，，

(1.中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司，浙江 杭州 310014；2.杭州強夯基礎工程有限公司，浙江 杭州 310014)

0 引言

分數(shù)階微積分FOC(fractional order calculus)是求解任意階次微、積分的一種數(shù)學方法，其為整數(shù)階微積分的自然延伸。FOC理論的研究已有300多年的歷史，早在 1695年 ，Hospital L與Leibnitz G W就對某個函數(shù)的分數(shù)階導數(shù)問題進行過討論[1]。由于當時FOC缺乏明確的物理意義及有效的數(shù)學工具，致使FOC理論發(fā)展較為緩慢，故在實際應用中大都采用整數(shù)階的概念。直至1974年，在流變學、電化學、分形學及電力傳輸線理論等領域出現(xiàn)了FOC的應用背景，F(xiàn)OC理論才逐漸被國內(nèi)外學者所重視。隨著FOC數(shù)值算法的不斷發(fā)展、各種分數(shù)階控制系統(tǒng)的不斷提出，更加推動了分數(shù)階控制理論的發(fā)展，尤其是在20世紀末，F(xiàn)OC理論在控制系統(tǒng)中的應用已取得一些成果[2-5]。

FOC算子sα的數(shù)字實現(xiàn)是應用分數(shù)階控制理論的基礎，由于sα通常是復變量的無理函數(shù)，故其在實際應用中難以直接實現(xiàn)，此時需進行有理化近似，即采用高階有理傳遞函數(shù)對上述無理函數(shù)進行逼近。目前，常見的有理近似方法有多種，比較有代表性有：CFE法、Carlson法、Chareff法、Matsuda法及Oustaloup濾波算法等，其中又以Oustaloup濾波算法應用最為廣泛[2-3]。

標準Oustaloup濾波算法對FOC算子的幅頻、相頻特性具有很好的逼近效果，且擬合頻率段范圍較大，但其在擬合頻率段端點附近的逼近效果相對較差。為改善上述缺陷，薛定宇等[4]對原算法進行了改進，提出一種改進Oustaloup濾波算法。分析上述算法可知，參數(shù)b與d的數(shù)值大小，將直接影響到改進Oustaloup濾波算法對分數(shù)階微分算子sa的逼近精度，文獻[4]已給出其推薦值(b=10，d=9)，但它在擬合頻域段[wl,wh]端點附近的擬合效果仍不夠理想。鑒此，為進一步提高上述改進算法的逼近精度，利用文獻[6]提出的改進自適應混沌粒子群優(yōu)化算法(IACPSO算法)對參數(shù)b與d進行整定，進而使改進Oustaloup濾波算法在擬合頻域段內(nèi)達sa到實際幅頻、相頻特性的近似最優(yōu)逼近。

1 標準Oustaloup濾波算法及其改進算法

1.1 標準Oustaloup濾波算法

標準Oustloup濾波算法采用有理函數(shù)級聯(lián)的方式實現(xiàn)了對該無理函數(shù)的逼近，它的具體表達式為：

(1)

(2)

由式(1)可以看出，為實現(xiàn)對FOC算子sα的合理逼近，標準Oustaloup濾波算法需滿足wμ=(wlwh)1/2=1的要求，即wlwh=1。

1.2 改進Oustaloup濾波算法

標準Oustaloup濾波算法對FOC算子的幅頻、相頻特性均有很好近似，且近似頻率段的范圍相對較大，但它在頻率段端點附近逼近效果較差。為改善上述缺陷，文獻[4]提出了一種改進Oustaloup濾波算法，其實質(zhì)為在標準Oustaloup濾波算法前增加一個濾波器，它的具體表達式為：

sa≈Go(s)

(3)

(4)

2 基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法

2.1 目標函數(shù)的確定

為定量評價改進Oustaloup濾波算法對分數(shù)階微分算子sα幅頻、相頻特性的逼近精度，分別對擬合頻域段[wl,wh]內(nèi)的頻率與幅度絕對誤差乘積積分以及頻率與相位絕對誤差乘積積分進行了定義，其計算公式分別為：

(5)

(6)

由式(5)與式(6)可知，ME與PE值越小，則說明改進Oustaloup濾波算法對sα幅頻、相頻特性的逼近精度越高。此外，為便于IACPSO算法對b與d進行參數(shù)尋優(yōu)，將ME與PE的加權和作為參數(shù)b與d的優(yōu)化目標函數(shù)，即：

(7)

α1與α2為加權系數(shù)，用于調(diào)整幅頻及相頻特性近似的側重，取α1=0.9，α2=0.1。

2.2 參數(shù)設置及尋優(yōu)過程

IACPSO算法的參數(shù)設置為：wmax=0.9，wmin=0.4，c1max=c2max=2.5，c1min=c2min=0.5，閾值δ=5，適應度閾值fδ=0.1，η1=0.5，η2=10 000，自適應調(diào)節(jié)系數(shù)β=0.5，混沌迭代次數(shù)Cmax=10，算法種群規(guī)模N=20，最大迭代次數(shù)Tmax=100；改進Oustaloup濾波算法的參數(shù)設置為：wl=10-3，wh=103，擬合階次N=6，參數(shù)優(yōu)化范圍為0

為直觀反映出改進Oustaloup濾波算法參數(shù)b與d的尋優(yōu)過程，圖1與圖2分別示出了該過程的適應度值收斂曲線以及改進Oustaloup濾波算法最優(yōu)參數(shù)的收斂曲線。由圖1與圖2可知，由于需確定的參數(shù)僅有2個，故IACPSO算法只經(jīng)過20代左右的優(yōu)化計算，b與d的參數(shù)尋優(yōu)過程就已基本收斂，最終得到的最優(yōu)參數(shù)為b=5.387 8，d=0.752 6，此時MPE=0.081 3。

圖1 最優(yōu)適應度值收斂曲線

圖2 改進Oustaloup濾波算法參數(shù)的收斂曲線

2.3 參數(shù)設置及尋優(yōu)過程

為了驗證基于最優(yōu)參數(shù)(b=5.387 8，d=0.752 6)的改進Oustaloup濾波算法的有效性，利用該算法對分數(shù)階微分算子sα(0<α<1)進行整數(shù)階近似，并與標準Oustaloup濾波算法及基于推薦參數(shù)(b=10，d=9)的改進Oustaloup濾波算法進行對比，其中各算法的擬合階次N=6，擬合頻域段為[10-3,103]。上述各算法所對應的s0.5頻域特性曲線如圖3所示，表1給出了各算法下s0.5的幅值與相位值。

圖3 分數(shù)階微分算子s0.5的頻域特性曲線

結合圖3的幅頻、相頻特性曲線及表1中數(shù)據(jù)可知，在擬合頻域段[10-3,103]端點附近，基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法對s0.5的幅、頻特性有最好的逼近效果，其次是基于推薦參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法，標準Oustaloup濾波算法則逼近效果最差。以角頻率等于10-3rad/s為例，在對s0.5幅頻特性逼近方面，標準Oustaloup濾波算法與基于推薦參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法所對應的幅值分別為-28.578 dB與-29.597 dB，其與實際值(-30 dB)的相對誤差分別為4.740%與1.343%，而基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法的相對誤差僅為0.026 7%，較上述兩種算法，分別下降了99.43%、98.01%；同時，在對s0.5相頻特性逼近方面，標準Oustaloup濾波算法與基于推薦參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法所對應的相位值分別為22.495 dB與48.296 dB，其與實際值(45 dB)的相對誤差分別為50.01%、7.324%，而基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法的相對誤差僅為0.688 9%，較上述兩種算法，則分別下降了98.62%、90.59%。綜上可知，b取5.387 8、d取0.752 6對提升改進Oustaloup濾波算法在擬合頻域段端點附近的逼近精度具有明顯地促進作用。此外可見，基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法的理想擬合頻域段也得到較為明顯的擴展，由原先設定的[10-3,103]擴展到[10-4,104]左右，這在某種程度上彌補了改進Oustaloup濾波算法僅在設定頻域段具有較高逼近精度的不足。

為驗證基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法是否對任意階次(0<α<1)的分數(shù)階微分算子均具有更高的逼近精度，圖4與圖5分別示出了各算法所對應的ME，PE的對數(shù)值與分數(shù)階微分算子階次α的關系曲線，其中縱坐標分別為ME，PE的對數(shù)值。不同階次下各算法對應的ME，PE值如表2所示，從表中可以看出最優(yōu)參數(shù)。

圖4 ME與分數(shù)階微分算子階次α的關系曲線

結合圖4、圖5及表2可知，隨著階次α由0增至1，標準Oustaloup濾波算法的ME，PE值均呈逐漸增大之趨勢，而基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法及基于推薦參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法的ME，PE值則先增大后減小。此外可以看出，對(0,1)之間的任意階次α，基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法的ME，PE值均為三種算法中的最低值，以s0.1為例，其ME，PE值分別僅為0.014，0.124，較其它兩種算法則分別降低了92.09%、63.28%及97.54%、78.69%，可見下降幅度非常明顯，由此可說明，當wl=10-3，wh=103，擬合階次N=6時，基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup濾波算法對任意階次(0<α<1)的分數(shù)階微分算子均具有更高的逼近精度，從而為間接實現(xiàn)分數(shù)階PIλDμ控制器提供有力保證。

圖5 PE與分數(shù)階微分算子階次α的關系曲線

表1 各算法下分數(shù)階微分算子s0.5的幅值與相位值

表2 不同階次下各算法對應的ME，PE值

3 FOC算子的Simulink自定義仿真模塊

為便于構建分數(shù)階PIλDμ控制器的Simulink模型，分別對分數(shù)階微分算子sα(0<α<2)及積分算子sβ(-2<β<0)設計了一個基于上述連續(xù)整數(shù)階濾波器的Simulink自定義仿真模塊。由式(3)可知，連續(xù)整數(shù)階濾波器的分子與分母具有相同的階次，該情況易造成Simulink在仿真過程中出現(xiàn)代數(shù)環(huán)(algebraic loop)現(xiàn)象，致使計算失效。鑒此，在該濾波器后面接一個帶寬為10wh的低通濾波器以切斷代數(shù)環(huán)，在不影響仿真模塊計算精度的同時，盡可能地保證了計算穩(wěn)定性。基于Simulink模塊封裝技術，構造出的分數(shù)階微分算子sα(0<α<2)Simulink仿真模塊的內(nèi)部結構見圖6。分數(shù)階積分算子sβ(-2<β<0)Simulink仿真模塊的內(nèi)部結構見圖7。

圖6 分數(shù)階微分算子sα(0<α<2)的 Simulink仿真模塊

圖7 分數(shù)階積分算子sβ(-2<β<0)的 Simulink仿真模塊

4 結束語

針對基于推薦參數(shù)(b=10，d=9)的改進Oustaloup濾波算法在擬合頻域段端點附近對分數(shù)階微分算子逼近精度較低的問題，提出了一種基于IACPSO算法的改進Oustaloup濾波算法參數(shù)優(yōu)化方法，該方法將擬合頻域段內(nèi)的頻率與幅度、相位絕對誤差乘積積分的加權和作為優(yōu)化目標函數(shù)，利用IACPSO算法對常數(shù)b與d進行參數(shù)尋優(yōu)，經(jīng)多次獨立計算確定了一組最優(yōu)參數(shù)(b=5.387 8，d=0.752 6)。與標準Oustaloup算法、基于推薦參數(shù)的改進Oustaloup算法的對比結果表明，基于最優(yōu)參數(shù)的改進Oustaloup算法對任意階次(0<α<1)的分數(shù)階微分算子均具有更高的逼近精度，更寬的理想擬合頻域段。