高守貴
一、矢量之間的運(yùn)算結(jié)果未必還是矢量
1.矢量之間加減,矢量和標(biāo)量之間乘除,其結(jié)果仍是矢量
矢量的加法通常用平行四邊形法則,由平行四邊形法則可推廣至三角形法則或正交分解法等。矢量減法是矢量加法的逆運(yùn)算,一個(gè)矢量減去另一個(gè)矢量,等于加上那個(gè)矢量的負(fù)矢量。矢量加、減法即是矢量之間的合成或分解,結(jié)果仍然具有方向性,依然是矢量。
矢量和標(biāo)量的乘積或除法可認(rèn)為將矢量放大或縮小。如F=ma,F(xiàn)與a同方向;v=S/t,v與S同方向。毫無(wú)疑問(wèn),運(yùn)算的結(jié)果仍為矢量,方向不變。
2.矢量和矢量之間的乘積,其結(jié)果未必是矢量
矢量和矢量的乘積可以構(gòu)成新的標(biāo)量,矢量間這樣的乘積叫標(biāo)積。如a=B·C,a變成了標(biāo)量,大小是a=bccosθ,(θ是由B和C所成的夾角)。
矢量和矢量的乘積也可能構(gòu)成新的矢量,矢量間這樣的乘積叫矢積。如力矩M=r×F=rFsinθ,感生電動(dòng)勢(shì)ε=Lv×B=LvBsinθ,洛侖茲力F=qv×B=qvBsinθ等,都是這種情況。
二、矢量和標(biāo)量學(xué)習(xí)中容易混淆的幾個(gè)問(wèn)題
1.有方向的物理量未必是矢量
電流有方向,但是電流卻是標(biāo)量,電流的運(yùn)算遵循一般的代數(shù)法則。電流的方向是人為規(guī)定的,即正電荷定向移動(dòng)的方向?yàn)殡娏鞯姆较颍娏鞯姆较蚺c真正矢量的方向有區(qū)別。
2.極少數(shù)矢量也遵循一般代數(shù)法則運(yùn)算
力矩是矢量,而合力矩的運(yùn)算卻遵循代數(shù)法則。這是因?yàn)樵谕黄矫嫔系牧胤较蛑挥心鏁r(shí)針?lè)较颍ㄕ胤较颍┖晚槙r(shí)針?lè)较颍ㄘ?fù)力矩方向)的緣故,它的運(yùn)算方法簡(jiǎn)化為代數(shù)加減。
3.標(biāo)量不能進(jìn)行正交分解
因?yàn)闃?biāo)量沒(méi)有方向性,所以分解標(biāo)量在物理意義上是行不通的。
如論證平拋運(yùn)動(dòng)中物體的機(jī)械能守恒:設(shè)物體質(zhì)量為m,水平初速度為v0,下落高度為h。
常見(jiàn)的錯(cuò)誤論證如下:根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),水平方向的分速度不變,所以水平方向機(jī)械能不變,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都是mv02。豎直方向相當(dāng)于自由落體運(yùn)動(dòng),初位置的機(jī)械能為重力勢(shì)能,大小為mgh;下落h高度后,豎直方向的分速度為√2gh,此時(shí)重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能,大小也為mgh,所以豎直方向的機(jī)械能也不變。故機(jī)械能守恒,命題得證。
上述論證在物理意義上是行不通的。因?yàn)橹挥辛?、速度等矢量才能進(jìn)行正交分解,而功和能都是標(biāo)量,所以不能進(jìn)行正交分解,無(wú)所謂“哪個(gè)方向上能量守恒”。由于對(duì)標(biāo)量、矢量在物理意義區(qū)分上出現(xiàn)混淆,才造成上述錯(cuò)誤。
三、矢量和標(biāo)量的辨別方法
1.矢量和標(biāo)量通常的辨別方法
物理矢量和標(biāo)量最本質(zhì)的區(qū)別是它們的定義、性質(zhì)、物理意義不同,不考慮方向無(wú)法完全確定的物理量是矢量;它們之間最明顯的區(qū)別是運(yùn)算方法不同,通常矢量運(yùn)算并不遵循代數(shù)法則,而是幾何運(yùn)算法則即平行四邊形法則等。
2.從維度方面來(lái)區(qū)別矢量和標(biāo)量
矢量和標(biāo)量的區(qū)別就是他們所依存的空間是多少維的,矢量一般需要二維或者三維,特殊情況下簡(jiǎn)化為一維,而標(biāo)量是一維的或者根本就沒(méi)有方向。
以力為例深入地分析矢量的維度和運(yùn)算,如果幾個(gè)力方向相同或相反,即簡(jiǎn)化為只在一個(gè)維度即一條直線(xiàn)上,它們之間的合成簡(jiǎn)化為代數(shù)加減。如果兩個(gè)共點(diǎn)力方向成一定夾角(不等于0°或180°),則它們?cè)趦蓚€(gè)維度即一個(gè)平面上,它們之間的合成只能依照平行四邊形法則等幾何運(yùn)算法則來(lái)運(yùn)算;若有三個(gè)或更多的共點(diǎn)力,則任取兩個(gè)力合成后取合力,此時(shí)一個(gè)合力代替了這兩個(gè)力而減少了一個(gè)力,再用合力與第三個(gè)力合成減少一個(gè)力,依此類(lèi)推,直至求出最終的合力,即使這些共點(diǎn)力不在同一個(gè)平面上,形成在三個(gè)維度即立體空間中合成,運(yùn)算方法也不變,n個(gè)共點(diǎn)力合成需要合成(n-1)次。
總之,只有從概念本質(zhì)理解物理標(biāo)量和矢量,掌握運(yùn)算規(guī)律,才能掃除學(xué)習(xí)上的障礙,從而更加深入地理解物理量的物理意義。
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