)局域性質(zhì)常見(jiàn)的方法,能級(jí)差比率的定義為

式(4)中:δi= |εi-εi+1|表示相鄰2個(gè)能級(jí)的能級(jí)差.在不同的相中,ri會(huì)表現(xiàn)出不同的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),當(dāng)相位為φW時(shí),能級(jí)差比率的平均值

計(jì)算能級(jí)差比率需要計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)的能級(jí),所以本文采用對(duì)角化矩陣的方法進(jìn)行數(shù)值模擬,當(dāng)λi=Vi=0時(shí),此模型為標(biāo)準(zhǔn)的A-A模型.當(dāng)Wi=0時(shí),矩陣只存在非對(duì)角線上的躍遷,此時(shí)模型變?yōu)榉菍?duì)角(off-diagonal)A-A模型.

2 結(jié)果分析與討論

2.1 Aubry-André 模型

圖1展示了不同系統(tǒng)尺寸下能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值與準(zhǔn)無(wú)序勢(shì)強(qiáng)度的關(guān)系.由圖1可以看出, 在φW=0時(shí),能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值在臨界相、局域相和擴(kuò)展相3個(gè)不同的區(qū)域差異明顯.這就說(shuō)明,可以在φW= 0時(shí)由計(jì)算系統(tǒng)的能級(jí)差比率來(lái)確定3個(gè)相的范圍.同時(shí),也可以看到臨界相出現(xiàn)在W/t= 2 時(shí)(見(jiàn)圖1(a)),不同系統(tǒng)尺寸下,臨界相的能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值都具有相近的值〈r〉≈0.236.當(dāng)考慮了隨機(jī)相位φW的影響時(shí)(見(jiàn)圖1(b)),在臨界相區(qū)域,能級(jí)差比率〈r〉≈0.320,比0.236 稍大.隨著系統(tǒng)尺寸的增加,系統(tǒng)在擴(kuò)展相的能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值逐漸接近于1,與多體系統(tǒng)中的高斯正交分布不同,原因是單體系統(tǒng)中沒(méi)有真正的各態(tài)歷經(jīng).同時(shí),在局域相中,能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值〈r〉≈0.380.這與多體系統(tǒng)的結(jié)果一致,此時(shí)能級(jí)差比率表現(xiàn)出泊松統(tǒng)計(jì)性質(zhì).而在臨界相,能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值〈r〉≈0.310,有別于局域相和擴(kuò)展相,是我們發(fā)現(xiàn)的新的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.

(a)φW=0 (b)φW∈ [0,2π] 的任意隨機(jī)數(shù),隨機(jī)次數(shù)n= 10 000

圖1 能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值與準(zhǔn)無(wú)序勢(shì)強(qiáng)度的關(guān)系

2.2 Off-diagonal Aubry-André模型

平均逆參與率(用“MIPR”表示)[14]是研究局域化性質(zhì)的一種手段,它能夠界定局域相、臨界相、擴(kuò)展相的范圍,其定義為

圖2展示了不同公度調(diào)制和非公度調(diào)制下的MIPR.由MIPR的分布可以看出,在非對(duì)角A-A模型中,臨界相的范圍由公度調(diào)制和非公度調(diào)制共同決定,其范圍為λ/t=1-V/t和λ/t=1+V/t.而在臨界相的兩側(cè)區(qū)域,MIPR值明顯低于臨界相的值,可以判斷出此時(shí)系統(tǒng)處于擴(kuò)展相.圖3展示的是當(dāng)φV=0時(shí),不同非公度調(diào)制強(qiáng)度V下,能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值和公度調(diào)制強(qiáng)度的關(guān)系.比較圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn),二者在相變點(diǎn)附近都具有明顯的變化(圖2、圖3中，系統(tǒng)參數(shù)為：Wi=0;L=987;α=610/987;φV=0).這就說(shuō)明,φV=0時(shí),能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值的確能夠用于確定臨界相的范圍.除此之外,還可以看到,在臨界相的范圍內(nèi),能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值〈r〉≈0.190,這與A-A模型臨界相的〈r〉不同.說(shuō)明不同模型下,同為臨界相,其能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值并非一個(gè)恒定的常數(shù).

圖2 不同公度調(diào)制和非公度調(diào)制下的MIPR圖3 不同非公度調(diào)制強(qiáng)度V下,能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值和公度調(diào)制強(qiáng)度λ的關(guān)系

圖4 考慮φV 為隨機(jī)相位時(shí)能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值與公度調(diào)制的關(guān)系

波函數(shù)幾率密度也可以體現(xiàn)擴(kuò)展、臨界、局域性質(zhì)的不同特征.圖5展示了不同公度調(diào)制和非公度調(diào)制下基態(tài)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)幾率密度,系統(tǒng)參數(shù)為:L=987,α=610/987.圖5(a)對(duì)應(yīng)的能量本征值為E=-2.023 1，當(dāng)選取V/t=0.5，λ/t=0.3時(shí)，相當(dāng)于圖2中的擴(kuò)展相區(qū)域(此時(shí)λ/t<0.5及λ/t>1.5),可以看到波函數(shù)幾率密度彌散到整個(gè)系統(tǒng)空間,故此時(shí)系統(tǒng)處于擴(kuò)展態(tài);圖5(b)對(duì)應(yīng)的能量本征值為E=-2.634 5,當(dāng)選取V/t=0.5,λ/t=1.0時(shí)，相當(dāng)于圖2中的臨界相區(qū)域(此時(shí)0.5<λ/t<1.5),可以看到波函數(shù)幾率密度呈現(xiàn)出既非局域相的δ函數(shù)性質(zhì),也非擴(kuò)展相的性質(zhì)[15],故系統(tǒng)處于臨界狀態(tài).

3 總 結(jié)

本文通過(guò)能級(jí)差比率方法研究了一維A-A模型和非對(duì)角A-A模型中的臨界相,發(fā)現(xiàn)用能級(jí)差比率的方法可以直接確定擴(kuò)展相、臨界相和局域相的范圍,與加入隨機(jī)相位后得到的結(jié)論一致.另外,不同模型中,臨界相能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值是一個(gè)不同的常數(shù),但在同一個(gè)模型下臨界相具有相同的能級(jí)差比率的統(tǒng)計(jì)平均值.

下一步,筆者將進(jìn)一步運(yùn)用能級(jí)差比率方法研究多體系統(tǒng)的臨界相統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和多體局域性質(zhì).

Wi=0,L=987,α=610/987