劉曉光

(西南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610041)

近年來，正則化方法在數(shù)字圖像處理、支撐向量機(jī)等應(yīng)用領(lǐng)域得到了深刻的關(guān)注[1-3].作為重要應(yīng)用之一，若令∈RP、g∈Rq分別代表原始圖像與受污染圖像，數(shù)字圖像恢復(fù)技術(shù)通過求解如下能量函數(shù)的最小值點(diǎn)f?恢復(fù)圖像f＾：

其中，A∈Rq×p代表由設(shè)備的老化與振動、惡劣的成像環(huán)境等原因引起的污染系統(tǒng).函數(shù)θ：Rq→R為向量Af、g誤差大小的度量，函數(shù)Φ(f)(正則項(xiàng))代表圖像f的部分先驗(yàn)信息，α＞0(正則參數(shù))用來調(diào)節(jié)函數(shù)θ與Φ的平衡.

能量函數(shù)結(jié)構(gòu)表明，勢能函數(shù)φ在正則化數(shù)字圖像恢復(fù)技術(shù)中起著關(guān)鍵作用，為此人們展開了深入的研究[1-4].其中，理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明吉洪諾夫類正則，如Φ(f) ＝像像素值平滑轉(zhuǎn)換區(qū)域有出色的恢復(fù)性能，且其可微性使得相關(guān)算法具有較高的計(jì)算效率，從而被廣泛應(yīng)用[4-7].但該類正則使恢復(fù)圖像過度平滑，不適用于恢復(fù)圖像邊緣等紋理信息[7-9].

對于吉洪諾夫類正則的上述不足，非凸非光滑勢能函數(shù)：

λt/(1+ λt) ， log(λt+1) ， tλ(λ ∈ (0，1)) ，等表現(xiàn)出了好的恢復(fù)性能[8-17].特別地，Nikolova M等人于文獻(xiàn)[9]中對非凸非光滑勢能函數(shù)能夠保護(hù)圖像邊緣等紋理信息的性能給出了理論證明，為該類勢能函數(shù)的后續(xù)研究與應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).然而，文獻(xiàn)[2，12-19]中指出一階非凸非光滑勢能函數(shù)在保護(hù)圖像邊緣等信息的同時會引起臺階效應(yīng)，即在圖像像素值平滑轉(zhuǎn)換區(qū)域中形成若干虛假邊緣類信息，降低圖像恢復(fù)質(zhì)量.為此，二階差分近年來被廣泛用在非光滑勢能函數(shù)中保護(hù)圖像紋理信息，圖像恢復(fù)質(zhì)量得到了一定提高.但非凸非光滑性決定了相應(yīng)二階非凸非光滑勢能函數(shù)對臺階效應(yīng)的克制存在局限性[9].

本文研究了一種以組合一階非凸非光滑勢能函數(shù)和吉洪諾夫勢能函數(shù)為基礎(chǔ)的圖像恢復(fù)方法.如上所述，一階非凸非光滑勢能函數(shù)用來保護(hù)圖像邊緣等紋理信息.吉洪諾夫勢能函數(shù)在保證恢復(fù)方法對圖像像素值平滑轉(zhuǎn)換區(qū)域有出色恢復(fù)性能的同時，克服前者所引起的臺階效應(yīng).類似文獻(xiàn)[9，11]等，針對勢能函數(shù)非凸非光滑性帶來的數(shù)值計(jì)算困難，漸進(jìn)非凸方法(GNC)及交替方向法被用來求解相關(guān)問題.最后，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了推出方法的的恢復(fù)性能.

1 具有非凸非光滑組合勢能函數(shù)的圖像恢復(fù)方法

近似最小值點(diǎn).其中，將函數(shù)Jεk(f)的近似最小值點(diǎn)設(shè)置為問題：mfinJεk+1(f) 的起始點(diǎn) (k ＝ 0，1，2…，n-1)，從而通過依次獲得具有較高性能的初始值提高能量函數(shù)(2)的圖像恢復(fù)性能.對任一確定εk(k＝0，1，2…，n)，采用如下交替方向法求解.

當(dāng)函數(shù)φ非凸非光滑時，組合吉洪諾夫和一階非凸非光滑勢能函數(shù)，能量函數(shù)(1)轉(zhuǎn)化為：

其中α(1)＞0、α(2)＞0均為正則參數(shù).為克服非凸非光滑性引起的數(shù)值計(jì)算困難，類似文獻(xiàn)[9]，文中采用GNC方法求解上述能量函數(shù)的近似最小值點(diǎn).該方法利用一組非光滑近似勢能函數(shù)φεk逼近函數(shù)φ(0 ＝ ε0＜ ε1＜ … ＜ εn＝1，φεn＝ φ)，并逐次求解如下函數(shù)序列的：

圖1 原始圖像Fig.1 Original images

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為說明算法1的恢復(fù)性能，下面給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果.其中對比算法選為文獻(xiàn)[7]中吉洪諾夫類正則恢復(fù)方法和文獻(xiàn)[9]中一階非凸非光滑圖像恢復(fù)方法，程序參看http：//www.math.hkbu.edu.hk.測試圖像為具有平滑區(qū)域和較多邊緣信息的Cameraman(256×256)，Jetplane(512×512)兩個傳統(tǒng)測試圖像(圖 1).實(shí)驗(yàn)在 MATLAB2016a，Core(TM)為1.80GHz，RAM為4GB的測試環(huán)境下完成.

實(shí)驗(yàn)中，CPU運(yùn)行時間度量算法效率，峰值信噪比(PSNR)、信噪比(SNR)：

衡量圖像恢復(fù)質(zhì)量.如文獻(xiàn)[9]中所示，ω1的初值設(shè)定為1.1，且以1.8倍的速度遞增，τ＝1，n＝10，令α(1)＝0.015，α(2)＝0.03，非凸非光滑勢能函數(shù)φ及相應(yīng)近似勢能函數(shù)φεk選取如下：

其中λ＝1.模擬污染源為支撐集分別為5×5(σ ＝1)、7×7(σ ＝1.5)、9×9(σ ＝2)的如下二維高斯函數(shù)：

加性噪聲設(shè)定為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.05，0.1，0.15的高斯噪聲.

首先，以兩種不同的恢復(fù)情形為例，在圖2-3中形象的說明算法1及對比算法的圖像恢復(fù)效果.(1)針對Cameraman圖像，高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差與污染函數(shù)支撐集分別選取為0.05、5×5，圖2(a)代表受污染的Cameraman圖像，圖2(b-d)分別代表文獻(xiàn)[7]中方法、文獻(xiàn)[9]中方法、算法1的恢復(fù)結(jié)果.(2)針對Jetplane圖像，高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差與污染函數(shù)支撐集分別選取為0.15、9×9，圖3(a)代表受污染的Jetplane圖像，圖3(b-d)分別代表文獻(xiàn)[7]中方法、文獻(xiàn)[9]中方法、算法1的恢復(fù)結(jié)果.

圖2 污染函數(shù)支撐集為5×5，高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.05時Cameraman圖像恢復(fù)效果圖(a)污染圖像 (b)文獻(xiàn)[7]中方法恢復(fù)圖 (c)文獻(xiàn)[9]中方法恢復(fù)圖 (d)算法1恢復(fù)圖Fig.2 The restored Cameraman images，where the standard deviation of Gaussian noise is 0.05，the support is 5 × 5.(a)Blurred image (b)Image restored by the algorithm in[7](c)Image restored by the algorithm in[9] (d)Image restored by the algorithm 1

圖3 污染函數(shù)支撐集為9×9，高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.15時Jetplane圖像恢復(fù)效果圖(a)污染圖像 (b)文獻(xiàn)[7]中方法恢復(fù)圖 (c)文獻(xiàn)[9]中方法恢復(fù)圖 (d)算法1恢復(fù)圖Fig.3 The restored Jetplane images，where the standard deviation of Gaussian noise is 0.15，the support is 9 × 9.(a)Blurred image (b)Image restored by the algorithm in[7](c)Image restored by the algorithm in[9] (d)Image restored by the algorithm 1

觀測上述兩種情形可知，算法1在有效恢復(fù)圖像平滑區(qū)域的同時，更好地保護(hù)了邊緣等紋理信息，恢復(fù)圖像有更好的視覺效果(相關(guān)恢復(fù)數(shù)據(jù)參看表1和表2).針對不同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，表1和表2中給出了相應(yīng)的的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果，數(shù)據(jù)表明算法1所恢復(fù)圖像的SNR、PSNR值均優(yōu)于兩種比較算法.其中，當(dāng)測試圖像為Cameraman圖像時，針對文獻(xiàn)[7]、[9]中方法恢復(fù)結(jié)果，算法1所恢復(fù)圖像的SNR值至少分別提高0.04db、0.02db，PSNR 值至少分別提高 0.06db、0.04db.當(dāng)測試圖像為 Jetplane圖像時，針對文獻(xiàn)[7]、[9]中方法恢復(fù)結(jié)果，算法1所恢復(fù)圖像的SNR值至少分別提高0.05db、0.03db，PSNR值至少分別提高0.02db、0.03db.同時，可以看到由于測試圖像具有較多邊緣等紋理信息，文獻(xiàn)[9]中算法所恢復(fù)圖像SNR、PSNR值在多數(shù)情形下高于文獻(xiàn)[7]中方法恢復(fù)結(jié)果.

表1 Cameraman圖像恢復(fù)結(jié)果Table 1 The restored results ofCameraman image

表2 Jetplane圖像恢復(fù)結(jié)果Table 2 The restored results ofJetplane image

最后，需要指出的是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明相同環(huán)境下算法1運(yùn)行效率較文獻(xiàn)[9]中方法有所提高，但在少數(shù)情形下略低于文獻(xiàn)[7]中吉洪諾夫類正則方法(參看表3).

表3 運(yùn)行時間對比結(jié)果Table 3 The comparison results of running time

3 結(jié)論

吉洪諾夫勢能函數(shù)對圖像像素值平滑轉(zhuǎn)換區(qū)域具有很好的恢復(fù)性能，但不能夠很好地保護(hù)圖像邊緣等紋理信息.相反，理論與數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明一階非凸非光滑勢能函數(shù)對圖像紋理信息有較好的的保護(hù)能力，但會引起臺階效應(yīng).為了能夠同時利用上述兩類勢能函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，克服相應(yīng)不足，本文推出了一種以組合吉洪諾夫與一階非凸非光滑勢能函數(shù)為基礎(chǔ)的圖像恢復(fù)方法.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，針對包含像素值平滑轉(zhuǎn)換區(qū)域和較多邊界等紋理信息的圖像，本文所推出的算法具有更好的綜合性能.