栗 然,靳保源

華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定 071003)

0 引言

近年來，世界范圍內(nèi)的大停電事故頻繁發(fā)生，造成了巨大的財產(chǎn)損失和嚴重的社會影響。相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)，引發(fā)大停電事故的原因是輸電設(shè)備過載或故障退出運行，引起系統(tǒng)發(fā)生連鎖故障，而其中最主要的原因是線路潮流越限[1-2]，因此，快速、準確地尋找對系統(tǒng)安全運行至關(guān)重要的關(guān)鍵線路并保證其穩(wěn)定運行對可靠供電具有重要作用。

線路退出運行后，其承載的功率將會轉(zhuǎn)移至其他線路，有可能造成其他線路過載，因此，了解各線路退出運行后的潮流轉(zhuǎn)移情況對識別系統(tǒng)中的關(guān)鍵線路具有重要意義。在潮流轉(zhuǎn)移區(qū)域搜索方面，文獻[1]基于改進廣度優(yōu)先遍歷方法提出了潮流轉(zhuǎn)移區(qū)域確定方法；文獻[2-3]采用圖論相關(guān)知識得到斷線線路的相關(guān)線路集合，進一步搜索潮流轉(zhuǎn)移的范圍；文獻[4]則采用深度優(yōu)先搜索方法搜索網(wǎng)絡(luò)拓撲圖中的割點及塊來確定潮流轉(zhuǎn)移區(qū)域；文獻[5]基于割點和前k條最短路徑的搜索方法提出了路徑搜索方法。以上研究一方面所采用的搜索算法在大規(guī)模系統(tǒng)時實時性較差，另一方面基于圖論方法而未結(jié)合基爾霍夫定律，所得結(jié)果需進一步驗證。在潮流轉(zhuǎn)移量計算方面，文獻[6-7]通過模擬負荷增加，重新計算潮流得到各線路潮流增量，采用潮流熵來評判節(jié)點的脆弱性；文獻[8]通過模擬支路斷開計算系統(tǒng)潮流增量，并定義潮流轉(zhuǎn)移熵來評估線路的脆弱性；文獻[9]引入線路負載率對潮流轉(zhuǎn)移熵進行改進，提高了電力系統(tǒng)的適用性。以上研究通過模擬某線路退出運行，得到目標線路在該線路斷開后所增加的功率，但是在系統(tǒng)規(guī)模龐大的情況下，模擬量較大。文獻[10]從直流潮流計算入手，假設(shè)轉(zhuǎn)移功率與故障線路原始功率成比例，通過推導(dǎo)得到比例值，但由于直流潮流在形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣時不包含平衡節(jié)點的有關(guān)量，因此，采用該方法推導(dǎo)得到的結(jié)果無法得到與平衡節(jié)點相連線路的潮流轉(zhuǎn)移量。

針對上述不足，本文依據(jù)直流潮流，采用譜分解得到電力系統(tǒng)的有效電阻矩陣，進而得到各線路斷開后潮流轉(zhuǎn)移區(qū)域的確定方法，以此為基礎(chǔ)得到潮流增量計算方法，克服了傳統(tǒng)方法采用搜索算法來搜索潮流轉(zhuǎn)移區(qū)域及模擬線路斷開重新計算潮流的不足，同時結(jié)合了基爾霍夫定律，更加符合實際電力系統(tǒng)。并對傳統(tǒng)潮流轉(zhuǎn)移熵進行改進，克服了傳統(tǒng)潮流熵僅衡量潮流轉(zhuǎn)移量在系統(tǒng)中分配的均勻程度而未考慮受轉(zhuǎn)移線路容量裕度的不足，能夠有效描述轉(zhuǎn)移功率對線路容量裕度的使用情況。此外，定義了負荷沖擊靈敏度熵來衡量各線路對系統(tǒng)負荷節(jié)點擾動的靈敏程度。最后，綜合考慮潮流轉(zhuǎn)移分布熵和負荷沖擊靈敏度熵，采用IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)算例進行仿真分析，驗證了綜合指標在電力系統(tǒng)關(guān)鍵線路識別中的有效性。

1 拉普拉斯矩陣和有效電阻矩陣

1.1 電力系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣[11]

根據(jù)直流潮流得到節(jié)點i的注入功率為：

(1)

其中，Pi為節(jié)點i的注入功率；wij為節(jié)點i和j之間電抗的倒數(shù)；θi和θj分別為節(jié)點i和j的相角；N為系統(tǒng)中節(jié)點總數(shù)。

從而電力系統(tǒng)各節(jié)點注入功率計算公式如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

由拉普拉斯廣義逆矩陣可得下式：

(7)

本文計算方法與傳統(tǒng)直流潮流計算有些類似，但傳統(tǒng)計算方法節(jié)點注入功率、相角及節(jié)點導(dǎo)納矩陣中不含平衡節(jié)點的相關(guān)量。而由式(7)可知，采用本文計算方法計算平衡節(jié)點的相角并不一定為0，這是由于計算時已經(jīng)選取0值作為參考點。

1.2 電力系統(tǒng)的有效電阻矩陣

引入拉普拉斯廣義逆矩陣之后，支路i-j潮流表達式為：

θi-θj=rijPij

(8)

其中，Pij為支路i-j上的有功功率；rij為節(jié)點i與節(jié)點j之間的有效電阻。

(9)

其中，ei為第i個元素為1、其余元素為0的向量。

將式(9)等號右側(cè)展開，得到下式：

(10)

則得到系統(tǒng)的有效電阻矩陣為[11]：

(11)

2 基于熵理論的關(guān)鍵線路評估模型

2.1 線路潮流轉(zhuǎn)移分布熵

假設(shè)線路a-b斷開，此時系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，故拉普拉斯矩陣中與線路a-b相關(guān)的量也發(fā)生變化，但其他元素并不改變，即拉普拉斯矩陣受到影響的元素分別位于矩陣的a行、b行和a列、b列。線路a-b斷開后，系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣為[11]：

(13)

(14)

由修正矩陣的廣義逆矩陣求法[12]可得：

(15)

直流潮流中，節(jié)點功率與支路功率存在關(guān)系：

(16)

其中，F(xiàn)為Nbr×1維線路潮流向量;Bb為Nbr×Nbr維支路導(dǎo)納對角陣矩陣;R為Nbr×N維節(jié)點與支路的關(guān)聯(lián)矩陣;Nbr為系統(tǒng)中線路總數(shù)。

可得到當線路a-b斷開后，任意線路i-j上的轉(zhuǎn)移功率可以由下式計算：

(17)

其中，Δfij為線路a-b斷開后線路i-j上的轉(zhuǎn)移功率；fab為線路a-b正常運行時的有功功率。

將式(15)代入式(17)中，則可得：

(18)

將式(10)代入式(18)中，則可得到線路i-j上的轉(zhuǎn)移功率占斷開線路a-b潮流的比例為：

(19)

但上式計算結(jié)果無法判別轉(zhuǎn)移功率的大小，只能初步判斷功率轉(zhuǎn)移在其余線路的分配情況，即可確定潮流轉(zhuǎn)移影響區(qū)域，因此，本文對上式進行修正：

(20)

其中，fb為基準功率，本文取為所有線路正常運行時有功功率之和。

(21)

其中，sgn()為取符號函數(shù)。

系統(tǒng)中線路退出運行后會發(fā)生潮流轉(zhuǎn)移，但并不是所有受影響的線路潮流都會增加，除了一部分線路潮流正向增加外，有些線路的潮流會降低，而有些線路則是反向增加。采用式(21)修正后，潮流是否會增加進一步分析如下：

根據(jù)上述a和b這2種情況，線路i-j功率增量標幺值計算方法如下：

(22)

對于電力系統(tǒng)而言，轉(zhuǎn)移潮流最理想情況是按照線路剩余的容量裕度進行分布，本文定義轉(zhuǎn)移潮流裕度占用比為：

(23)

線路容量裕度計算如下：

(24)

其中，fs,max為線路s允許通過的功率最大值；fs,basic為線路s正常運行時通過的功率。

對式(23)的結(jié)果進行歸一化處理：

(25)

其中，n1為在線路k斷開后線路流通功率增加的線路數(shù)。

則由信息熵[13]的定義，系統(tǒng)的潮流轉(zhuǎn)移分布熵可采用下式計算：

(26)

其中，Ht,k為線路k斷開后系統(tǒng)潮流轉(zhuǎn)移分布熵；c為常數(shù)，本文取值為1。

結(jié)合信息熵的相關(guān)知識可知，當某線路斷開后，其余正常運行線路的轉(zhuǎn)移潮流裕度占用比相等時，線路潮流轉(zhuǎn)移分布熵取最大值，這也是線路斷開引起潮流變化最均衡的狀態(tài)，此時，容量裕度大的線路，其潮流增量相對較大，容量裕度小的線路，其潮流增量相對較小，這表明線路斷開引起的潮流增量按照線路容量裕度大小均衡地分配于各線路中；反之，當線路斷開引起的潮流增量均集中在某條線路上，而其余線路均不受影響時，線路潮流轉(zhuǎn)移分布熵最小，此時是潮流分配最不均衡的狀態(tài)。

可見，潮流轉(zhuǎn)移分布熵可以用來衡量某線路斷開后系統(tǒng)中其他線路潮流變化的均勻程度，該指標值越小，線路潮流轉(zhuǎn)移按照線路容量裕度分布越不均勻，對系統(tǒng)的潮流沖擊越明顯，系統(tǒng)發(fā)生連鎖故障的可能性越大。反之，潮流分布熵越大，線路潮流轉(zhuǎn)移按照線路容量裕度分布越均勻，對系統(tǒng)的潮流沖擊越不明顯，系統(tǒng)發(fā)生連鎖故障的可能性越小。

2.2 負荷沖擊靈敏度熵

電力系統(tǒng)負荷非定值，當負荷變化時，系統(tǒng)中各線路都可能受到?jīng)_擊，但各條線路受到潮流沖擊情況不同，而針對不同負荷沖擊，線路受到?jīng)_擊量越大且變化越劇烈，線路越容易發(fā)生故障[6]。此外，若線路本身抵抗干擾的能力很強，即該線路很難出現(xiàn)越限斷線的情況，此時考慮線路斷開對其余線路影響的必要性不大，故需要對線路的抗干擾能力進行適當評估。本文仿照能量熵[14]的定義，定義負荷沖擊靈敏度熵來評估線路的抗干擾能力。

設(shè)負荷節(jié)點a受到單位負荷沖擊時，支路k潮流變化量為|ΔPk,a|。則負荷節(jié)點a受到單位負荷沖擊時，系統(tǒng)的潮流變化總量為：

(27)

其中，ΔPk,a為負荷節(jié)點a受到單位負荷沖擊時線路k潮流變化量。

類似于能量熵[14]，負荷節(jié)點a的負荷擾動在線路k的負荷沖擊靈敏度熵為：

(28)

則系統(tǒng)中負荷節(jié)點的負荷擾動在線路k的負荷沖擊靈敏度熵為：

(29)

其中，n2為系統(tǒng)中負荷節(jié)點的數(shù)目。

(30)

對于系統(tǒng)中任意線路，當系統(tǒng)負荷節(jié)點受到單位負荷沖擊后，該線路上的潮流變化量與所有線路潮流變化量之和的比值總是相同時，此時線路的負荷沖擊靈敏度熵取得最大值，這也說明了該線路潮流會隨著多個負荷節(jié)點的負荷變化而波動，這是線路對節(jié)點負荷變化最敏感的狀態(tài)；反之，該線路上的潮流變化量與所有線路潮流變化量之和的比值差異較大時，潮流轉(zhuǎn)移分布熵較小，此時也為線路對節(jié)點負荷變化最不敏感的情況。

上述構(gòu)建的負荷沖擊靈敏度熵指標，用來描述線路對負荷變化的靈敏程度。線路k的負荷沖擊靈敏度熵Hs,k反映了支路k承擔負荷節(jié)點負荷沖擊后受到的功率沖擊程度，其值越大，表明支路k對負荷節(jié)點的擾動越靈敏，支路越易發(fā)生開斷故障；反之，其值越小，表明支路k對負荷節(jié)點的擾動越不靈敏，支路可靠性程度越高。

2.3 關(guān)鍵線路綜合評價指標

由上文可見，線路潮流轉(zhuǎn)移分布熵表征了系統(tǒng)中某線路斷開后對其他線路的潮流沖擊程度，負荷沖擊靈敏度熵則表征了線路對負荷沖擊的敏感程度。某些線路斷線后對系統(tǒng)潮流沖擊很大，但是其抵抗擾動的能力很強，該類線路對系統(tǒng)威脅相對較小；而某些線路斷開后對系統(tǒng)潮流沖擊并非很大，但是其抵抗擾動能力相對較弱，容易發(fā)生開斷事故，此類線路對系統(tǒng)威脅則相對較大。故本文進一步綜合考慮兩者，得到線路的綜合評價指標。

在定義線路綜合評價指標之前，首先對線路潮流轉(zhuǎn)移分布熵和負荷沖擊靈敏度熵的結(jié)果進行歸一化處理，歸一化方法如下：

(31)

(32)

其中，n1為待歸一化Ht,k的總數(shù)目；n2為待歸一化Hs,k的數(shù)目。

線路潮流轉(zhuǎn)移分布熵越小，該線路斷開后對系統(tǒng)潮流沖擊越大；負荷沖擊靈敏度熵越大，則該線路對負荷節(jié)點負荷變化越靈敏，線路抵抗外界干擾的能力越低。故定義線路的綜合指標為：

(33)

本文權(quán)重確定采用主客觀權(quán)重確定方法，具體可參考文獻[15]。在實際運用中，可以根據(jù)系統(tǒng)運行工況及行業(yè)專家的意見進行調(diào)整。則可知綜合評價指標越大，線路的關(guān)鍵性越高，反之，線路的關(guān)鍵性越低。

3 關(guān)鍵線路識別流程及攻擊方式

為分析識別結(jié)果的正確性，本文采用靜態(tài)攻擊方式，并以系統(tǒng)的輸電效率[16]為考察指標來驗證合理性，輸電效率計算方式可參考文獻[16]。

具體關(guān)鍵線路識別流程如下：

a. 讀取系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)參數(shù)，求取電力系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣；

b. 根據(jù)系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣及矩陣譜分解方法求取拉普拉斯矩陣的廣義逆矩陣，并求解有效電阻矩陣；

c. 根據(jù)本文所提方法計算各條線路的潮流轉(zhuǎn)移分布熵和負荷沖擊靈敏度熵，并計算出各線路的綜合評估指標；

d. 根據(jù)所求各線路的綜合評估指標進行排序，獲得系統(tǒng)的關(guān)鍵線路；

e. 采用靜態(tài)攻擊方式對識別的關(guān)鍵線路進行仿真驗證。

4 算例分析

4.1 算例驗證

為驗證所提方法的有效性，本文采用IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)進行算例驗證。圖1為IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)接線圖，該系統(tǒng)共有39個節(jié)點、46條線路，其中線路2-30、6-31、10-32、16-19、19-20、19-33、20-34、22-35、23-36、25-37、29-38斷開之后系統(tǒng)會發(fā)生解列，故不再考慮上述線路斷開后潮流轉(zhuǎn)移情況。

圖1 IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)拓撲圖Fig.1 Topology of IEEE 39-bus system

將本文方法計算得到的線路潮流轉(zhuǎn)移情況與采用斷線模擬法[6-7]計算得到的結(jié)果對比分析，結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，采用本文方法與采用斷線模擬法所得結(jié)果一致，證明了本文方法計算轉(zhuǎn)移潮流量的正確性。

表2為采用本文方法識別得到的IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)關(guān)鍵線路與其他文獻識別結(jié)果的部分對比。

表2 關(guān)鍵線路識別結(jié)果對比Table 2 Comparison of key lines identification results

從表2可以看出，采用本文方法得到的結(jié)果與文獻[17]中的結(jié)果排名前6位的線路有5條相同，僅排序有所差異，說明本文方法對系統(tǒng)中的關(guān)鍵線路有一定的識別作用，結(jié)果的差異主要是由考慮因素不同造成的。文獻[17]的潮流轉(zhuǎn)移熵指標僅考慮了線路斷開后系統(tǒng)中潮流沖擊情況，而本文潮流轉(zhuǎn)移分布熵考慮了線路斷開后系統(tǒng)中轉(zhuǎn)移潮流按照剩余線路容量裕度分配的均衡程度，并且本文方法也計及了各條線路抵抗干擾的能力。

結(jié)合圖1可見，從網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)來看，本文識別得到的關(guān)鍵線路大都屬于系統(tǒng)內(nèi)的聯(lián)絡(luò)線路，線路26-28和線路26-29或線路16-24和線路16-21斷開后，39節(jié)點系統(tǒng)分解為兩部分系統(tǒng)，正是由于這些線路是兩部分系統(tǒng)的聯(lián)絡(luò)線路，當這些線路中任意一條故障后都會對系統(tǒng)造成較大的潮流沖擊。此外，由表2中也可知，上述線路均有很高的負荷沖擊靈敏度熵，說明了這部分線路對系統(tǒng)負荷的變化靈敏度較高，也一定程度上從側(cè)面印證了這些線路的聯(lián)絡(luò)能力。

通常情況下，通過關(guān)鍵性指標識別出來的關(guān)鍵線路還需要一定的方法驗證其有效性，本文采用10次針對性靜態(tài)攻擊，攻擊后的輸電效率如圖2所示。

表1 本文方法與斷線模擬法計算結(jié)果對比Table 1 Comparison of calculation results between proposed method and broken line simulation method

圖2 系統(tǒng)輸電效率Fig.2 System power transmission efficiency

從圖2中可以看出，本文方法識別的關(guān)鍵線路在針對性攻擊下輸電效率基本呈線性下降，在第6次針對性攻擊之后系統(tǒng)輸電效率已經(jīng)降至90%以下，在第10次攻擊后則下降至75%左右；基于綜合脆弱度指標[18]識別所得的關(guān)鍵線路，系統(tǒng)輸電效率下降也十分明顯，但下降速度相對較慢；而隨機攻擊時，系統(tǒng)則表現(xiàn)出較強的魯棒性。由此可以說明本文方法在尋找關(guān)鍵線路時的有效性。

4.2 應(yīng)用前景分析

通過對IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)的分析表明本文提出的方法對系統(tǒng)中的關(guān)鍵線路有一定的識別作用。本文方法以網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，在網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)已知的情況下，可快速、準確地計算得到系統(tǒng)的關(guān)鍵線路，在實際工程中，由于廣域測量系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)參數(shù)獲得十分方便[14]，因此，本文所提方法有一定實際意義。

關(guān)鍵線路分析中，線路的潮流轉(zhuǎn)移熵日益成熟，但目前仍大多采用模擬線路斷開的方法，本文方法雖無法分析令系統(tǒng)解列線路的潮流轉(zhuǎn)移情況，但可以大幅減少實際系統(tǒng)中模擬線路斷開的計算量，與現(xiàn)有方法進行適當結(jié)合則有望應(yīng)用于實際系統(tǒng)中。

5 結(jié)論

a. 本文從直流潮流入手，得到系統(tǒng)的有效電阻矩陣，并根據(jù)有效電阻矩陣給出了線路斷開后潮流轉(zhuǎn)移的計算方式，為統(tǒng)一分析，對該計算方式進行了修正，在確定潮流轉(zhuǎn)移區(qū)域的同時可以有效表征轉(zhuǎn)移潮流的大小。

b. 本文根據(jù)線路的容量裕度對潮流轉(zhuǎn)移熵進行改進，該指標可以有效表征線路斷開后轉(zhuǎn)移潮流按照剩余線路容量裕度分布的均勻程度，其值越小，轉(zhuǎn)移潮流分布越不均勻，該線路斷開后越容易引發(fā)連鎖故障；此外，提出了負荷沖擊靈敏度熵，該指標評估了線路對各負荷節(jié)點的靈敏度，其值越大，線路對節(jié)點負荷靈敏度越高，負荷出現(xiàn)擾動后，線路潮流波動越大，越容易引發(fā)連鎖故障。

c. 綜合考慮潮流轉(zhuǎn)移分布熵和負荷沖擊靈敏度熵，提出了關(guān)鍵線路識別的綜合指標。對IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)算例的分析結(jié)果表明，本文提出的識別方法能夠識別出系統(tǒng)的關(guān)鍵線路。