再探“等弧度三圓共點(diǎn)圖”*

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(溫州市教育教學(xué)研究院,浙江 溫州 325000)

筆者曾在本刊發(fā)表了題為“‘等弧度三圓共點(diǎn)圖’的幾個(gè)有趣性質(zhì)”和“‘等弧度三圓共點(diǎn)圖’中一個(gè)神奇的四點(diǎn)共圓”兩篇文章，給出了等弧度三圓共點(diǎn)圖的許多有趣性質(zhì).本文將繼續(xù)探究等弧度三圓共點(diǎn)圖并進(jìn)一步揭示其內(nèi)在的數(shù)學(xué)性質(zhì)，給出一系列有趣的四點(diǎn)共圓.

圖1 圖2

文獻(xiàn)[1]揭示了“黃圓圖”中隱含的一個(gè)漂亮的四點(diǎn)共圓：

性質(zhì)1在“黃圓圖”中，點(diǎn)O1，O2，O3，D共圓.

文獻(xiàn)[2]又給出性質(zhì)1中的四點(diǎn)共圓存在一個(gè)美妙的性質(zhì)：

本文將繼續(xù)探究“等弧度三圓共點(diǎn)圖”中內(nèi)在的性質(zhì)，給出一系列有趣的四點(diǎn)共圓.

圖3 圖4

證明聯(lián)結(jié)MO1，NO1，O2D，O3D，MD，ND(如圖4)，顯然MO1經(jīng)過點(diǎn)O2，NO1經(jīng)過點(diǎn)O3，根據(jù)性質(zhì)1可知，點(diǎn)O2，O1，D，O3共圓，從而

∠DO2O1=∠DO3O1.

又因?yàn)椤螪O2O1=2∠MDO2，∠DO3O1=2∠NDO3，所以

∠MDO2=∠NDO3，

從而

圖5 圖6

先給出一個(gè)結(jié)論：

∠MAB+∠CAN+∠CAB=180°，

即點(diǎn)M，N，A共線.

下證點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H共線.聯(lián)結(jié)AF，AE，F(xiàn)N，EM，延長(zhǎng)AE交⊙O1于點(diǎn)H′(如圖7).由FN，EM分別是⊙O3，⊙O2的直徑，知FA⊥MN，EA⊥MN，從而點(diǎn)A，E，F(xiàn)共線.又

∠H′AB=∠BAM=∠CAH′+∠CAN=90°，

于是

∠H′AB=∠CAH′，

圖7 圖8

∠M+∠MED=∠N+∠NFD=90°，

得

∠MED=∠NFD,

故點(diǎn)O1，E，D，F(xiàn)共圓，從而

圖9 圖10

證明先證點(diǎn)O1，H，C，F(xiàn)共圓.

即

∠HO1C=∠HFC,

因此，點(diǎn)O1，H，C，F(xiàn)共圓，從而

圖11

△BO1E≌△AO1E, ∠B=∠A.

而O1H=O1A，于是∠A=∠H，得∠B=∠H，因此，點(diǎn)O1，B，H，E共圓.由

又

△BO1H≌△CO1H，

故經(jīng)過點(diǎn)O1，H，C，F(xiàn)的圓與經(jīng)過點(diǎn)O1，B，H，E的圓是等圓.

圖12

關(guān)于這個(gè)“黃圓圖”，肯定還有許多有趣的性質(zhì)，有待數(shù)學(xué)愛好者繼續(xù)研究(見文獻(xiàn)[1-3]).下面我們?cè)俳o出“黃圓圖”的一個(gè)性質(zhì)，限于篇幅，其證明不再贅述，留給讀者完成.

1)⊙O2，⊙O3與大圓O1分別內(nèi)切于點(diǎn)M，N;