新的頁巖氣多級壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測模型研究

(中國建筑材料工業(yè)地質(zhì)勘查中心陜西總隊，陜西 西安 710003)

多級壓裂技術(shù)是頁巖氣實現(xiàn)商業(yè)化開發(fā)的關(guān)鍵技術(shù)之一，由于頁巖天然裂縫、脆性礦物含量、地應(yīng)力等復(fù)雜性，壓裂裂縫形態(tài)呈多樣化特點，使得頁巖氣井產(chǎn)能預(yù)測困難。目前對頁巖氣裂縫形態(tài)的描述主要包括三種：平板狀雙翼裂縫；多裂縫網(wǎng)絡(luò)；主裂縫與裂縫網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的結(jié)合[1-3]。Cinco-Ley H等[4]、 Wattenbarger R A等[5-6]、Anderson D M等[7]基于平板狀雙翼裂縫假設(shè)建立了致密氣垂直裂縫直井產(chǎn)量預(yù)測及分析模型，并給出了裂縫直井線性流分析方法，Nobakht M等[8-10]將該模型應(yīng)用于多級壓裂水平井；基于多裂縫網(wǎng)絡(luò)假設(shè)，Bello R O等[11]Moghadam S等[12]建立了雙孔線性流產(chǎn)能預(yù)測模型, Brown M等[13]、Ozkan E等[14]、Brohi I等[15]、徐兵祥等[16]考慮了未壓裂區(qū)對頁巖氣產(chǎn)量的影響，建立了頁巖復(fù)合氣藏線性流模型；對于裂縫形態(tài)為主裂縫與裂縫網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)合的頁巖氣產(chǎn)能預(yù)測模型，目前還未發(fā)現(xiàn)相關(guān)報道。本文基于主裂縫與裂縫網(wǎng)絡(luò)并存的裂縫形態(tài)假設(shè)建立相應(yīng)三孔數(shù)學(xué)模型，求得拉式空間下產(chǎn)量解析解，得到新的頁巖氣井產(chǎn)量典型曲線，并對比了其與雙孔線性流模型的差異性，為該類型裂縫形態(tài)多級壓裂水平井提供產(chǎn)能預(yù)測和分析模型。

1 物理模型建立

圖1為裂縫形態(tài)的三種類型。圖1a中裂縫為平板規(guī)則形狀，均勻分布在井筒兩側(cè)；圖1b中裂縫為不規(guī)則的裂縫網(wǎng)絡(luò)，分布在井筒周圍體積壓裂區(qū)域；圖1c既包括規(guī)則形狀的平板狀裂縫，其周圍又分布著不規(guī)則的裂縫網(wǎng)絡(luò)。對天然裂縫性儲層進行壓裂時，人工裂縫延伸過程中會與天然裂縫進行作用，形成復(fù)雜裂縫[17]；而支撐劑往往集中在離井筒附近較大的裂縫中，形成導(dǎo)流能力較大的主裂縫[1]。本文針對圖1c的裂縫形態(tài)建立模型，采用雙重介質(zhì)模型描述裂縫網(wǎng)絡(luò)與基質(zhì)系統(tǒng)特征，外加主裂縫一個流動系統(tǒng)，共包括三個流動系統(tǒng)。

圖1 頁巖氣多級壓裂水平井裂縫形態(tài)

2 數(shù)學(xué)模型及其求解

2.1 基本假設(shè)

圖2為多級壓裂水平井主裂縫與雙重介質(zhì)模型，包括主裂縫系統(tǒng)、裂縫系統(tǒng)與基質(zhì)系統(tǒng)，假設(shè)：

(1)氣藏為雙孔系統(tǒng)，基質(zhì)塊為平板狀，地層均質(zhì)、等厚、等溫；

(2)主裂縫均勻分布在水平井筒兩邊，垂直縫，裂縫長度、導(dǎo)流能力相同；

(3)產(chǎn)量僅受壓裂區(qū)控制，流體從基質(zhì)到裂縫、裂縫到主裂縫、主裂縫到井筒的流動均為線性流動；

(4)單相氣定壓生產(chǎn)，不考慮水平井端部與指端流體流動；

(5)不考慮吸附氣解吸對產(chǎn)量影響；

(6)不考慮井筒流動阻力，不考慮表皮系數(shù)與井儲效應(yīng)影響。

圖2 多級壓裂水平井模型示意圖及參數(shù)

2.2 連續(xù)性方程及邊界條件

由于氣體參數(shù)隨壓力和時間變化，采用擬壓力和擬時間來代替模型中的壓力和時間，擬壓力公式為：

(1)

擬時間為

(2)

式中，ψ為氣體擬壓力函數(shù)，MPa2/mpa·s；p為壓力，MPa；μ為粘度，mpa·s；z為壓縮因子；ta為擬時間，days；t為生產(chǎn)時間，days；Ct為原始條件下總壓縮系數(shù)，MPa-1。

2.2.1 雙重介質(zhì)基質(zhì)中的流動

假設(shè)基質(zhì)為平板狀，基質(zhì)系統(tǒng)控制方程為：

(3)

初始條件下基質(zhì)壓力等于原始地層壓力，得到

ψm(z，0)=ψi

基質(zhì)塊內(nèi)部為不滲透，因此內(nèi)邊界條件為

基質(zhì)塊與裂縫接觸面處壓力相等，因此外邊界條件為

ψm(zm/2，t)=ψf

此處zm為平板基質(zhì)塊寬度，m；km為基質(zhì)滲透率，mD；m代表基質(zhì)系統(tǒng)。φ為孔隙度；i表示原始條件。

2.2.2 雙重介質(zhì)裂縫中的流動

雙重介質(zhì)裂縫中流動控制方程為：

(4)

初始條件下裂縫壓力等于原始地層壓力，得到

ψf(x，0)=ψi

主裂縫之間存在不滲透流動邊界，因此定義內(nèi)邊界條件為

裂縫系統(tǒng)與主裂縫系統(tǒng)交接處壓力相等，因此定義外邊界條件為

ψf(L/2，t)=ψF

此處L為主裂縫間距，m； f代表裂縫系統(tǒng)。

2.2.3 主裂縫

主裂縫系統(tǒng)中流體流動控制方程為：

(5)

初始條件下裂縫壓力處處相同且等于原始地層壓力，

ψF(x，0)=ψi

由于不考慮水平井筒壓力降，且假設(shè)恒定井底流壓生產(chǎn)，則內(nèi)邊界條件為

ψF(0，t)=ψwf

假設(shè)裂縫縫端封閉，外邊界條件為

式中， wF為主裂縫寬度，m； F代表主裂縫系統(tǒng)。

由于主裂縫內(nèi)孔隙體積較雙重介質(zhì)很小，在實際壓力或產(chǎn)量反映中很難觀察到該裂縫的作用，故此處可不考慮流體體積變化量對壓力的影響，認(rèn)為壓力的變化僅受外部裂縫系統(tǒng)氣體流入的影響。因此，裂縫方程可簡化成穩(wěn)態(tài)形式求解，控制方程變?yōu)?/p>

(6)

2.3 無因次變換

定義無因次變量：

其中xF為主裂縫半長，m；qg為產(chǎn)氣量，m3/day；T為絕對溫度，K。

產(chǎn)量與壓力的關(guān)系為

(7)

根據(jù)無因次變量定義，將基質(zhì)系統(tǒng)、裂縫系統(tǒng)、主裂縫系統(tǒng)微分方程及初始邊界條件轉(zhuǎn)換成無因次變量形式，如下：

(1)雙重介質(zhì)基質(zhì)系統(tǒng)

(2)雙重介質(zhì)裂縫系統(tǒng)

(3)主裂縫系統(tǒng)

2.4 模型拉式空間解

設(shè)拉式變換式為

(8)

(1)基質(zhì)系統(tǒng)拉式變換及求解

基質(zhì)方程轉(zhuǎn)化為：

根據(jù)初始條件ψmD(tDa=0)=0，因此控制方程的通解為：

(9)

由內(nèi)、外邊界條件，得到

(10)

當(dāng)yD=yDe時

(11)

(2)裂縫系統(tǒng)拉式變換及求解

裂縫方程轉(zhuǎn)化為：

控制方程的通解為：

(12)

其中：

(13)

由內(nèi)、外邊界條件，得到該方程的解為

(14)

則

(15)

(3)主裂縫系統(tǒng)拉式變換及求解

主裂縫方程給轉(zhuǎn)化為：

控制方程通解為：

(16)

其中：

由內(nèi)、外邊界條件，得到該方程的解為

(17)

則

(18)

(4)定壓產(chǎn)量解

根據(jù)公式(7)產(chǎn)量與壓力關(guān)系，可得到定壓解：

(19)

采用Laplace數(shù)值反演Stehfest方法可計算產(chǎn)量。

圖3 三孔線性流模型產(chǎn)量典型曲線

3 新的頁巖氣三孔模型典型曲線

圖3為新的三孔模型產(chǎn)量典型曲線，分別給出了三個重要參數(shù)無因次裂縫導(dǎo)流能力CFD、竄流系數(shù)λ、儲容比ω對典型曲線形態(tài)的影響。從圖可看出典型曲線主要包括以下四個流動階段：

階段一，裂縫線性流，為主裂縫與雙重介質(zhì)裂縫系統(tǒng)的共同作用，雙對數(shù)曲線斜率為-0.5。從圖3a可看出，CFD主要影響產(chǎn)量的絕對值，隨CFD值增大，產(chǎn)量增大，但該階段時間縮短。從圖3c可看出，隨著ω增大，裂縫內(nèi)孔隙體積大，產(chǎn)量增大，且該階段持續(xù)時間延長?？煽闯鯟FD與ω對產(chǎn)量的影響均發(fā)生在這一階段。在實際生產(chǎn)過程中，主裂縫線性流階段發(fā)生時間很短，很難與天然裂縫作用分開，因此在數(shù)學(xué)模型求解時取二者的綜合作用。

階段二，過渡流，發(fā)生在裂縫線性流達(dá)到邊界后，為裂縫線性流進入下個流動階段的中間階段。該階段持續(xù)時間長短和產(chǎn)量下降幅度取決于基質(zhì)系統(tǒng)與裂縫系統(tǒng)物性的差異，當(dāng)λ增大，可理解為基質(zhì)滲透率較大時，過渡流階段持續(xù)時間短；隨著ω減小，可理解為裂縫孔隙體積減小或基質(zhì)孔隙體積增大，基質(zhì)系統(tǒng)能更快、更有效的向裂縫系統(tǒng)供氣，導(dǎo)致該流動階段持續(xù)時間縮短。

階段三，基質(zhì)線性流，這時基質(zhì)孔隙內(nèi)流體的流動成主導(dǎo)作用，雙對數(shù)曲線斜率為-0.5。由于頁巖基質(zhì)滲透率很低，因此，該階段持續(xù)時間長。竄流系數(shù)λ對該階段影響較大，隨著λ增大，產(chǎn)量增大，且該階段持續(xù)時間縮短，能更快的進入下個階段。

階段四，邊界流，當(dāng)基質(zhì)內(nèi)流體流動到達(dá)內(nèi)邊界時，形成擬穩(wěn)態(tài)流動，在雙對數(shù)曲線上表現(xiàn)為曲線下滑，這時整個控制范圍內(nèi)壓力均已波及到。

通過這四個階段特點可求得儲層參數(shù)和控制儲量，尤其是長時間線性流階段，能真實反映儲層流體流動特征。主裂縫與裂縫系統(tǒng)是難以區(qū)分的，但不影響對生產(chǎn)中后期產(chǎn)量的預(yù)測。

4 與雙孔線性流模型對比

三孔線性流模型較雙孔模型僅多了一個主裂縫系統(tǒng)，為了分析主裂縫的作用，下面對比二者的產(chǎn)量情況。取相同的λ、ω值，分別做出兩模型的典型曲線，其中三孔模型中無因次導(dǎo)流能力分別取CFD=1、10、50。

圖4為雙孔與三孔模型產(chǎn)量典型曲線，二者流動階段是一致的，但在相同的λ、ω值情況下，三孔模型較雙孔模型產(chǎn)量高，且隨著主裂縫無因次導(dǎo)流能力CFD增加，產(chǎn)量增大，說明主裂縫一定程度上增大了頁巖氣井產(chǎn)量。因此，在進行壓裂施工時，要盡可能壓裂形成主裂縫和裂縫網(wǎng)絡(luò)的裂縫形態(tài)，高導(dǎo)流能力的主裂縫對產(chǎn)量影響很大，尤其是早期產(chǎn)量。

圖4 三孔與雙孔模型產(chǎn)量對比(λ=0.0001, ω=0.01)

5 結(jié)語

(1)建立了頁巖氣三孔線性流模型并給出拉式空間解，該模型適用于頁巖氣多級壓裂水平井裂縫形態(tài)為主裂縫與裂縫網(wǎng)絡(luò)綜合的情形。

(2)基于三孔線性流模型得到了頁巖氣新的產(chǎn)量典型曲線，包括裂縫線性流、過渡流、基質(zhì)線性流、邊界流四個流動階段。裂縫線性流為主裂縫與裂縫網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的共同作用，實際井分析時難以區(qū)分，合并考慮不影響對中后期產(chǎn)量的預(yù)測。

(3)其它參數(shù)相同時，三孔線性流模型較雙孔模型產(chǎn)量高，因此，建議壓裂施工設(shè)計時，盡可能壓開主裂縫，同時誘導(dǎo)更多裂縫網(wǎng)絡(luò)的形成。