有界噪聲激勵下單勢阱碰撞振動系統(tǒng)的混沌運動

劉亞妮,馮進鈐

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

0 引 言

現(xiàn)實生活中因摩擦、碰撞等非光滑因素導致的大量復雜現(xiàn)象,使人們對非光滑系統(tǒng)進行了廣泛的研究. 馮進鈐[1]將光滑系統(tǒng)的多項式逼近、Melnikov方法及隨機平均法等初步推廣到非光滑系統(tǒng)中. Bernardo等[2]在其專著中詳細分析了幾類不同非光滑系統(tǒng)的理論,研究了非光滑系統(tǒng)的不連續(xù)映射、不連續(xù)分岔及混沌等運動.

碰撞是眾多非光滑因素中的一種. 早先,Holmes等[3]通過對彈跳小球的研究,得出振幅達到一定值時Smsale馬蹄的存在性,使得碰撞的研究有了新的突破. 羅等[4]研究了確定性線性碰撞振動系統(tǒng)的余維一、余維二分岔以及混沌運動,但沒有考慮隨機激勵情形. 對于隨機非線性系統(tǒng)的分岔及混沌運動,文獻[5-9]已進行了詳細討論,但沒有考慮碰撞振動的情形. 馮等[10-11]研究了隨機碰撞振動系統(tǒng)的混沌運動,以及諧和與白噪聲激勵下非線性單邊碰撞振動系統(tǒng)的混沌動力學. 由于隨機因素與非主流因素表現(xiàn)形式多樣,已有文獻討論的還不夠詳細.

Melnikov方法是判定混沌運動最成熟的解析方法之一. 早期Melnikov方法和理論主要應用在光滑系統(tǒng)下, Holmes等[12]用 Melnikov 方法研究了可積系統(tǒng)在小擾動情況下的混沌運動. 徐等[13]研究了Melnikov方法在一類非線性振子中的應用. 目前,Melnikov方法已初步用于非光滑系統(tǒng)中和一些特殊隨機系統(tǒng)中[14]. 文獻[15]討論了一個小周期擾動下的典型非光滑系統(tǒng)的Melnikov方法及其全局混沌動力學;文獻[16]推導出橫截異宿點的Melnikov函數(shù)并將其應用于Hamilton系統(tǒng)來判斷擾動后的軌道變化. 本文主要研究具有平方非線性及隨機干擾的碰撞振動系統(tǒng),利用Melnikov方法推導出該系統(tǒng)產(chǎn)生混沌臨界值的必要條件,使得Melnikov方法在碰撞振動系統(tǒng)中的應用更加廣泛.

1 單邊碰撞振動系統(tǒng)模型及同宿軌

考慮諧和與有界噪聲激勵下帶平方項單邊碰撞振動系統(tǒng),系統(tǒng)方程為

(1)

(2)

式中：a為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；b為諧和激勵的幅值；下標“-”和“+”分別表示碰撞前和碰撞后時刻；R為碰撞恢復系數(shù),滿足R=1-εr0；μ為噪聲幅值；ξ(t)為有界噪聲,用一個含有隨機頻率與相位的函數(shù)來表示,形式如下

ξ(t)=sin(ω2t+σW(t)+V).

(3)

式中：ω2為中心頻率,σ為噪聲強度,W(t)為單位維納過程,V為(0,2π)上均勻分布的隨機變量.ξ(t)的均值為零,其譜密度函數(shù)為

(4)

令系統(tǒng)(2)中ε=0時,得到一個未擾系統(tǒng)

科學家們認為，在橙子、釀酒葡萄和可可等農(nóng)作物中開展的基因編輯工作能夠極大地保護這些植物，未來還能夠降低這些農(nóng)作物對灌溉、化肥和農(nóng)藥的需求。

(5)

由非線性動力學理論易知,未擾系統(tǒng)(5)存在兩個不動點S(0,0)和C(1,0),對應的特征方程為

因此,不動點S(0,0)對應的特征值為λ=±1,故不動點S(0,0)是鞍點.C(1,0)對應的特征值為λ=±i,特征根為虛可得出此點是中心. 根據(jù)文獻[12],得到未擾系統(tǒng)(5)的同宿軌

(6)

圖 1 未擾系統(tǒng)(5)的同宿軌Fig.1 The homoclinic orbits of the unperturbed system(5)

由式(6)可得,未擾系統(tǒng)(5)的相空間圖形如圖1所示,圖1中實線表示同宿軌(xu(t),yu(t))T.

2 Melnikov函數(shù)

由Melnikov理論和文獻[10,13]知,系統(tǒng)(2)在受到有界噪聲擾動下的Melnikov函數(shù)為

M(t0)=-aI1-r0I2+bU+μJ.

(7)

其中

(8)

令式(8)

式(7)中前三項為Melnikov函數(shù)的確定性部分,即Md(t0)=-aI1-r0I2+bU,最后一項為Melnikov函數(shù)的隨機部分,即Mr(t0)=μJ. 利用求有界噪聲ξ(t)的方差來觀察噪聲擾動對均值的偏離程度. 由隨機振動理論,隨機項Mr(t0)的方差可描述為

(9)

Sξ(ω)為噪聲譜密度,見式(4).H(ω)為頻率輸入.

故式(9)可化為

(10)

由隨機Melnikov理論知,在均方意義下系統(tǒng)鞍點附近穩(wěn)定流形與不穩(wěn)流形出現(xiàn)橫截相交的條件為

(11)

根據(jù)式(11),系統(tǒng)(2)出現(xiàn)Smale馬蹄混沌的必要條件為

(12)

圖 2 μc隨r0的變化圖Fig.2 The threshold value μc for the different values of r0

3 數(shù)值仿真

為了驗證式(12)中所得結(jié)果的正確性,本節(jié)將借助數(shù)值仿真進行驗證. 固定阻尼系數(shù)、諧和力幅值、中心頻率、噪聲強度. 在式(12)中取a=2.6,b=1.8,ω=1.5,ω2=1.5,σ=0.5,由式(12)得到噪聲幅值的臨界值μc隨碰撞參數(shù)r0的變化圖,見圖2.

從圖2中可以看出,μc隨著r0的增大而增大.因為較大的碰撞參數(shù)會導致系統(tǒng)消耗更多的能量.而振子要越過勢壘,從一個勢阱遷移到另一個勢阱,對噪聲激勵的需求就越大,所以μc隨著r0的增大而增大.

當r0=2.0時臨界值μc=1.687,取μ=1.6,如圖2中點A,在該條件下做出系統(tǒng)(2)的相圖、Poincare截面圖和Lyapunov指數(shù)序列圖,如圖3所示. 從圖3(a)和(b)可以看出,系統(tǒng)的運動為規(guī)則運動,不是混沌運動. 圖3(c)為4條樣本的最大Lyapunov指數(shù)序列圖,其最大Lyapunov指數(shù)平均值為λ≈-0.08<0,所以該狀態(tài)下的運動是穩(wěn)定的,也判斷為非混沌態(tài).

(a) 相圖 (b) Poincare截面圖 (c) 最大Lyapunov指數(shù)序列圖 3 μ=1.6時系統(tǒng)(2)仿真結(jié)果Fig.3 Numerical simulation results of system (2) with μ=1.6

在臨界值之上取μ=5.3,如圖2中點B,此條件下系統(tǒng)(2)的相圖、Poincare截面圖和Lyapunov指數(shù)序列圖如圖4所示. 由圖4中(a)和(b)可以看出,此條件下系統(tǒng)運動變的混亂. 圖4(c)為4條樣本的最大Lyapunov指數(shù)序列圖,得到最大Lyapunov指數(shù)平均值為λ≈0.008>0,可判定在此條件下系統(tǒng)的運動狀態(tài)是混沌的.

(a) 相圖 (b) Poincare截面圖 (c) 最大Lyapunov指數(shù)序列圖 4 μ=5.3時系統(tǒng)(2)仿真結(jié)果Fig.4 Numerical simulation results of system (2) with μ=5.3

圖 5 不同噪聲強度下μc隨r0的變化圖Fig.5 The threshold value μc for the onset of chaos values r0 with different values of σ

當噪聲強度σ分別為0,0.5,1時,得到不同情況下噪聲激勵參數(shù)μc隨碰撞參數(shù)r0的變化圖,見圖5.從圖5可以看出,在r0固定的情況下,μc隨σ的增大而增大.這是因為較大的噪聲激勵需要較大的噪聲強度來抑制.同時表明,增大噪聲強度可以降低混沌發(fā)生的機率.

4 結(jié)束語

本文研究諧和與有界噪聲激勵下的單勢阱碰撞振動系統(tǒng). 運用Melnikov方法推導出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的必要條件,模擬得到的相圖和最大Lyapunov指數(shù)顯示在臨界值之下為規(guī)則的運動,臨界值之上會出現(xiàn)混沌,驗證了Melnikov方法的解析結(jié)果.研究表明,在一定參數(shù)條件下,有界噪聲幅值的增大促使混沌運動的產(chǎn)生.而且較大的噪聲強度有助于抑制混沌運動.