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(溫州市教育教學(xué)研究院,浙江 溫州 325000)
筆者曾在本刊發(fā)表了題為“‘等弧度三圓共點(diǎn)圖’的幾個(gè)有趣性質(zhì)”和“‘等弧度三圓共點(diǎn)圖’中一個(gè)神奇的四點(diǎn)共圓”兩篇文章,給出了等弧度三圓共點(diǎn)圖的許多有趣性質(zhì).本文將繼續(xù)探究等弧度三圓共點(diǎn)圖并進(jìn)一步揭示其內(nèi)在的數(shù)學(xué)性質(zhì),給出一系列有趣的四點(diǎn)共圓.
圖1 圖2
文獻(xiàn)[1]揭示了“黃圓圖”中隱含的一個(gè)漂亮的四點(diǎn)共圓:
性質(zhì)1在“黃圓圖”中,點(diǎn)O1,O2,O3,D共圓.
文獻(xiàn)[2]又給出性質(zhì)1中的四點(diǎn)共圓存在一個(gè)美妙的性質(zhì):
本文將繼續(xù)探究“等弧度三圓共點(diǎn)圖”中內(nèi)在的性質(zhì),給出一系列有趣的四點(diǎn)共圓.
圖3 圖4
證明聯(lián)結(jié)MO1,NO1,O2D,O3D,MD,ND(如圖4),顯然MO1經(jīng)過點(diǎn)O2,NO1經(jīng)過點(diǎn)O3,根據(jù)性質(zhì)1可知,點(diǎn)O2,O1,D,O3共圓,從而
∠DO2O1=∠DO3O1.
又因?yàn)椤螪O2O1=2∠MDO2,∠DO3O1=2∠NDO3,所以
∠MDO2=∠NDO3,
從而
圖5 圖6
先給出一個(gè)結(jié)論:
∠MAB+∠CAN+∠CAB=180°,
即點(diǎn)M,N,A共線.
下證點(diǎn)A,E,F(xiàn),H共線.聯(lián)結(jié)AF,AE,F(xiàn)N,EM,延長(zhǎng)AE交⊙O1于點(diǎn)H′(如圖7).由FN,EM分別是⊙O3,⊙O2的直徑,知FA⊥MN,EA⊥MN,從而點(diǎn)A,E,F(xiàn)共線.又
∠H′AB=∠BAM=∠CAH′+∠CAN=90°,
于是
∠H′AB=∠CAH′,
圖7 圖8
∠M+∠MED=∠N+∠NFD=90°,
得
∠MED=∠NFD,
故點(diǎn)O1,E,D,F(xiàn)共圓,從而
圖9 圖10
證明先證點(diǎn)O1,H,C,F(xiàn)共圓.
即
∠HO1C=∠HFC,
因此,點(diǎn)O1,H,C,F(xiàn)共圓,從而
圖11
△BO1E≌△AO1E, ∠B=∠A.
而O1H=O1A,于是∠A=∠H,得∠B=∠H,因此,點(diǎn)O1,B,H,E共圓.由
又
△BO1H≌△CO1H,
故經(jīng)過點(diǎn)O1,H,C,F(xiàn)的圓與經(jīng)過點(diǎn)O1,B,H,E的圓是等圓.
圖12
關(guān)于這個(gè)“黃圓圖”,肯定還有許多有趣的性質(zhì),有待數(shù)學(xué)愛好者繼續(xù)研究(見文獻(xiàn)[1-3]).下面我們?cè)俳o出“黃圓圖”的一個(gè)性質(zhì),限于篇幅,其證明不再贅述,留給讀者完成.
1)⊙O2,⊙O3與大圓O1分別內(nèi)切于點(diǎn)M,N;