劉煥霞　趙鑫　林崇　馬瑞蘭

摘要： 針對(duì)廣義分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在微分階數(shù)0<α<1時(shí)的魯棒同步問(wèn)題，本文通過(guò)構(gòu)造同步信號(hào)得到響應(yīng)系統(tǒng)，利用實(shí)數(shù)域上正常廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的可容許性判據(jù)，結(jié)合Schur Complement定理等，進(jìn)一步考慮廣義分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的魯棒同步問(wèn)題。經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)，以線性矩陣不等式的形式給出一種廣義分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)魯棒同步的充分必要條件，并求出狀態(tài)反饋控制率，并利用兩個(gè)數(shù)值例子進(jìn)行證明。結(jié)果表明，與已有分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)魯棒同步定理相比，本文所得結(jié)果變量較少，結(jié)果以及推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔，對(duì)于正則性未知的廣義分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同樣適用，適用范圍較廣，說(shuō)明了本研究的有效性。該研究為廣義分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的魯棒同步問(wèn)題提供了理論指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞： 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)； 廣義系統(tǒng)； 不確定性； 魯棒同步； 可容許

中圖分類(lèi)號(hào)： TP13； O231.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

廣義系統(tǒng)又稱(chēng)為廣義狀態(tài)空間系統(tǒng)、微分代數(shù)系統(tǒng)等[1]，由廣義微分方程支配，賦予系統(tǒng)許多特殊特征，使廣義系統(tǒng)的研究比傳統(tǒng)的線性系統(tǒng)更復(fù)雜。近幾年研究發(fā)現(xiàn)，引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)時(shí)，對(duì)某些現(xiàn)象的描述更為精確，傳統(tǒng)的整數(shù)階系統(tǒng)的許多基本概念和結(jié)果已成功地推廣到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[17]。廣義分?jǐn)?shù)階微分方程在各學(xué)科和工程領(lǐng)域中的應(yīng)用得越來(lái)越廣泛。Ruilan M等人[89]給出正則無(wú)脈沖分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)可容許問(wèn)題的充分必要條件；Zhang X F等人[10]給出對(duì)于正則性未知的廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可容許的充分必要條件。目前，分?jǐn)?shù)階混沌微分系統(tǒng)的同步問(wèn)題在安全通信和控制處理中的潛在應(yīng)用被廣泛關(guān)注。Chen F X等人[11]利用線性狀態(tài)反饋方法，對(duì)具有不同參數(shù)攝動(dòng)和不同外部干擾的不確定混沌系統(tǒng)，分別在主從系統(tǒng)上建立了LMI形式的魯棒同步算法；A.A.Ahmadi等人[12]則研究了基于不確定混沌系統(tǒng)的魯棒同步問(wèn)題；Huang L L等人[13]對(duì)基于變結(jié)構(gòu)控制的不確定混沌系統(tǒng)的魯棒同步問(wèn)題進(jìn)行了深入研究；Chen L P等人[14]給出了分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)魯棒同步問(wèn)題的充分必要條件；張志明等人[15]研究了基于分?jǐn)?shù)階控制器的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步?；诖耍疚膶⒄７?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)推廣到廣義分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)，并基于文獻(xiàn)[10]，通過(guò)理論推導(dǎo)，得到該系統(tǒng)魯棒同步的充要條件，數(shù)值例子驗(yàn)證了本文結(jié)果的有效性。該研究對(duì)廣義分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)具有重要意義。

1問(wèn)題描述和預(yù)備知識(shí)

分?jǐn)?shù)階積分微分算子是整數(shù)階積分微分算子的廣義概念，可以用一般的基本算子表示。根據(jù)Caputo導(dǎo)數(shù)定義[16]，函數(shù)f（t）的α階導(dǎo)數(shù)為

Dαf（t）=1Γ（m-α）∫t0f（m）（s）（t-s）α+1-mds

式中，m為整數(shù)，且滿足m-1<α≤m；Γ（·）是Gamma函數(shù)；t∈（0，∞）是函數(shù)f（·）的自變量；s∈（0，t）是積分函數(shù)的自變量。

考慮如下廣義分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)

Edαxdtα=（A0+ΔA）x+f（x）（1）

其中，E∈Rn×n且rank（E）=r假設(shè)系統(tǒng)（1）的輸出信號(hào)為s（x），基于非線性觀測(cè)器的設(shè)計(jì)理念[1718]，可構(gòu)造同步信號(hào)為

s（x）=f（x）+Kx（2）

其中，K∈Rn×n是反饋增益矩陣。廣義分?jǐn)?shù)階非線性狀態(tài)觀測(cè)器為

Edαdtα=（A0+ΔA）+f（）+（s（x）-s（））（3）

其中，=（1，2，…，n）T∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)向量。

定義系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（3）之間的同步誤差e=-x，則廣義分?jǐn)?shù)階同步誤差系統(tǒng)為

Edeαdtα=（A0+ΔA-K）e（4）

為設(shè)計(jì)一個(gè)合適的反饋增益矩陣K，使該分?jǐn)?shù)階同步誤差系統(tǒng)（4）是可容許的，即

Limt→∞e=Limt→∞-x=0

定義1[9]對(duì)于廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)EDαx（t）=Ax（t），如果det（sαE-A）不恒為零，則稱(chēng)（E，A）正則；如果deg（det（sαE-A））=rankE，則稱(chēng)（E，A）無(wú)脈沖。其中deg·表示矩陣行列式最高階數(shù)，det（·）表示矩陣行列式。

定義2[8]如果廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)EDαx（t）=Ax（t）正則，當(dāng)且僅當(dāng)存在兩個(gè)非奇異矩陣P，Q，使如下等式成立，即

PEQ=Im00Jn-m， PAQ=A100In-m

其中，Jn-m是冪零矩陣。

引理1[10]假設(shè)廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)EDαx（t）=Ax（t）正則，矩陣P，Q滿足定義2，則：

1）若廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)EDαx（t）=Ax（t）是無(wú)脈沖的，當(dāng)且僅當(dāng)Jn-m=0。

2）若廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)EDαx（t）=Ax（t）是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)arg（spec（A））>α（π/2）。

3）若廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)EDαx（t）=Ax（t）是可容許的，當(dāng)且僅當(dāng)Jn-m=0，且arg（spec（A））>α（π/2）。

如果廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)EDαx（t）=Ax（t）的正則性未知，仍然會(huì)存在兩個(gè)非奇異矩陣P，Q，使

PEQ=Im000， PAQ=A1A2A3A4

引理2[10]系統(tǒng)EDαx（t）=Ax（t），0<α<1是可容許的，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)矩陣X1，X2∈Rm×m，X3∈R（n-m）×n，X4∈R（n-m）×（n-m），使如下不等式成立，即

X1X2-X2X1>0， Sym{aPAQX-bPAQY}<0，

X=X10X3X4， Y=X2000

其中，a=sin（α（π/2）），b=cos（α（π/2））。矩陣P，Q滿足引理1，Sym{M}=M+MT。

引理3[19]給定適當(dāng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣M和N，則對(duì)所有滿足FTF≤I的矩陣F，使

Φ+MFN+MTFTNT<0

成立的充分必要條件是存在ε>0，使如下不等式成立，即

Φ+εMMT+ε-1NTN<0

引理4[20]（Schur Complement）：對(duì)給定的實(shí)數(shù)矩陣S1，S2和S3，其中S3>0，S1+S2S-13ST2<0等價(jià)于

S1S2ST2-S3<0

2主要結(jié)果

定理1在微分階數(shù)（0<α<1）下，系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（3）之間實(shí)現(xiàn)魯棒同步，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)矩陣X1，X2∈Rm×m，X3∈R（n-m）×n，X4∈R（n-m）×（n-m）和L∈Rn×n，以及標(biāo)量ε>0，使如下不等式成立，即

Ω（aNQX-bNQY）T-εIn<0（5）

其中

Ω=sym{aPA0QX-bPA0QY-L}+ε（PM）（PM）T

式中，a=sin（απ/2）），b=cos（απ/2），矩陣P，Q滿足引理1，此時(shí)反饋增益矩陣為

K=P-1L（aNQX-bNQY）-1（6）

證明由引理2可知，系統(tǒng)（4）是可容許的充分必要條件為存在實(shí)數(shù)矩陣X1，X2∈Rm×m，X3∈R（n-m）×n，X4∈R（n-m）×（n-m），滿足

X1X2-X2X1>0， sym{aPAQX-bPAQY}<0

成立。

記A=A0+ΔA-K，L=PK（aNQX-bNQY），則有

sym{aPAQX-bPAQY}=sym（aPA0QX-bPA0QY-L）+sym{aPΔAQX-bPΔAQY}=sym{aPA0QX-bPA0QY-L}+sym{PMF（aNQX-bNQY）}<0

由引理3可知，上式成立等價(jià)于存在ε>0，使

sym{PMF（aNQX-bNQY）}≤εPMFFTMTPT+ε-1（aNQX-bNQY）T（aNQX-bNQY）≤εPM（PM）T+ε-1（aNQX-bNQY）T（aNQX-bNQY）

于是得

sym{aPAQX-bPAQY]≤sym{aPA0QX-bPA0QY-L}+εPM（PM）T+ε-1（aNQX-bNQY）T（aNQX-bNQY）<0（7）

通過(guò)引理5（Schurcomplement）可知，式（7）等價(jià)于式（5），所以系統(tǒng)（4）是可容許的。因此，系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（3）是魯棒同步的。證畢。

當(dāng)系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（3）無(wú)擾動(dòng)，即矩陣M=0，N=0時(shí)，可得到如下推論：

推論1系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（3）是魯棒同步的，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)矩陣X1，X2∈Rm×m，X3∈R（n-m）×n，X4∈R（n-m）×（n-m），L∈Rn×n，使如下不等式成立

sym{aPA0QX-bPA0QY-L}<0

式中，=PK（aQX-bQY）矩陣P，Q滿足引理1，此時(shí)反饋增益矩陣K=P-1（aQX-bQY）-1。

當(dāng)系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（3）為正常分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)，即E=I時(shí)，可得如下推論：

推論2系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（3）是魯棒同步的，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)矩陣X，Y和矩陣L，以及標(biāo)量ε>0，使

Ω（aNX+bNY）T-εIn<0

其中

Ω=Sym{aA0X+bA0Y-L}+εMMT

式中，a=sin（απ/2），b=cos（απ/2）。此時(shí)，反饋增益矩陣為K=L（aNX+bNY）-1。

注1文獻(xiàn)[14]利用線性矩陣不等式技術(shù)研究了分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的魯棒同步問(wèn)題，與其相比本文具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）文獻(xiàn)[14]只能解決正常分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的魯棒同步問(wèn)題，本文定理1則對(duì)廣義系統(tǒng)同樣適用；

2）當(dāng)廣義分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)降為正常分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)時(shí)，即E=I，本文推論2的結(jié)果比文獻(xiàn)[14]所得結(jié)果簡(jiǎn)潔，且給出了一種充分必要條件，而文獻(xiàn)[14]在必要性理論推導(dǎo)過(guò)程中，令P11=P21=P，P12=P22=0，不具有一般性；

3）本文結(jié)果參數(shù)較少，理論推導(dǎo)過(guò)程及仿真程序較為簡(jiǎn)潔。

3數(shù)值例子

為驗(yàn)證本文定理的有效性，本文給出兩個(gè)數(shù)值例子進(jìn)行證明。

例1考慮如下由式（4）所描述的系統(tǒng)，其中

E=010010100， A0=0-1001010-1， P=0010101-10

Q=100010001， M=0102000300002， N=100010001， α=075

根據(jù)本文定理1，通過(guò)Matlab的LMI工具箱求解，可求得各矩陣變量分別為

X1=1676 8001940 8， X2=01676 8-1676 80， ε=1803 2

X3=10×10-10×0777 6-0242 3， X4=1880 8

此時(shí)，狀態(tài)反饋矩陣K為

K=-0202 32570 52772 8-0202 32570 502975 10202 3 0

例2考慮如下由式（4）所描述的系統(tǒng)，其中

E=P=Q=100010001， A0=-36360020000-3， M=048000065000057， N=100010001， α=095

根據(jù)本文推論2，通過(guò)Matlab的LMI工具箱求解，可求得各矩陣變量分別為

X=0209 60000571 70000571 7， Y=00209 60209 6-0209 600209 6-0209 6-0209 60， ε=1331 7

L=-7431 10488 1-0827 1 19110 112142 3-0154 70876 50532 9-0884 2

此時(shí)，狀態(tài)反饋矩陣K為

K=-35456 11865 3-0482 192645 018530 0-3478 94122 00767 2-1692 4

根據(jù)本文推論2，并利用Matlab軟件對(duì)數(shù)值例子2進(jìn)行仿真分析，得到廣義分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)可容許性曲線如圖1所示。由圖1可以看出，分?jǐn)?shù)階同步誤差系統(tǒng)在3 s左右時(shí)趨于穩(wěn)定。

4結(jié)束語(yǔ)

本文將分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的魯棒同步問(wèn)題推廣到廣義系統(tǒng)，并利用實(shí)數(shù)域上廣義分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的可容許性新判據(jù)研究了廣義分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的魯棒同步問(wèn)題，以線性矩陣不等式的形式給出了該問(wèn)題的一種充分必要條件，比已有的結(jié)果適用范圍廣，且對(duì)于正則性未知的廣義分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同樣適用，結(jié)果參數(shù)較少，理論推導(dǎo)過(guò)程及仿真程序較為簡(jiǎn)潔，數(shù)值例子進(jìn)一步說(shuō)明了本文主要結(jié)果的有效性，該研究對(duì)于進(jìn)一步研究分?jǐn)?shù)階廣義混沌系統(tǒng)魯棒同步問(wèn)題具有重要意義。

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