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1.北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191 2.北京控制工程研究所，北京100190

微小衛(wèi)星具有體積小、質(zhì)量小、成本低、研制周期較短等特點，而且可以進一步組成大規(guī)模衛(wèi)星編隊，使其在通信、對地觀測等領(lǐng)域發(fā)揮的作用越來越大。但是在研制過程中，推進系統(tǒng)成為制約微小衛(wèi)星技術(shù)發(fā)展的一個重要因素[1]。傳統(tǒng)的化學(xué)推進裝置以及電推進裝置由于負(fù)載過重，已經(jīng)不適用于微小衛(wèi)星。

近年來，微機電集成技術(shù)(Micro Electro Mechanical Systems，MEMS)的出現(xiàn)，為研究微小衛(wèi)星的新型動力裝置提供了技術(shù)保障。MEMS固體微推力器陣列是一種新型推進裝置，利用MEMS技術(shù)在一塊芯片上集成多個可獨立尋址的微推力器，與傳統(tǒng)固、液、電推進器相比具有精度高、無燃料泄漏、沖量可調(diào)、沒有其他傳動部件等優(yōu)點，因此受到廣泛關(guān)注。國外從20世紀(jì)90年代開始展開MEMS微推進技術(shù)的研究，例如Honeywell公司和Princeton大學(xué)提出利用微推力器陣列進行微小衛(wèi)星編隊的相對位置保持并且已經(jīng)做出兆單元推力器陣列樣機[2]，但是沒有給出具體的控制算法；日本太空和航空科學(xué)研究所(Institute of Space and Astronautical Science，ISAS)提出將MEMS固體微推力器用于15 kg級別的月球探測器“LUNAR-A Penetrator”[3]。

國內(nèi)對MEMS固體微推進研究起步較晚，目前清華大學(xué)和南京理工大學(xué)等少數(shù)高校以及北京控制工程研究所等機構(gòu)已經(jīng)做出樣機，但是集成度較低，而且大部分研究都停留在微推力器的工藝研制階段，對微推力器的應(yīng)用研究還較少。文獻[4]研究了利用MEMS微推力器陣列進行微納衛(wèi)星編隊保持的控制算法，文獻[5-6]研究了利用微推力器陣列抑制衛(wèi)星太陽翼振動的控制算法，文獻[7]研究了基于固體微推力器陣列的衛(wèi)星控制一體化算法。隨著微小衛(wèi)星技術(shù)的飛速發(fā)展、衛(wèi)星組網(wǎng)技術(shù)的日漸成熟，預(yù)計到2025年全球?qū)l(fā)射微小衛(wèi)星3000顆以上[8]，這將會給MEMS固體微推力器陣列的應(yīng)用帶來廣闊的應(yīng)用前景[1]。

由于MEMS固體微推力器陣列是一種脈沖點火形式的推力器，在實際應(yīng)用中推力持續(xù)時間短，衛(wèi)星在其余時間內(nèi)都是按照動力學(xué)模型自由運動，按照常規(guī)的連續(xù)推力模型建立的控制律不能準(zhǔn)確反映脈沖推力的控制效果以及能量消耗?？紤]到系統(tǒng)狀態(tài)在有脈沖推力和無脈沖推力之間不停地切換變化，因此采用混合切換系統(tǒng)重新設(shè)計小衛(wèi)星軌道控制律?；旌锨袚Q系統(tǒng)可以避免直接處理復(fù)雜的非線性方程，而是將其替換為一組簡單的線性方程，然后在這些簡單方程之間進行切換[9]?；旌锨袚Q系統(tǒng)的研究內(nèi)容包括切換系統(tǒng)建模、穩(wěn)定性分析和控制綜合等[10-12]，文獻[13]研究了航天器自主交會過程的混合切換控制律，文獻[14]研究了切換系統(tǒng)在直升機姿態(tài)控制中的應(yīng)用，文獻[15]提出了高超聲速飛行器的混合切換控制律并進行了穩(wěn)定性分析。

基于連續(xù)力軌道保持技術(shù)的缺陷以及MEMS固體微推力器體積小、質(zhì)量小、單個沖量小、可以沖量組合的優(yōu)點，提出一種基于混合切換系統(tǒng)的軌道保持模型，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性第二定理[13]，建立線性矩陣不等式組，進而解得反饋控制律，并通過仿真驗證了控制算法的有效性。

1 衛(wèi)星動力學(xué)建模

設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，二者距離矢量為r。則按照牛頓萬有引力定律，它們之間相互吸引力的值為：

(1)

式中：G為萬有引力常數(shù)。則在地心慣性系中，考慮除萬有引力之外的合力為f，衛(wèi)星運動方程為：

(2)

令地球引力常數(shù)μ=GM，則衛(wèi)星軌道運動的基本方程寫成：

(3)

(4)

由于固體微推力器是一種間斷點火的推力裝置，推力器點火施加推力的時間遠(yuǎn)小于兩次控制的間隔時間，且脈沖推力的量級遠(yuǎn)大于空間軌道攝動力的量級，因此，采用離散控制方法來設(shè)計衛(wèi)星軌道運動模型。

如圖1所示，采樣間隔為τ，一個脈沖控制周期T為kτ。在脈沖推力作用之后，衛(wèi)星進入自由運動階段，直至下一次脈沖推力到來。整個過程可以視為脈沖推力階段和自由運動階段之間不停切換的過程。

將式(4)離散化，得到

x(n+1)=Adx(n)+Bdu(n)

(5)

式中：n=0,1,2,…為采樣時刻；

(6)

根據(jù)圖1可知，每次施加脈沖控制力的時刻為t0,tk,t2k,t3k,…，在每次施加脈沖后，衛(wèi)星的狀態(tài)量可由下式求得：

x(λk+1)=Adx(λk)+Bdu(λk),λ=0,1,2,…

(7)

在兩次脈沖之間的自由運動階段時，衛(wèi)星的離散狀態(tài)方程為：

x(λk+δ)=Adx(λk+δ-1),δ=2,3,…,k

(8)

式(7)和式(8)構(gòu)成了衛(wèi)星運動離散狀態(tài)方程。整個衛(wèi)星的運動過程就是由這兩種狀態(tài)方程之間的不停切換而構(gòu)成的。

2 混合切換控制律設(shè)計

2.1 混合切換控制模型

V(x(n))=xT(n)Px(n)

(9)

在每個子系統(tǒng)中，有

(10)

式中:P1和P2為正定對稱矩陣。按照連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)，需要V1和V2同時滿足遞減。但是在自由運動階段的子系統(tǒng)是一個純開環(huán)系統(tǒng)，這一階段不給航天器施加控制力，因此這個子系統(tǒng)的穩(wěn)定性是無法保證的，V2遞減的條件無法滿足。所以只能通過設(shè)計V1來使得系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)廣義遞減。

按照如圖2所示的能量變化，如果兩個子系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)V1和V2能夠滿足：

1)V1在每個脈沖周期內(nèi)都是遞減的。即V1(x1)

V1(x2k)，V1(x3k+1)

2)每個脈沖周期內(nèi)的V1的初值要比上一個周期的初值小。即V1(x0)>V1(xk)>V1(x2k)>V1(x3k)>…

3)V2在自由階段是不可控的，但是必須在切換點處滿足V1(xm)

則整個切換系統(tǒng)滿足李雅普諾夫函數(shù)呈現(xiàn)全局遞減趨勢，即混合系統(tǒng)在廣義條件下穩(wěn)定。

對以上3個條件進一步抽象和計算：

邊境包圍戰(zhàn)斗中應(yīng)用伏擊戰(zhàn)法，應(yīng)注意以下三點:首先，三面包圍要絕對的嚴(yán)密，不能留有任何間隙，防止給犯罪分子留下逃跑之機，使設(shè)伏行動失去原有的效果。其次，要及時發(fā)現(xiàn)犯罪分子的逃跑企圖，確保犯罪分子向我設(shè)伏地域逃竄，同時，包圍地域到設(shè)伏地域之間的距離也不宜過長，避免距離過長從而途中出現(xiàn)意外，使我對犯罪分子失控，讓犯罪分子有逃脫的機會;再次，確保設(shè)伏的兵力，絕對不能讓犯罪分子跑出我伏擊圈，要堅決將犯罪分子捕殲在我伏擊地域內(nèi)。

(1)ΔV1=xT(λk+1)·P1·x(λk+1)-

xT(λk)·P1·x(λk)<0

對于脈沖子系統(tǒng)來說，有

ΔV1=[x(λk+1)]TP1x(λk+1)-

[x(λk)]TP1x(λk)=[x(λk)]T·

[(Ad+BdK)TP1(Ad+BdK)-P1]·x(λk)

(11)

則ΔV1<0等價于

(Ad+BdK)T·P1·(Ad+BdK)-P1<0

(12)

對于V1(xλk)和V1(x(λ-1)k)，有

V1(xλk)=[x(λk)]TP1x(λk)

(13)

V1(x(λ-1)k)=[x((λ-1)k)]TP1x[(λ-1)k]

(14)

其中x(λk)可以由迭代計算來實現(xiàn)：

(15)

則該條件可化為：

(3)V1(xλk)

P1-P2<0

(16)

(17)

(18)

(19)

2.2 推力限制條件

微小衛(wèi)星在軌道保持的過程中，用于提供推力的MEMS固體微推力器總個數(shù)有限，而且如果單次脈沖推力過大的話，會直接導(dǎo)致軌道控制超調(diào)，造成不必要的誤差和額外消耗。因此有必要針對每次施加的脈沖控制力設(shè)計限制條件。

(20)

應(yīng)有|ui|≤umax,i=x,y,z。即

(21)

式中：Rx、Ry、Rz為推力矢量分割矩陣。式(21)可以等價為：

(22)

引入狀態(tài)反饋u=Kx，得

(23)

設(shè)存在數(shù)γ使得系統(tǒng)的初始能量滿足V1(x0)<γ成立，即有xTP1x≤V1(x0)<γ。則式(23)成立的充分條件為：

(24)

同樣，根據(jù)Schur定理，式(24)可以等價為線性矩陣不等式：

(25)

綜上，以式(17)(18)(19)(25)共6個不等式為約束，建立LMI不等式組求得可行解X1、X2、Y1，則可解得反饋控制矩陣：

(26)

3 仿真校驗

仿真條件：選擇立方體衛(wèi)星尺寸為0.2 m×0.2 m×0.2 m。衛(wèi)星質(zhì)量為1 kg。采用的微推力器單位元沖量為10-4N·s。采樣間隔為1 s?？刂崎g隔為100 s。衛(wèi)星運行軌道選為太陽同步軌道，軌道要素如表1所示。

表1 衛(wèi)星軌道6要素

圖3～圖5顯示了衛(wèi)星三軸初始誤差的控制效果和微推力器消耗情況。從仿真結(jié)果來看，本文設(shè)計的基于混合切換系統(tǒng)的軌道控制方法對于分米級甚至米級的初始誤差都有很好的控制效果，位置誤差和速度誤差都是只振蕩兩次即可達到穩(wěn)定，響應(yīng)時間約為4 000 s。從推力器消耗情況來看，初始幾次的消耗較多，但是均小于設(shè)定的單次最大消耗量nmax，符合預(yù)設(shè)條件。

從圖6和圖7可以看出，當(dāng)初始誤差被控制下來以后，衛(wèi)星的在軌位置誤差和速度誤差均穩(wěn)定在一個誤差區(qū)間內(nèi)，并且隨衛(wèi)星軌道周期呈現(xiàn)周期性變化。衛(wèi)星三軸位置誤差均保持在0.2 m以內(nèi)，速度誤差保持在0.5×10-3m/s以內(nèi)。由圖9可知，后期推力器消耗情況也隨衛(wèi)星軌道周期呈現(xiàn)周期性變化，而且y向推力器消耗明顯低于其他兩個方向。這是因為衛(wèi)星攝動力主要作用在衛(wèi)星的x軸和z軸方向，y向擾動很小，因此y向誤差累計很慢。仿真結(jié)果顯示平均每個軌道周期消耗推力器約為70個。對于集成度為每平方英寸(6.452 cm2)100×100個的微推力器陣列，在立方體衛(wèi)星每個表面貼10片即可以保證小衛(wèi)星在軌運行1年以上。

4 結(jié)束語

本文研究了基于MEMS微推力器陣列的微小衛(wèi)星軌道保持問題，針對微推力器推力不連續(xù)的特點，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，設(shè)計了衛(wèi)星軌道保持的混合切換控制律。結(jié)果表明，所設(shè)計的控制方法對于衛(wèi)星初始誤差和在軌實時誤差有很好的控制效果，驗證了混合切換控制律的有效性，能夠準(zhǔn)確反映出MEMS固體微推力器陣列的推力特點。MEMS微推力器陣列滿足微小衛(wèi)星高精度軌道保持的要求，可以克服傳統(tǒng)推進技術(shù)在微小衛(wèi)星上無法應(yīng)用的問題，為微推力器陣列在微小衛(wèi)星軌道控制應(yīng)用提供了仿真試驗支持，證明這種新型推力裝置具有廣闊的應(yīng)用前景。