劉桂珍,于 影,龔偉勝,崔博林,田鑫磊,聞邦椿

(1.佳木斯大學 機械工程學院,黑龍江 佳木斯 154007; 2.東北大學 機械工程與自動化學院,沈陽 110819)

裂紋故障是旋轉機械最常見的故障之一.伴隨大型旋轉機械向高速化發(fā)展,轉子系統(tǒng)作為其重要部件出現裂紋故障的頻率不斷增大.裂紋導致轉軸剛度減小并發(fā)生周期性變化,影響轉子運行的穩(wěn)定性.作為轉子系統(tǒng)后果最嚴重、最難以及時發(fā)現的故障,一旦裂紋擴展到一定程度后,就會引發(fā)突發(fā)性的事故,造成巨大的損失[1-3].所以，研究大型旋轉機械裂紋轉子的動力特性,提取轉子裂紋故障的特征信息，對設備安全預防具有重要的工程意義[4].

本文以裂紋故障為研究對象,利用拉格朗日方程建立了非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下裂紋轉子系統(tǒng)故障的4質量8自由度動力學模型,應用數值分析法,研究了當偏心量變化作為唯一控制參數時,裂紋轉子系統(tǒng)的動態(tài)響應.通過提取該故障轉子的分岔圖、時域波形圖、幅值譜圖和Poincare截面等振動信號的故障信息,對該系統(tǒng)響應的非線性行為和故障機理進行分析,所研究結果為大型旋轉機械的故障診斷和系統(tǒng)的安全運行提供理論依據.

1 力學模型與微分方程

1.1 拉格朗日方程描述

設有n個質點組成的質點系,受完整理想約束,具有N個自由度,其位置可由N個廣義坐標方程來確定,則有

(1)

式中:T系統(tǒng)的動能函數;Qi為作用在系統(tǒng)上的廣義力;qi為系統(tǒng)獨立的廣義坐標;N為系統(tǒng)的總自由度個數.

1.2 剛度影響系數的計算

設轉軸半徑為R、長度為L1的無質量彈性圓軸,在轉軸中央有一深度為a的弓形橫向裂紋,如圖1所示.如果只考慮裂紋處彎矩的作用,根據斷裂力學理論,由于裂紋的存在將在裂紋局部產生附加角位移.設在η,ξ方向彎矩作用下的局部柔度系數分別為[5-6]

(2)

0.199[1-sin(πη)]4}/cos(πη/2h)

2.02(η/h)+0.37[1-sin(πη)]3}/

cos(πη/2h)

(3)

(4)

式中:LR為支承跨度與轉盤位置的無量綱系數;v為泊松比.

1.3 非穩(wěn)態(tài)油膜力模型[7]

非線性油膜力模型采用短軸承假設下的Ca-pone非線性油膜力模型,該模型有較好的精度和收斂性.在短軸承油膜力假設條件下的無量綱雷諾方程為

圖1 裂紋截面示意圖Fig.1 Crack section of the rotor

圖2 柔度與無量綱裂紋深度關系Fig.2 Relation between flexibility and the crack deepness

(5)

由式(5)可得無量綱油膜壓力為

(6)

式中:D為軸承直徑.

無量綱非線性油膜力最終可以表示為

(7)

式中:

1.4 運動微分方程

圖3所示為轉子-定子-軸承系統(tǒng)中間軸上具有一橫向裂紋的力學模型,兩端由滑動軸承支撐,兩軸承之間為一無質量彈性轉軸,其轉軸半徑為R,長度為L1,轉軸中央有一對稱布置的圓盤,以及深度為a的弓形橫向裂紋.O1為轉子的幾何中心;Oc為轉子質心;mi(i=1,2,3,4)分別為轉子、軸承、定子和轉軸在軸承處的半集中質量,kg;ki(i=1,2,3)分別為轉軸、軸承支撐處和定子基礎的剛度系數,N·m-1;ci(i=1,2,3)分別為轉軸、軸承支撐設轉盤在水平方向、垂直方向移動的位移為x1,y1，左端軸承在水平方向、垂直方向移動的位移為x2,y2，定子在水平方向、垂直方向移動的位移為x3,y3，右端軸承座處水平方向、垂直方向移動位移x4,y4.

處和基礎對定子的阻尼系數,N·sm-1.

圖3 裂紋故障力學模型Fig.3 Mechanical model of crack fault

采用耗散能量形式的拉格朗日方程推導出對應裂紋故障的轉子-定子-軸承系統(tǒng)的質點運動微分方程:

(8)

式中:xi,yi(i=1,2,3,4)分別為應各質量的位移坐標;e為軸頸偏心量,b為圓盤偏心量,mm;Fx,Fy分別為水平、鉛垂方向的油膜力,N.

2 數值模擬

運用四階Runge-Kutta法對數值進行求解.在計算中為了能夠較快地得到穩(wěn)定解,應將步長選得盡量小且周期足夠多.為了消除瞬態(tài)響應的影響,舍棄前40個周期,計算軌跡圖時取后10～20個周期.選取系統(tǒng)參數如下:m1=4.0 kg,m2=32.1 kg,m3=50.0 kg,m4=20.0 kg;c1=1.05 kN·sm-1,c2=2.1 kN·sm-1,c3=2.1 kN·sm-1;k1=250 kN ·m-1,k2=250 kN·m-1,k3=25 000 kN·m-1,kr=1 000 kN·m-1;R=0.025 m;L=0.570 m;δ2=0.2 mm;η=0.018 MPa;R1=0.015 m;f=0.2;通過計算得出轉子系統(tǒng)的三級固有頻率分別為f1=13.974 7 Hz,f2=43.586 4 Hz,f3=113.109 6 Hz.

圖4(a)和圖4(b)分別表示轉子系統(tǒng)在激勵頻率ω=420 rad/s、裂紋初始相角β=π/2時轉子系統(tǒng)響應隨圓盤偏心量b變化的x,y方向變化的分岔圖.

圖4 系統(tǒng)響應x，y隨圓盤偏心量b變化的分岔圖Fig.4 System response of x and y with the bifurcation diagram of the disc eccentricity b changing

圖4中:當b=0.01 mm時,系統(tǒng)響應為周期運動;當b在區(qū)間(0.02,0.04)mm時,系統(tǒng)經周期運動演變?yōu)榛煦邕\動;當b在區(qū)間(0.05,0.06)mm時,系統(tǒng)響應為擬周期運動;當b在(0.06,0.07)mm時,系統(tǒng)響應為周期運動.由圖4可知,偏心量的大小對轉子系統(tǒng)的動力學行為有較大的影響.

圖5～圖8是激勵頻率ω=420 rad/s、裂紋初始相角β=π/2時,對應不同偏心量變化時的轉子系統(tǒng)響應.

當偏心量b=0.01 mm時,Poincare截面為一孤立點.幅值譜圖中在1/4倍頻、3/4倍頻和5/4倍頻等處出現離散譜峰;當偏心量b=0.02～0.04 mm時,Poincare截面為散點圖狀態(tài).幅值譜圖中在2/3倍頻、近1倍頻、近2倍頻以及近3倍頻等處出現離散譜峰;當偏心量b=0.05～0.06 mm時,Poincare截面有周期吸引子,幅值譜圖中在1/4倍頻、1倍頻和7/4倍頻等處出現離散譜峰;當偏心量b=0.07 mm時,Poincare截面呈一孤立點.幅值譜圖中在1/3倍頻、1/2倍頻、2/3倍頻等處出現離散譜峰.其動態(tài)響應如圖5～圖8所示.

圖5 b=0.01 mm時轉子系統(tǒng)響應的時域圖、幅值譜圖和Poincare截面Fig.5 Time-domain graph, frequency spectrum and Poincare map when b=0.01 mm

圖6 b=0.04 mm時轉子系統(tǒng)響應的時域圖、幅值譜圖和Poincare截面Fig.6 Time-domain graph, frequency spectrum and Poincare map when b=0.04 mm

圖7 b=0.06 mm時轉子系統(tǒng)響應的時域圖、幅值譜圖和Poincare截面Fig.7 Time-domain graph, frequency spectrum and Poincare map when b=0.06 mm

圖8 b=0.07 mm時轉子系統(tǒng)響應的時域圖、幅值譜圖和Poincare截面Fig.8 Time-domain graph, frequency spectrum and Poincare map when b=0.07 mm

3 結論

對帶有裂紋故障轉子-定子-軸承系統(tǒng)在不同偏心量下的運動特性研究,得出以下結論:

(1) 偏心量大小對運動的影響主要體現在分岔和混沌的時間上,當偏心量參數達到某一值時,系統(tǒng)響應不經過一系列分岔,而是突然變?yōu)榉侵芷诨煦邕\動,系統(tǒng)非線性變化的特點是分岔過程具有明顯的跳變現象;

(2) 裂紋的存在使轉軸剛度發(fā)生周期性變化,從而使轉子系統(tǒng)產生低頻激振現象;

(3) 隨著轉子偏心量的不同,系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性表現為上下波動,在一定偏心量的作用下轉子系統(tǒng)表現出較強的穩(wěn)定性.