單世鐸張華海李世金

（1.江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 徐州221008;2.中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院，江蘇 徐州221116）

0 引 言

井下煤礦開采是一項(xiàng)高風(fēng)險(xiǎn)的工作，而對(duì)井下采礦工程進(jìn)行測量則能幫助礦產(chǎn)企業(yè)準(zhǔn)確預(yù)測風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)還能為井下采礦作業(yè)人員的人身安全提供可靠保障[1]。但是，井下測量作業(yè)條件非常艱苦，如何準(zhǔn)確、高效地完成井下工程測量則對(duì)于礦產(chǎn)企業(yè)及作業(yè)人員都有非常重要的意義。對(duì)于井下水準(zhǔn)測量[2-3]，其數(shù)據(jù)處理中常用的方法有條件平差法[4-8]和間接平差法[9-11]，由于其計(jì)算復(fù)雜度較高，在實(shí)際井下測量過程中往往會(huì)帶來不可避免的麻煩。因此，本文引入一種高效、準(zhǔn)確的具有迭代性質(zhì)的分配閉合差法，并選擇井下工程測量中經(jīng)常遇到的水準(zhǔn)測量網(wǎng)進(jìn)行實(shí)際數(shù)據(jù)案例計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明，在一定精度要求情況下，有限次數(shù)的分配閉合差法能夠達(dá)到條件平差法的效果;且分配閉合差法計(jì)算簡單易學(xué)，特別適合在井下作業(yè)中應(yīng)用。

1 水準(zhǔn)測量中條件平差基本原理

水準(zhǔn)測量條件平差法以高差觀測值L的改正數(shù)V與閉合環(huán)高差閉合差（或已知點(diǎn)間附合高差閉合差）W之間的關(guān)系為條件，依據(jù)最小二乘法原理進(jìn)行平差，具體計(jì)算過程[12]如下:

（1）條件方程為:

式（1）—（2）中，W表示條件方程式的閉合差向量，L為觀測值向量，A為系數(shù)矩陣，A0為常數(shù)向量，V為改正數(shù)向量，設(shè)條件方程式的系數(shù)為a ij，寫成純量形式為:

（2）法方程:

（3）計(jì)算改正數(shù)V i和平差后值

（4）評(píng)定精度——單位權(quán)中誤差

式（7）中，r為條件方程式個(gè)數(shù)（多余觀測個(gè)數(shù)）。

（5）條件平差中的注意事項(xiàng)

①計(jì)算前應(yīng)繪制水準(zhǔn)網(wǎng)平差略圖:在圖上標(biāo)明各已知點(diǎn)、待定點(diǎn)的點(diǎn)名與編號(hào)，高差觀測值及路線長等信息;② 確定條件方程個(gè)數(shù)。條件方程式要互相獨(dú)立（線性無關(guān)）且足數(shù)（等于多余觀測個(gè)數(shù)）。

2 條件平差與分配高差閉合差法在簡易水準(zhǔn)路線中的對(duì)比

對(duì)單一閉合或附合水準(zhǔn)路線的條件平差，其實(shí)際上是將閉合差對(duì)高差進(jìn)行權(quán)分配，即按各高差路線長成正比分配閉合差，然后計(jì)算各個(gè)待定點(diǎn)的高程。而對(duì)于兩個(gè)或三個(gè)以上的閉合環(huán)，其條件平差與逐環(huán)分配閉合差法的對(duì)比如下。

（1）按條件平差法進(jìn)行平差計(jì)算

如圖1所示，1為已知高程點(diǎn)，2、3、4、5、6分別為待定高程點(diǎn)。為了簡化計(jì)算，設(shè)各測段路線長均為1 km，各高差單位為m，高差閉合差單位為mm。高差閉合差W1=―8.9 mm，W2=6.5 mm，列出兩個(gè)改正數(shù)條件方程式后，組成法方程，解算兩個(gè)聯(lián)系數(shù):

K1=―4W1/15+W2/15=2.806 67

K2=―4W2/15+W1/15=―2.326 67。

圖1 兩個(gè)閉合環(huán)水準(zhǔn)網(wǎng)

依據(jù)式（6）計(jì)算各高差改正數(shù)，計(jì)算改正后的高差以及各點(diǎn)高程（表1）。

表1 逐環(huán)分配閉合差法與條件平差法結(jié)果比較

（2）按逐環(huán)分配閉合差法進(jìn)行平差計(jì)算

如圖1所示，逐環(huán)分配閉合差計(jì)算過程如表2所示。表2中各高差單位為m，高差閉合差單位為mm。

計(jì)算步驟如下。

① 首先計(jì)算第一環(huán)閉合差（-8.9 mm）并進(jìn)行分配。公共邊3→4分配后的高差為9.255 225 m，參與第二環(huán)閉合差的計(jì)算。

② 計(jì)算第二環(huán)閉合差（8.725 mm）并進(jìn)行分配。公共邊3→4分配后的高差為9.253 044 m，參與第一環(huán)計(jì)算二次閉合差。

重復(fù)上述步驟，分別進(jìn)行三次分配閉合差迭代處理。

三次分配計(jì)算后的高差與條件平差值之差小于0.01 mm（表2）。

表2 兩個(gè)閉合環(huán)逐環(huán)分配閉合差計(jì)算法

三個(gè)閉合環(huán)用逐環(huán)分配閉合差法進(jìn)行平差計(jì)算，其計(jì)算方法與上述數(shù)據(jù)例類同。通過數(shù)據(jù)例計(jì)算，三次閉合差分配后，其高差值與條件平差值相差小于0.01 mm。因篇幅所限，文中不再列出。

兩個(gè)或三個(gè)以上閉合環(huán)的水準(zhǔn)網(wǎng)是井下工程測量中常用的網(wǎng)型。通過對(duì)比可知，對(duì)于兩個(gè)或三個(gè)以上閉合環(huán)的水準(zhǔn)網(wǎng)，逐環(huán)分配閉合差3次后，所得結(jié)果與條件平差法比較，其差值小于0.01 mm。

3 田字型水準(zhǔn)網(wǎng)按逐環(huán)分配閉合差法計(jì)算案例

如圖2所示，由于井下巷道的開鑿，其伴隨著巷道的田字型水準(zhǔn)網(wǎng)測量是常用的井下高程測量方格網(wǎng)，圖2中，1為已知高程點(diǎn)，2—9為待定高程點(diǎn)。從已知點(diǎn)開始，閉合環(huán)高差指向分別為順時(shí)針、逆時(shí)針、順時(shí)針、逆時(shí)針方向，相鄰閉合環(huán)之間的公共高差箭頭指向一致。設(shè)各測段路線長均為0.50 km，各測段高差值如下所示（表3），各高差單位為m，高差閉合差單位為mm。其相對(duì)應(yīng)的計(jì)算步驟依次為:

（1）計(jì)算第1環(huán)的閉合差并進(jìn)行分配

因設(shè)各段路線長均為0.50 km，且其閉合差為W1=4.0，故各高差改正數(shù)為:V1=V2=V3=V4=-W1/4=-4.0/4=-1.0（mm）

（2）計(jì)算第2環(huán)的閉合差并進(jìn)行分配

在第1環(huán)閉合差分配后，相鄰高差得到改正，再計(jì)算第2環(huán)的閉合差，其數(shù)值為W2=5.0。

同樣，設(shè)各段路線長均為0.50 km，故各高差改正數(shù)為:V5=V6=V7=V8=-W2/4=-5.0/4=-1.25（mm）

（3）對(duì)第3環(huán)的閉合差進(jìn)行分配

第3環(huán)的閉合差也是在第1環(huán)相鄰高差改正后計(jì)算的閉合差，其數(shù)值為:W3=6.0。

同樣，設(shè)各段路線長均為0.50 km，故各高差改正數(shù)為:V2=V8=V9=V10=-W3/4=-6.0/4=-1.5（mm）

（4）對(duì)第4環(huán)的閉合差進(jìn)行分配

第4環(huán)的閉合差是在第2環(huán)、第3環(huán)相鄰兩個(gè)高差改正后計(jì)算的閉合差，其數(shù)值W4=0.25。

同樣，因設(shè)各段路線長均為0.50 km，故各高差改正數(shù)為:V7=V8=V11=V12=-W4/4=-0.25/4=-0.062 5（mm）

（5）重復(fù)1—4步驟，逐環(huán)逐次分配各環(huán)閉合差。

經(jīng)3次分配閉合差后，高差改正數(shù)之和與條件平差法改正數(shù)值之差小于0.02 mm。如以h1為例，3次改正數(shù)之和為-0.234 5，條件平差結(jié)果為-0.22。公共邊高差改正數(shù)取相鄰環(huán)高差改正數(shù)之和，如以h3為例，3次改正數(shù)之和為-0.234 5-1.445 0=-1.679 5，條件平差結(jié)果為-1.67，其差值小于0.01 mm。當(dāng)經(jīng)過4次閉合差分配迭代處理后，其結(jié)果精度更高。

圖2 田字型水準(zhǔn)網(wǎng)

表3 田字型水準(zhǔn)網(wǎng)逐環(huán)分配閉合差法計(jì)算表（僅列出3次分配）

若有兩個(gè)已知高程點(diǎn)，以三個(gè)閉合環(huán)兩端各有一個(gè)已知高程點(diǎn)的水準(zhǔn)網(wǎng)為例，按條件平差法，需要列出4個(gè)改正數(shù)條件方程式，組成法方程后解算4個(gè)聯(lián)系數(shù)，計(jì)算高差改正數(shù)。而逐環(huán)（包括兩個(gè)已知點(diǎn)間的附合條件閉合差）分配閉合差，經(jīng)4次分配后，高差改正數(shù)與平差計(jì)算結(jié)果比較，同樣能滿足精度要求。

4 逐環(huán)分配高差閉合差法理論分析

單一閉合環(huán)分配閉合差法與條件平差法的處理結(jié)果是一致的，在第2節(jié)中已得到闡述。下面針對(duì)含有兩個(gè)或三個(gè)以上閉合環(huán)的復(fù)雜水準(zhǔn)網(wǎng)測量數(shù)據(jù)在處理過程中，采用逐環(huán)分配閉合差法與條件平差的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行理論分析。

4.1 兩個(gè)閉合環(huán)逐環(huán)分配閉合差法與條件平差法

（1）采用條件平差法

對(duì)于圖1所示的兩個(gè)閉合環(huán)條件平差，列出高差改正數(shù)條件方程后，組成法方程，解算聯(lián)系數(shù)，計(jì)算高差改正數(shù)。在本文第2節(jié)中已經(jīng)給出:K1=―4W1/15+W2/15=2.806 67，K2=―4W2/15+W1/15=―2.326 67。高差改正數(shù)按式（6）計(jì)算，因?yàn)楦鞲卟畹臋?quán)皆為1，所以h1、h2、h3的改正數(shù)結(jié)果就是K1，h5、h6、h7的改正數(shù)就是K2，公共邊高差h4的改正數(shù)則是K1+K2=0.48。

（2）采用逐環(huán)分配閉合差法

①h1（h2、h3類同）的改正數(shù)3次累計(jì)為:V1=―4W1/15.003 66+W2/15.058 82

將W1、W2數(shù)據(jù)代入后得:V1=2.804 394 5;

②h5（h6、h7類同）的改正數(shù)3次累計(jì)為:V5=―4W2/15.003 663+W1/15.003 663

將W1、W2數(shù)據(jù)代入后，V5=―2.326 099;h4的改正數(shù)是V1+V5:V4=0.478 3，與條件平差結(jié)果之差小于0.002。

③h1、h2、h3的 改 正 數(shù) 4 次 累計(jì)為:V1=―4W1/15.00 366+W2/15.058 82=2.806 62

④h5、h6、h7的改正數(shù)4次累計(jì)為:V5=―4W2/15.000 228 89+W1/15.003 66=―2.326 50

h4的改正數(shù)是V1+V5:V4=0.480 1，與條件平差結(jié)果之差小于0.000 1。

對(duì)于兩個(gè)閉合環(huán)的水準(zhǔn)網(wǎng)，在環(huán)閉合差滿足規(guī)范要求條件下，逐環(huán)3次分配閉合差已能夠滿足精度要求。從改正數(shù)的累計(jì)計(jì)算公式也可以看出，計(jì)算公式實(shí)際上是一種迭代計(jì)算式，按照其規(guī)律，不難寫出4次、5次閉合差分配計(jì)算公式，其對(duì)應(yīng)的結(jié)果精度也更高。

4.2 多個(gè)閉合環(huán)逐環(huán)分配閉合差法與條件平差法

以井下田字型水準(zhǔn)網(wǎng)為例，對(duì)多個(gè)閉合環(huán)采用逐環(huán)分配閉合差法與條件平差法的比較進(jìn)行理論分析。

（1）田字型水準(zhǔn)網(wǎng)采用條件平差法

以上述圖2田字型水準(zhǔn)網(wǎng)為例，列出高差改正數(shù)4個(gè)條件方程后，組成法方程，解算4個(gè)聯(lián)系數(shù)，計(jì)算高差改正數(shù)。聯(lián)系數(shù)計(jì)算公式如下:

從聯(lián)系數(shù)計(jì)算公式的規(guī)律可以看出，每個(gè)閉合環(huán)對(duì)應(yīng)的聯(lián)系數(shù)計(jì)算式右邊第一項(xiàng)為該環(huán)閉合差的約1/4，相鄰環(huán)閉合差的1/12，對(duì)角環(huán)閉合差的1/24。

（2）田字型水準(zhǔn)網(wǎng)采用逐環(huán)分配閉合差法

僅以h1為例，分別計(jì)算第1、2、3、4次改正數(shù)，然后相加，與條件平差結(jié)果比較:

四次改正數(shù)之和:

與條件平差K1比較，公式右邊各項(xiàng)符號(hào)一致，系數(shù)值相近:

K1=―0.291 67W1+0.083 33W2+0.083 3W3―0.041 67W4=―0.208 333

兩者相差小于0.01 mm。

5 結(jié) 語

（1）本文對(duì)井下工程測量中經(jīng)常遇到的水準(zhǔn)測量網(wǎng)，采用逐環(huán)分配閉合差的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，并與條件平差法進(jìn)行對(duì)比，通過大量實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證及理論分析，表明逐環(huán)分配閉合差法對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理是一種簡便、實(shí)用和行之有效的數(shù)據(jù)處理方法。

（2）實(shí)際應(yīng)用中需要注意的是:① 分配閉合差計(jì)算之前，應(yīng)先計(jì)算水準(zhǔn)網(wǎng)中各個(gè)環(huán)的高差閉合差，在符合水準(zhǔn)測量規(guī)范規(guī)定的要求下再采用逐環(huán)按權(quán)倒數(shù)（或路線長）進(jìn)行分配閉合差的計(jì)算;② 注意相鄰閉合環(huán)的閉合差計(jì)算方向與公共高差指向一致，且前一環(huán)閉合差分配后的公共邊高差用于后一環(huán)的閉合差計(jì)算;③ 一般經(jīng)3—4次分配后達(dá)到預(yù)期的效果;④ 對(duì)各次改正數(shù)求和作為最后的改正數(shù)，繼續(xù)計(jì)算單位權(quán)中誤差，計(jì)算改正后的高差和各待定點(diǎn)高程;⑤對(duì)于一條水準(zhǔn)路線上有多個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)的水準(zhǔn)網(wǎng)，可以合并為一條單一的水準(zhǔn)路線，多條水準(zhǔn)路線構(gòu)成僅含有結(jié)點(diǎn)的水準(zhǔn)網(wǎng)，按上述方法最后求出各結(jié)點(diǎn)的高程后，各單一水準(zhǔn)路線再進(jìn)行分配閉合差計(jì)算。