一類超二次二階Hamilton系統(tǒng)的周期解

聶千千，郭 飛

(天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300354)

1 主要結(jié)論

本文主要研究二階非自治Hamilton系統(tǒng)

(1)

Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性問(wèn)題由Rabinowitz[1]于1978年解決，此后許多文獻(xiàn)應(yīng)用臨界點(diǎn)理論和變分法對(duì)Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性和多重性進(jìn)行了深入研究.其中有很多文獻(xiàn)考慮了形如(1)式的系統(tǒng)：在原點(diǎn)附近時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為主要由矩陣函數(shù)B(t)主導(dǎo)，但隨著|x|的增加，能量函數(shù)F超二次增長(zhǎng)并占據(jù)主導(dǎo)地位.李樹杰[2]在矩陣函數(shù)B(t)是常值對(duì)稱矩陣、F滿足經(jīng)典超二次條件下得到了系統(tǒng)周期解的存在性.隨后李樹杰和Willem[3]推廣了上述結(jié)論，研究了矩陣函數(shù)B(t)為連續(xù)函數(shù)矩陣的條件下系統(tǒng)周期解的存在性.2014年，Pipan等[4]討論了系統(tǒng)(1)在矩陣函數(shù)B(t)的元素僅是L1可積的情況下周期解的存在性問(wèn)題.2016年，李林等[5]研究系統(tǒng)(1)時(shí)令函數(shù)F(t，u)滿足下列條件：

其中λl-1和λl將在本文的第2部分介紹.在這些假設(shè)條件下，文獻(xiàn)[5]證明了系統(tǒng) (1)至少有一個(gè)T-周期解，若進(jìn)一步假設(shè)F(t，-u)=F(t，u)，則證明了系統(tǒng)(1)有無(wú)窮多個(gè)T-周期解，結(jié)果如下：

定理1.1[5]假設(shè)函數(shù)F滿足條件(F1)—(F3)，則系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)T-周期解，且它的二階弱導(dǎo)數(shù)L1可積.

定理1.2[5]假設(shè)函數(shù)F(t，u)關(guān)于u是偶的，滿足條件(F1)—(F2)，則系統(tǒng)(1)有無(wú)窮多個(gè)T-周期解，且它們的二階弱導(dǎo)數(shù)L1可積.

本文將條件(F2)進(jìn)行了如下推廣：

(F2′) 存在常數(shù)α>0，R>0，使得

該條件由唐春雷等[6]提出，本文用這一推廣的條件得到了如下更為一般的結(jié)論：

定理1.3假設(shè)函數(shù)F滿足條件(F1)，(F2′)，(F3)，則系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)T-周期的弱解.

定理1.4假設(shè)函數(shù)F(t，u)關(guān)于u是偶的，且滿足條件(F1)與(F2′)，則系統(tǒng)(1)有無(wú)窮多個(gè)T-周期的弱解.

2 預(yù)備知識(shí)

在空間L2([0，T]，RN)×L2([0，T]，RN)上定義如下的雙線性型a(·，·)和b(·，·)：

b(u，v)=-((B(t)+IN)u(t)，v(t))dt.

(2)

由文獻(xiàn) [5] 的結(jié)論知

(3)

定義雙線性型d(u，v)=a(u，v)+b(u，v)，有如下引理：

d(u，u)>δ‖u‖2，u∈H+.

定義2.1[7]設(shè)E是實(shí)Banach空間，泛函φ∈C1(E，R).若序列{un}?E，{φ(un)}有界和‖φ′(un)‖(1+‖un‖)→0蘊(yùn)含{un}有收斂子列，則稱泛函φ滿足Cerami條件，簡(jiǎn)稱(C)條件.

引理2.2[5](環(huán)繞定理) 設(shè)E是實(shí)Banach空間，泛函φ∈C1(E，R)，A，B是E的兩個(gè)子集滿足A與B環(huán)繞，且

假若泛函φ滿足(C)條件，則泛函φ有一個(gè)臨界點(diǎn).

引理2.3[8](噴泉定理) 假設(shè)泛函φ∈C1(E，R)滿足(C)條件.對(duì)于任意k∈N，存在ρk>rk>0使得：

其中Yk和Zk如上述定義.則泛函φ有一列趨于正無(wú)窮的臨界值序列.

3 主要結(jié)果的證明

引理3.2假設(shè)條件(F1)和(F2′)成立，則泛函φ滿足(C)條件.

|φ(un)|≤M，‖φ′(un)‖(1+‖un‖)≤M，?n∈N*.

為了證明{un}有收斂子列，首先用反證法證明{un}有界，證明的想法來(lái)自文獻(xiàn)[6].

(4)

(5)

又由條件(F1)知存在常數(shù)R1>R>0使得

F(t，u)≥0，?u∈RN且|u|>R1，t∈[0，T].

(6)

因?yàn)楹瘮?shù)F(t，u)連續(xù)可微，故存在常數(shù)C>0，使得

(7)

由(6)—(7)式，

F(t，u)≥-C，?u∈RN，t∈[0，T].

(8)

再由Fatou引理以及(5)和(8)式，

這與(4)式矛盾.

若v≡0，則由(4)式得

(9)

令Ωn={t∈[0，T]||un(t)|>R1}，由(7)式以及條件(F2′)，

可得‖un-u‖→0(n→∞).這就證明了引理3.2.

定理1.3的證明

證明由引理3.1和引理3.2，泛函φ滿足引理2.2的所有假設(shè)，從而系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)T-周期的弱解.

定理1.4的證明

證明借助引理2.3來(lái)證明.顯然，泛函φ是偶的.引理3.2說(shuō)明泛函φ滿足(C)條件，因此為了證明定理1.2，只需證明引理2.3中的條件(A1)和(A2)成立.

-F(t，u)≤-(1+CB)M1|u|2+C1，?u∈RN，t∈[0，T]，

(10)

其中C1是常數(shù).故對(duì)任意u∈Yk，由(3)和(10)式，

(11)

(12)