許 超，鄒光明，王興東，王 黎

1 引言

高階軌跡規(guī)劃主要應(yīng)用在工業(yè)機(jī)器人、精密機(jī)床、微機(jī)械等高精密設(shè)備中，與二階梯形速度曲線相比，其運(yùn)動(dòng)曲線更加平滑，穩(wěn)定性大大增加，能夠使設(shè)備運(yùn)動(dòng)中的沖擊性和殘余振動(dòng)極大地減小[1-2]。為實(shí)現(xiàn)對(duì)平板式催化劑裝箱效率的提升，改善工人工作狀況，降低工人的勞動(dòng)強(qiáng)度，提高企業(yè)的自動(dòng)化水平和節(jié)約其生產(chǎn)成本，因此設(shè)計(jì)了一種能夠使工人避免高強(qiáng)度、高密度作業(yè)的裝箱自動(dòng)化設(shè)備。該設(shè)備包含板材定位裝置、搬運(yùn)機(jī)器人裝置、自動(dòng)換箱裝置、板材整平裝置。其搬運(yùn)機(jī)器人采用成本低，可靠性高，模塊化程度高的直角坐標(biāo)系機(jī)器人，x軸和z軸采用同步帶傳動(dòng)方式，但考慮到帶傳動(dòng)剛性略小[3]，屬于柔性件傳動(dòng)，傳動(dòng)部分的剛度大小與伺服控制系統(tǒng)的閉環(huán)共振頻率點(diǎn)息息相關(guān)，帶傳動(dòng)很容易出現(xiàn)共振頻率點(diǎn)，從而導(dǎo)致機(jī)器人在工作過程中的定位和速度跟蹤有很大波動(dòng)，且有可能出現(xiàn)振蕩情形，顯著增加機(jī)械噪音，頻繁的快速啟、停動(dòng)作對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的沖擊和磨損非常嚴(yán)重，為了能夠使平板式催化劑裝箱設(shè)備在裝箱過程中運(yùn)動(dòng)快速平穩(wěn)，運(yùn)動(dòng)規(guī)劃對(duì)平板式催化劑裝箱作業(yè)顯得尤為重要。

梯形速度曲線運(yùn)動(dòng)主要是加速度突變產(chǎn)生無限大的瞬間沖擊量[4]，而高階軌跡曲線，不管是加速度工作過程還是其他時(shí)刻，其沖擊值始終是個(gè)非突變的數(shù)，原理上是高階運(yùn)動(dòng)軌跡過程把伴隨沖擊釋放的能量分散到加速時(shí)間段上，從而把對(duì)機(jī)器損傷程度降到最小。運(yùn)動(dòng)曲線階數(shù)越高[5]，速度曲線越光滑，但是輸入信號(hào)只能控制加速度和速度，加加速度是不可以控制的，只能用作計(jì)算，并且速度曲線越繁雜，就會(huì)拖慢系統(tǒng)的響應(yīng)速度，所以在實(shí)際運(yùn)用中，并不是速度曲線階數(shù)越高設(shè)備運(yùn)行效果越好。因此裝箱設(shè)備中的搬運(yùn)機(jī)器人和換箱裝置采取的是三階點(diǎn)對(duì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)控制模式，根據(jù)設(shè)備實(shí)物結(jié)構(gòu)和工作環(huán)運(yùn)動(dòng)方式[6]，在傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的基礎(chǔ)上，提出了一種以時(shí)間最優(yōu)為規(guī)劃目標(biāo)的高精度點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡規(guī)劃方法以減少對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的沖擊和殘余振動(dòng)，并用于實(shí)際工程項(xiàng)目中，提高板式催化劑的裝箱效率。

2 裝箱設(shè)備工藝動(dòng)作的分析

設(shè)計(jì)的平板式催化劑裝箱設(shè)備，如圖1所示。其板材搬運(yùn)機(jī)器人為一種三自由度的直角坐標(biāo)系機(jī)器人，因?yàn)槠桨迨酱呋瘎┭b箱要求為連續(xù)的兩塊板要前后交錯(cuò)排列、水平旋轉(zhuǎn)180°裝箱，因此該機(jī)器人包含水平方向平移運(yùn)動(dòng)、豎直方向上下運(yùn)動(dòng)和板材抓取吸盤的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)三個(gè)自由度。其運(yùn)動(dòng)可分為上升階段：機(jī)器人吸盤從傳送帶上的抓取位置吸起產(chǎn)品，上升到擋板的高度；到位階段：機(jī)器人從板材抓取位置上方移動(dòng)到箱子平臺(tái)位置的上方；下降階段：機(jī)器人從箱子平臺(tái)位置上方下降到箱子平臺(tái)位置進(jìn)行裝箱，其裝箱工作方向示意圖，如圖2所示。當(dāng)箱子裝滿時(shí)，換箱裝置開始動(dòng)作，將裝箱完成的換箱平臺(tái)移出工位，將空箱平臺(tái)移入工位，開始下一階段的裝箱過程。

圖1 平板式催化劑裝箱設(shè)備Fig.1 Plate Type Catalyst Packing Equipment

圖2 搬運(yùn)機(jī)器人工作方向示意圖Fig.2 Working Direction of Handling Robot

3 高階軌跡規(guī)劃

平板式催化劑裝箱設(shè)備在工作中總是常常處于快速啟、停和速度較高的運(yùn)動(dòng)模式，其加、減速過程對(duì)機(jī)器設(shè)備的性能具有很大影響，容易激起殘余振動(dòng)。要使得設(shè)備運(yùn)行得更穩(wěn)定、快速和定位更精確，則當(dāng)它啟、停時(shí)需要保證速度運(yùn)行曲線是平緩的[7]，而不應(yīng)出現(xiàn)加速度突變，目前許多學(xué)者已提出了很多可行的軌跡規(guī)劃及光滑處理的方法，但這些方法一般會(huì)大大增加軌跡規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)執(zhí)行時(shí)間，影響設(shè)備運(yùn)行效率，不利于向高階擴(kuò)展。因此依照高階規(guī)劃的特點(diǎn)，提出了一種既能滿足給定速度，又能保證高階軌跡規(guī)劃運(yùn)動(dòng)最大參數(shù)值的一種三階軌跡規(guī)劃的控制算法，并根據(jù)軌跡的各自情況總結(jié)出其共同特征并推導(dǎo)其算法公式，描述了軌跡的全局預(yù)處理過程，實(shí)現(xiàn)了時(shí)間優(yōu)化，并據(jù)此給出軌跡規(guī)劃[7]的實(shí)現(xiàn)流程。

平板式催化劑裝箱要求保證終點(diǎn)位置精度，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為兩點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)，通常會(huì)采用直線運(yùn)動(dòng)以實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的快速性，并且起止點(diǎn)對(duì)應(yīng)的約束為零，三階點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡典型的對(duì)稱位置軌跡包含勻加加速段，勻加速段，勻速段[8]，軌跡曲線，如圖3所示。

圖3 典型三階點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡輪廓Fig.3 Typical 3 Order Point to Point Trajectory Profile

但若更改某些給定的約束條件，軌跡曲線將不含勻加速段或勻速段，即運(yùn)動(dòng)軌跡存在多種情形[9]，通過總結(jié)分析各種情況相應(yīng)的特征約束，并對(duì)相關(guān)公式進(jìn)行推導(dǎo)，概括總結(jié)出用來判別各種情況的準(zhǔn)則，由此實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡的精確規(guī)劃。加速度軌跡情形主要有以下幾種：（1）情形一、加速度為梯形且上下兩梯形不相連情形，如圖4（a）所示。此情形表示整個(gè)運(yùn)行位移較大，最大加速度先達(dá)最大值后，最大速度的最大值先于位移到達(dá)，此時(shí)速度軌跡含有常速段。（2）情形二、加速度為梯形且上下兩梯形相連情形，如圖4（b）所示。此情形表示整個(gè)運(yùn)行位移較大，最大加速度先達(dá)最大值后，最大速度的最大值先于位移到達(dá)，此時(shí)速度軌跡不含常速段。（3）情形三、加速度為三角形且上下兩三角形不相連情形如圖4（c）所示。此情形表示整個(gè)運(yùn)行位移較大、但速度小或者是運(yùn)行位移小、但速度更小，在速度滿足的情況下，加速度還沒到達(dá)最大值，運(yùn)動(dòng)位移還未滿足，此時(shí)速度軌跡含有常速段。（4）情形四加速度為三角形且上下兩三角形相連情形，如圖4（d）所示。此情形表示整個(gè)運(yùn)行位移小、速度大或者是速度小位移更小，在速度和加速度都未滿足的情況下，位移已到最大值，此時(shí)速度軌跡不含常速段。

圖4 四種加速度軌跡情形Fig.4 Four Kinds of Acceleration Trajectories

4 三階軌跡規(guī)劃算法

三階軌跡公式推導(dǎo)和算法實(shí)現(xiàn)：這里給定加加速度常數(shù)h，最大加速度amax，最大速度vmax，位移s。為使算法對(duì)以上四種情形都適用，故將以上四種情形都按加速度為梯形且上下兩梯形不相連處理。因此，三階軌跡運(yùn)行時(shí)間被劃分為7個(gè)時(shí)間段t1-t7，7個(gè)時(shí)間段對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)為：

軌跡規(guī)劃的加加速度為位移對(duì)時(shí)間的三階導(dǎo)數(shù)，為速度對(duì)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，為加速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，軌跡規(guī)劃的數(shù)據(jù)通過積分進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算公式，如式（1）所示。

但如果采用上述積分公式對(duì)各個(gè)時(shí)間段求解，要解大量的方程式，大大增加了計(jì)算量，因此我們?cè)谟?jì)算中不采用此方法，而采用工程中運(yùn)用的面積分割法來對(duì)各時(shí)間段求解，這樣就極大的簡(jiǎn)化了推導(dǎo)過程，體現(xiàn)了工程應(yīng)用中直接、簡(jiǎn)單的要求。面積分割法步驟如下，根據(jù)圖4，加加速度動(dòng)作的時(shí)間為t1，勻加速時(shí)間段為t2，勻速時(shí)間段t4，確定了這三個(gè)參數(shù)后，再根據(jù)軌跡的對(duì)稱性計(jì)算出整個(gè)軌跡的時(shí)間。在t′1時(shí)間點(diǎn)上加速度 a（t′1）的大小為加加速度h在時(shí)間t1段上的矩形面積，即a（t′1）=ht。在 t′3時(shí)間點(diǎn)上速度v3的值等于圖中加速度在前3個(gè)時(shí)間段圍成的梯形面積，v3=a（t′1）（t1+t2），整個(gè)位移的大小等于速度v在7個(gè)時(shí)間段上面積的總和，即s=v3（t1+t2+t3+t4）。由式（1）可以看出對(duì)三階公式的求解就是求解加加速時(shí)間段、加速度時(shí)間段和勻速時(shí)間段，這三個(gè)參數(shù)確定后就可確定整個(gè)軌跡的運(yùn)行時(shí)間。推導(dǎo)各時(shí)間段時(shí)間，參考基準(zhǔn)先按極端情況考慮，即可分為兩組情形，第一種是恰好達(dá)到最大加速度，并以最快的對(duì)稱軌跡方式使速度和加速度為0，此時(shí)的速度和位移記為va和sa，計(jì)算公式為

第二種是速度達(dá)到最大值，并以最快的對(duì)稱軌跡方式使速度和加速度為0。若加速度在速度前達(dá)到最大值，則此時(shí)的位移記為 sv1，計(jì)算公式為

若加速度在速度前未達(dá)到最大值，則此時(shí)的位移記為sv2，計(jì)算公式為

（1）當(dāng)s≥sv2且vmax≥va時(shí)，此時(shí)加速度軌跡包含七段，形狀為梯形不相連的情形，最大加加速時(shí)間t1由加速度確定：

由軌跡對(duì)稱性可知t1=t3=t5=t7。勻加速時(shí)間段為：

由軌跡對(duì)稱性可知t2=t6。勻速時(shí)間段為：

（2）當(dāng) s≥sv2且 vmax＜va時(shí)，此加速度軌跡包含五段，形狀為三角形不相連的情形，最大加加速時(shí)間t1由速度確定：

由軌跡對(duì)稱性可知t1=t3=t5=t7。勻加速時(shí)間段為：t2=t6=0。

（3）當(dāng)s≥sa且s≤sv2時(shí)，此時(shí)加速度軌跡包含六段，形狀為梯形相連情形，此時(shí)可達(dá)到的速度為：

則最大加加速時(shí)間t1由加速度確定：t1=amax/h （11）

由軌跡對(duì)稱性可知t1=t3=t5=t7；

勻加速時(shí)間段為：t2=（vmaxsub-a2max/h）/amax（12）

由軌跡對(duì)稱性可知t2=t6；勻速時(shí)間段為：t4=0。

（4）當(dāng) sv1≤s≤sa且 vmax＜va時(shí)，此加速度軌跡包含五段，形狀為三角形不相連的情形，最大加加速時(shí)間t1由速度確定：

由軌跡對(duì)稱性可知t1=t3=t5=t7；

勻加速時(shí)間段為：t2=t6=0；

（5）當(dāng) s≤sa且 vmax＞va或 s≤sa且 s＜sv1時(shí)，此加速度軌跡包含四段，形狀為三角形相連的情形，此時(shí)加速度最大值為：

最大加加速時(shí)間t1由速度確定：t1=amaxsub/h （16）

由軌跡對(duì)稱性可知t1=t3=t5=t7；勻加速時(shí)間段為：t2=t6=0；勻速時(shí)間段為：t4=0。

經(jīng)過以上過程，已求出加加速度時(shí)間段，勻加速度時(shí)間段和勻速時(shí)間段，相應(yīng)的軌跡公式如下：

在t7時(shí)間段：

由于計(jì)算機(jī)在運(yùn)算中會(huì)省略一部分浮點(diǎn)運(yùn)算，會(huì)使計(jì)算精度降低，因此對(duì)此軌跡必須進(jìn)行離散化處理和圓整化處理。

5 仿真及結(jié)果分析

本催化劑裝箱設(shè)備的搬運(yùn)機(jī)器人沿著x軸的位移需根據(jù)不同尺寸的催化劑板進(jìn)行調(diào)整，其位移區(qū)間為（1.3～2）m，下面列出幾組不同約束條件下的仿真結(jié)果，給定其約束參數(shù)如表1中參數(shù)一～參數(shù)四所示。

從表1可知：參數(shù)一可達(dá)到給定速度和加速度，所需總時(shí)間為4.1333s，勻加加速時(shí)間為0.3s，運(yùn)動(dòng)曲線有七個(gè)階段組成，運(yùn)動(dòng)曲線，如圖5（a）所示；參數(shù)二達(dá)到的最大速度為0.79m/s，所需總時(shí)間為3.2592s，勻加加速時(shí)間為0.3s，運(yùn)動(dòng)曲線有六個(gè)階段組成，不含勻速段，運(yùn)動(dòng)曲線，如圖5（b）所示；參數(shù)三可達(dá)到的最大加速度為0.8944m/s2，所需總時(shí)間為4.2s，勻加加速時(shí)間為0.8944s，運(yùn)動(dòng)曲線有五個(gè)階段組成，不含勻加速段，運(yùn)動(dòng)曲線，如圖5（c）所示；參數(shù)四可達(dá)到最大速度為0.7504m/s，最大加速度為0.8662m/s2，所需總時(shí)間為3.4649s，勻加加速時(shí)間為0.8662s，運(yùn)動(dòng)曲線有四個(gè)階段，不含勻加速和勻速段，運(yùn)動(dòng)曲線，如圖5（d）所示。

表1 給定的各組參數(shù)及其計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)Tab.1 Given Parameters of Each Group and Calculation Result Data

通過對(duì)比多次仿真結(jié)果可知：（1）在給定加加速度的情況下，由于運(yùn)行位移的距離不同導(dǎo)致加加速時(shí)間段不同，加速度和速度達(dá)到的最大值也不相等；由于給定速度或給定加速度不同得到的加速段時(shí)間也就不同，運(yùn)行的總時(shí)間也有差別，給定速度越大，所需總時(shí)間越短；（2）當(dāng)改變給定加加速度的情況下，給定加加速度越小，運(yùn)行總時(shí)間越長(zhǎng)。

6 結(jié)論

選用高階軌跡對(duì)設(shè)備中搬運(yùn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了規(guī)劃，在傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的基礎(chǔ)上，提出了以時(shí)間順序推導(dǎo)的一種以時(shí)間最優(yōu)為規(guī)劃目標(biāo)的高精度三階點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡規(guī)劃算法，即先求出滿足各個(gè)約束的時(shí)間參數(shù)，然后將各約束用時(shí)間參數(shù)表達(dá)后反向推導(dǎo)，最后得到軌跡規(guī)劃算法，并針對(duì)設(shè)備運(yùn)行位移長(zhǎng)度的差別，進(jìn)一步選出幾組參數(shù)給出了仿真驗(yàn)證，驗(yàn)證了此算法可以確保加速度和速度均連續(xù)變化，該算法計(jì)算量小，較易實(shí)現(xiàn)編程控制，算法對(duì)控制器要求不高，可大幅節(jié)約成本，對(duì)精度有高要求的直線運(yùn)動(dòng)設(shè)備有很大的借鑒價(jià)值。經(jīng)過試驗(yàn)驗(yàn)證，對(duì)催化劑板材搬運(yùn)過程的高精度軌跡運(yùn)動(dòng)優(yōu)化后，提高了其定位精度，并且減少了對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的沖擊和殘余振動(dòng)，運(yùn)行平穩(wěn)，裝箱效率大幅提高，取得了預(yù)期的效果。

圖5 幾組參數(shù)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)曲線圖Fig.5 Several Corresponding Motion Curve of Set Parameters