基于數(shù)學模型下的雙層玻璃窗保溫分析

余秀玲

摘 要：近年來，中空玻璃逐漸占據(jù)市場，雙層玻璃是中空玻璃的典型代表，應用十分廣泛。分別對雙層玻璃窗和單層玻璃窗建立數(shù)學模型，先提出模型的準備與假設，建立模型，再對模型進行求解與分析，解釋了雙層玻璃窗更加保溫的特性。最后對模型的應用做出了說明，并對模型進行了分析與思考。

關鍵詞：初等數(shù)學模型；雙層玻璃窗；單層玻璃窗；分析

中圖分類號：TB 文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2018.17.092

1 模型的準備與假設

北方地區(qū)冬季天氣寒冷，建筑一般采用雙層玻璃，近年來，南方的建筑也開始使用雙層玻璃設計。很明顯，雙層玻璃的保溫效果更佳，我國每年在建設圍護部件總能耗方面，門窗能耗都要占其一半左右。因此目前雙層玻璃廣泛應用于各種方面，在改善人們生活質量和提高建筑節(jié)能水平方面都做出了巨大貢獻，因此對雙層玻璃進行研究與分析是十分重要的。對于雙層玻璃窗的保溫分析，可以采取初等數(shù)學模型進行分析，首先提出假設，對問題進行簡化分析，使其基本符合模型。假設玻璃的材料均勻且熱傳導系數(shù)為一常數(shù)；玻璃的密封性能良好，即兩層玻璃之間的空氣是靜止干燥、不流動的，無對流現(xiàn)象發(fā)生；忽略室內與室外的熱量輻射問題，只考慮玻璃與空氣的熱量傳導。

2 模型的建立

如圖1所示，分別對雙層玻璃窗和同材料的單層玻璃窗根據(jù)牛頓冷卻定律建立模型，來描述室內與室外的熱量傳導過程。

已知牛頓冷卻定律：對于兩側溫度差為ΔT、厚度為d的均勻介質，溫度高的一側必然會向溫度低的一側進行熱量傳導，且單位時間內通過單位面積的熱量ΔQ正比于ΔT，反比于d，即Q=kΔTd，k為熱傳導系數(shù)。

首先對雙層玻璃建立模型，如上左圖，設玻璃的熱傳導系數(shù)為k1，空氣的熱傳導系數(shù)為k2，根據(jù)牛頓冷卻定律，可以得到室內到內側玻璃流失的熱量為Q1=k1T1-Tad，內側玻璃到外側玻璃流失的熱量為Q2=k2Ta-Tbl，外側玻璃到室外流失的熱量為Q3=k1Tb-T2d。由于熱量在傳導過程中，忽略輻射與對流現(xiàn)象，則滿足能量守恒定律，即室內到內側玻璃流失的熱量=內側玻璃到外側玻璃流失的熱量=外側玻璃到室外流失的熱量。聯(lián)立Q雙=k1T1-Tad=k2Ta-Tbl=k1Tb-T2d，解得Q雙=k1T1-T2d（s+2），其中s=pk1k2，p=ld。對單層玻璃建立模型，直接帶入公式有Q單=k1T1-T22d。

3 模型的求解與分析

根據(jù)牛頓冷卻定律分別對單層玻璃和雙層玻璃建立了初等數(shù)學模型，現(xiàn)在來求解為什么雙層玻璃更加保溫的特性。根據(jù)上文，我們有Q雙=k1T1-T2d（s+2），Q單=k1T1-T22d，那么Q雙Q單=2dd（s+2）=2s+2<1，說明雙玻璃流失的熱量更小，即更加保溫。由這個比值公式還可以進一步計算出雙層玻璃在減少熱量流失的效率，由s=pk1k2，查詢相關文獻資料得到常用玻璃的熱傳導系數(shù)為k1=4×10-3～8×10-3J/cm·s·kw·h，靜止干燥的空氣的熱傳導系數(shù)k2=2.5×10-4J/cm·s·kw·h，則k1k2=16～32，則取最保守的計算，Q雙Q單max=18p+1，由此可得雙層玻璃在減少熱量損失的效率上只與P有關，即與l和d的比值有關?？勺龀鯭雙Q單隨p變化的曲線，如圖2所示。

由圖可知，Q雙Q單隨著p逐漸減小，但減小速度先快后慢，在p等于4時，即l=4d時，曲線走向變得十分緩慢。令p=4，帶入公式有Q雙Q單=0.03，即說明雙層玻璃窗較單層玻璃窗減少熱量損失至少在97%以上。如果p值取的更大，效率并沒有明顯提高，反而使得雙層玻璃的制作比較復雜，所以p沒有必要取的很大。

4 模型的應用與思考

4.1 模型的應用

該模型在建筑維護部件上得到了廣泛應用，相比于單層玻璃的成本和制作工藝上，雖然雙層玻璃不僅成本高些，制作工藝也稍顯復雜，但是雙層玻璃能大量減少熱量的損耗，給人們帶來更加舒適便捷的生活。就上文的分析中，當l=4d時，至少能減少熱量損失97%以上。這個結論常常用于建筑工業(yè)上，但是由于實際上，雙層玻璃中的空氣往往達不到理想狀態(tài)，即完全干燥靜止，所以k2一般會高于理論值，減少的熱量損失總是小于97%。另外，僅僅通過雙層玻璃來減少房間的熱量損失是遠遠不夠的，熱量還會通過天花板、墻壁、地板等流失。

4.2 模型的思考

熱量損失大量減少的原因在于空氣的熱傳導系數(shù)很小，查閱資料可知，對于真空，熱量的傳遞方式有三種：對流、傳導、輻射。其中傳導和對流是需要介質，熱輻射是不需要介質的。因此，熱量在真空中不可以傳導，保溫效果將會更好。那么為什么不將雙層玻璃窗中的空氣抽成真空或者近似真空呢？究其原因十分簡單，因為當雙層玻璃中的氣體為空氣時，玻璃層內外的壓強是一樣的。而當把玻璃層的氣體換成真空時，內外的壓強不同，壓力差將會比較大，如果遇到碰撞和大風，則很容易壓碎，存在安全隱患問題。前面提出的假設中提到?jīng)]有熱輻射，但是實際生活中這是不可能，就算是雙層真空玻璃杯，也會有熱輻射，這也就解釋了為什么裝了熱水的真空玻璃杯的外壁還是有熱度的。

參考文獻

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