時(shí)諧散射問(wèn)題的一種各向異性的優(yōu)化PML方法

楊 孝 英

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

近年來(lái)，很多學(xué)者使用PML方法求解散射問(wèn)題.[1-3]文獻(xiàn)[4-7]給出了求解散射問(wèn)題的一種優(yōu)化PML方法，文獻(xiàn)[8]給出了求解不連續(xù)波數(shù)的散射問(wèn)題的各向異性PML方法.由于散射問(wèn)題的優(yōu)化PML方法的計(jì)算不依賴PML層的厚度，本文主要研究時(shí)諧散射問(wèn)題的各向異性優(yōu)化PML方法.

考慮如下的二維時(shí)諧散射問(wèn)題：

(1)

(2)

(3)

其中：r=|x|；f∈(H1(Ω))′的支集在B(R0)={x∈R2||x|

1 各項(xiàng)異性的優(yōu)化PML方法的構(gòu)造

(4)

(5)

其中：A(x)=J(x)DF-1(x)DF-T(x)，J(x)=det(DF(x))，DF(x)為Jacobi矩陣.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

圖1 各向異性PML層的構(gòu)造

下面給出如下的復(fù)坐標(biāo)拉伸變換：對(duì)于t>0，令

α(t)=η(t)+iσ(t)，η(t)=1+ζσ(t)

(12)

其中m≥2，ε0>0為足夠小的參數(shù).

(13)

其中m≥2為常數(shù).

證明由于

(14)

(15)

其中：α=α(r(x))，β=β(r(x)).對(duì)于其他區(qū)域，有類似的結(jié)果.

2 優(yōu)化PML方法的收斂性

顯然，問(wèn)題(1)—(3)的解u(x)滿足

(16)

其中ΨSL，ΨDL分別為單雙層位勢(shì)：

這里G(x，y)為Helmholtz方程的基本解

定義復(fù)距離

并且令

因此可以得到

(17)

由定理1和引理1，可以得到下面結(jié)論.

(18)

其中：m≥2，ε0>0，

(19)

(x1-y1)(x1-L1/2)>0，(x2-y2)(x2-sgn(x2)L2/2)≥0.

由引理2和定理1得

(20)

類似文獻(xiàn)[7]，可以證明：

引理3存在和k，σ，dj(j=1，2)無(wú)關(guān)的常數(shù)C>0使得：

(21)

(22)

(23)

(24)

類似文獻(xiàn)[2]中定理3.3，可以得到如下的收斂性估計(jì)：

(25)

其中：γ為(19)式所定義，m≥2，L=max(L1，L2)，C>0為與k，d1，d2，ε0無(wú)關(guān)的常數(shù).

證明由(16)和(17)式可得

再由引理3，即可得到(25)式.

文獻(xiàn)[8]中給出的PML方法，PML問(wèn)題的收斂性依賴于PML層的厚度.而本文給出的優(yōu)化PML方法中，由定理2可以看出，只要ε0充分小，優(yōu)化的PML解指數(shù)收斂于原問(wèn)題的解，并且PML解不依賴PML層的厚度，對(duì)于較小的厚度，可以降低有限元的計(jì)算量.各向異性的優(yōu)化PML方法為不連續(xù)波數(shù)的散射問(wèn)題提供了一種方便靈活的計(jì)算方法.在后續(xù)工作中將使用此方法求解不連續(xù)波數(shù)的散射問(wèn)題.