王祖堯， 丁 虎， 陳立群,3

(1.浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023；2.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200072；3.上海大學(xué) 力學(xué)系,上海 200444)

近年來，國內(nèi)外研究人員對(duì)振動(dòng)能量采集進(jìn)行了大量的研究[1-7]，力圖提高振動(dòng)能量采集的效率和擴(kuò)大采集的頻率范圍。而大多數(shù)研究的是單頻外部激勵(lì)條件下的振動(dòng)狀態(tài)。在實(shí)際環(huán)境中，外部激勵(lì)大多為復(fù)雜的多頻激勵(lì)。比如系統(tǒng)處在兩個(gè)激勵(lì)源中，或者行走機(jī)械在工作時(shí)，路面給系統(tǒng)的激勵(lì)與機(jī)械本身的動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生的激勵(lì)形成多頻激勵(lì)。多頻激勵(lì)容易產(chǎn)生混沌行為，而往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩或不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。因此，需要研究多頻激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)的影響。目前，已有許多學(xué)者對(duì)多頻激勵(lì)下的系統(tǒng)進(jìn)行了研究。畢勤勝等[8]利用Flouquet理論和解通過轉(zhuǎn)遷集時(shí)的特性，研究了多頻激勵(lì)Duffing方程一次近似解的各種分岔模式及其轉(zhuǎn)遷集。Yang等[9-10]利用多尺度法研究了一類Duffing-Van der Pol耦合非線性系統(tǒng)的響應(yīng)。楊德森等[11]利用多尺度法對(duì)硬彈簧特性Duffing系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)進(jìn)行分析可知，多頻激勵(lì)改變了單頻激勵(lì)條件下系統(tǒng)的主共振狀態(tài)，使單頻激勵(lì)條件下的曲線產(chǎn)生了偏移。Zhou等[12]利用分析法和數(shù)值仿真研究了Duffing-Van der Pol振子在外激勵(lì)和參數(shù)激勵(lì)下的混沌運(yùn)動(dòng)，提出了可控制頻率的新的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

雖已有眾多研究者對(duì)多頻激勵(lì)作用下動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，但關(guān)于多頻激勵(lì)作用下多自由度系統(tǒng)的能量采集還很少涉及。本文在文獻(xiàn)[13]基礎(chǔ)上研究了在增加了一個(gè)線性彈簧振子后，磁懸浮磁電能量采集系統(tǒng)在多頻激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)。通過受力分析建立電力耦合的非線性振動(dòng)方程組，利用諧波平衡法和弧長法得到該系統(tǒng)在外部多頻激勵(lì)作用下的穩(wěn)態(tài)平均功率的幅頻響應(yīng)，并對(duì)比不同參數(shù)下系統(tǒng)的響應(yīng)，研究系統(tǒng)的參數(shù)對(duì)能量采集的影響，還通過直接數(shù)值方法驗(yàn)證解析結(jié)果。

1 磁懸浮非線性能量采集系統(tǒng)建模

本文研究一種新型磁懸浮能量采集器，這種磁懸浮采集系統(tǒng)原理示意圖如圖1所示。磁懸浮采集裝置是在四根對(duì)稱放置的直柱上下兩端各固定一個(gè)磁體，在兩個(gè)永磁體之間放置一個(gè)可以上下移動(dòng)的懸浮磁體，通過四根對(duì)稱放置的直柱來控制它的水平方向運(yùn)動(dòng)。中間的磁體的磁極需要與上下兩個(gè)磁體的磁極相反，以產(chǎn)生相互間的排斥力，并在四根對(duì)稱放置的直柱外側(cè)上部和下部繞有銅線圈。當(dāng)收到外界的多頻激勵(lì)時(shí)，引起中間永磁體的上下運(yùn)動(dòng)，在銅線圈內(nèi)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，可以得出圖2中間磁極受到磁力的總和表示為k1x+k3x3。

圖1 磁力懸浮能量采集系統(tǒng)圖Fig.1 A illustration of the magnetic levitation energy harvesting system

為了增加能量采集器的采集強(qiáng)度和采集頻率的范圍，在中間磁體下方懸掛一個(gè)線性振子。當(dāng)磁懸浮結(jié)構(gòu)受到外界環(huán)境的激勵(lì)時(shí)，線性彈簧振子可以改變能量采集器的動(dòng)力系統(tǒng)的特性，調(diào)節(jié)采集頻率的帶寬。這種能量采集器的力學(xué)模型如圖2所示。

我們知道磁力的密度取決于中間磁體的距離，而距離可以通過系統(tǒng)的控制方程得到。當(dāng)能量采集結(jié)構(gòu)受到的外界激勵(lì)是多頻簡諧激勵(lì)時(shí)，考慮非線性磁力、重力和阻尼的影響，根據(jù)牛頓第二定律和法拉第定律可以得到控制方程

圖2 磁力懸浮能量采集系統(tǒng)的力學(xué)模型圖

Fig.2 A mechanical model schematic of the magnetic levitation energy harvesting system

(1)

2 諧波平衡法分析

由于磁懸浮能量采集器是強(qiáng)非線性激勵(lì)系統(tǒng)，這里通過諧波平衡法對(duì)式(1)進(jìn)行近似求解。為了將分析的問題一般化，首先對(duì)式(1)進(jìn)行無量綱化，即引入如下無量綱參數(shù)

(2)

將以上無量綱參數(shù)(2)代入控制方程(1)，得到無量綱化的動(dòng)力學(xué)方程

(3)

假設(shè)式(3)的解如下形式

(4)

將式(4)代入式(3)，并令常數(shù)項(xiàng)，cosωt和sinωt的系數(shù)分別相等，得到穩(wěn)態(tài)的情況下的幅頻響應(yīng)方程

a13η-a12k2-a11ω2-f1+3a01a11a21k3+

3a01b11b21k3=0

(5)

(6)

3a012a21k3+3/4a213k3+3/2a01a112k-3/2a01b112k33+

2b21c1ω-a22k2-2b22c2ω+

a21k1-4a21ω2-f2=0

(7)

2a21c1ω-b22k2+b23η+b21k1-4b21ω2=0

(8)

(9)

-4a22ω2-4a21ω2-f2+20b22c2ω+10a22k2=0

(10)

-4b22ω2-4b21ω2-20a22c2ω+10b22k2=0

(11)

-a12ω2-a11ω2-f1+10c2b12ω+10a12k2=0

(12)

-b12ω2-b11ω2-10a12ωc2+10b12k2=0

(13)

-b11ηω+a13μ+b13ω=0

(14)

a11ηω-a13ω+b13μ=0

(15)

-2b21ηω+a23μ+2b23ω=0

(16)

2a21ηω-2a23ω+b23μ=0

(17)

g1+10a02k2=0

(18)

對(duì)于給定的多頻激勵(lì)頻率ω和激勵(lì)頻率比k，通過牛頓迭代法和弧長延長法求解式(5)～(18)中的14個(gè)未知數(shù)，即解得式(4)中的系數(shù)。從而可以分別求得式(3)的位移和電流的表達(dá)式，得到位移振幅和電流振幅幅頻響應(yīng)。

系統(tǒng)的電功率可以通過P=μI2計(jì)算，而在一個(gè)周期T=2π/ω的平均電功率可以表示為

(19)

3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)的影響

表1 系統(tǒng)的參數(shù)Tab.1 Parameters of the system

3.1 多自由度的質(zhì)量比的影響

運(yùn)用龍格庫塔法，在保持其他參數(shù)不變的條件下，計(jì)算在不同的質(zhì)量比u下中間磁體的平均功率幅頻響應(yīng)。在圖3中，當(dāng)質(zhì)量比u=0.1時(shí)，磁懸浮能量采集系統(tǒng)的平均功率幅頻響應(yīng)分別在頻率為3.8 Hz和7.5 Hz附近出現(xiàn)共振峰，兩個(gè)帶寬較窄的共振峰，振幅基本相等，并且都向右彎曲。當(dāng)質(zhì)量比u=0.1時(shí)，懸掛的振子質(zhì)量過小，線性彈簧振子對(duì)能量采集系統(tǒng)的影響可以忽略不計(jì)。當(dāng)質(zhì)量比分別為u=1和1.5時(shí)，中間磁鐵的平均功率都出現(xiàn)四個(gè)共振峰。增加的共振峰出現(xiàn)在左邊，兩個(gè)共振峰的頻率分別為1 Hz和2 Hz附近，其峰值還不到單自由度左邊峰值的一半；右邊兩個(gè)共振峰分別在頻率為4 Hz和8 Hz附近出現(xiàn)，其峰值也小于單自由度右邊的峰值，并且共振峰向右偏移。另外，從圖3中還可以發(fā)現(xiàn)，左邊的第一個(gè)共振峰的幅值隨著質(zhì)量比的增大而增大，且共振峰向左邊偏移；但是右邊的共振峰的幅值隨著質(zhì)量比的增大而變小，越向右邊偏移，兩個(gè)共振頻率變大。此外，平均功率的左右兩邊的兩個(gè)共振峰之間距離都隨著質(zhì)量比的增大而增大。

圖3 在不同質(zhì)量比下的彈簧振子平均功率幅頻響應(yīng)

Fig.3 Average power frequency response of middle magnet for different mass ratiou

圖4給出中間磁體平均功率的幅頻響應(yīng)的數(shù)值驗(yàn)證。兩個(gè)多頻激勵(lì)的加速度的振幅都是8 m/s2，多頻頻率比k=2。在線性彈簧的耦合下，共振峰由原來的兩個(gè)增加到四個(gè)。平均功率向上掃頻和向下掃頻的四個(gè)共振峰，以及諧波平衡法和弧長延長法得到的解析解。平均功率的解析解和數(shù)值模擬解吻合較好。在共振峰附近有些誤差，這是因?yàn)橹C波平衡法的有限項(xiàng)的近似解代替真實(shí)解，產(chǎn)生了誤差。我們可以通過增加諧波平衡近似解的項(xiàng)數(shù)來提高諧波解的精確度。

圖4 平均功率幅頻響應(yīng)的數(shù)值驗(yàn)證

Fig.4 Numerical verification for the average power frequency response of middle magnet (k=2)

3.2 多自由度的阻尼的影響

接下來用諧波平衡法和弧長延長法，計(jì)算在不同中間磁體阻尼c1下中間磁體在多頻激勵(lì)下的平均功率幅頻響應(yīng)。除阻尼外，系統(tǒng)參數(shù)選取如表1所示。圖5給出了阻尼c1分別取為0.04、0.05和0.055時(shí)的平均功率幅頻響應(yīng)。從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)平均功率幅頻響應(yīng)的四個(gè)共振峰隨阻尼的減小而增大，帶寬隨阻尼的減小而增大和變寬，并且共振峰越向右彎曲。因此，兩自由度系統(tǒng)阻尼的改變影響在多頻激勵(lì)下的平均功率的振幅和帶寬。

圖5 不同阻尼的中間磁體平均功率幅頻頻響應(yīng)

Fig.5 Average power frequency response of middle magnet for different dampingc

3.3 多自由度的電力耦合系數(shù)的影響

選取多自由度的耦合系數(shù)η分別取為0.3、0.5和0.8。從圖6中發(fā)現(xiàn)，耦合系數(shù)取的越大，系統(tǒng)平均功率的幅頻響應(yīng)的四個(gè)共振峰越大，帶寬越寬，并越向右彎曲。因此，系統(tǒng)電力耦合系數(shù)的增大時(shí)，中間磁體的平均功率的幅頻響應(yīng)反而變小。

圖6 不同耦合系數(shù)的中間磁體平均功率幅頻頻響應(yīng)

Fig.6 Average power frequency response of middle magnet for different coupling coefficientη

4 結(jié) 論

本文研究了通過線性添加彈簧振子的多自由度的磁懸浮非線性能量器采集系統(tǒng)在多頻激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。通過結(jié)合運(yùn)用諧波平衡法、牛頓迭代法和弧長延伸法，近似解析分析能量采集系統(tǒng)在多頻激勵(lì)下中間磁鐵的平均功率輻頻響應(yīng)，并通過直接數(shù)值方法驗(yàn)證解析分析。研究結(jié)果表明，這種多自由度的磁懸浮能量采集器質(zhì)量比的增大時(shí)，在多頻激勵(lì)下的平均功率幅頻響應(yīng)的共振峰由兩個(gè)變?yōu)樗膫€(gè)共振峰，振幅變小，但兩個(gè)共振峰的帶寬變寬。另外，通過系統(tǒng)參數(shù)分析發(fā)現(xiàn)，調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)阻尼比和耦合系數(shù)，可以優(yōu)化得到增強(qiáng)兩個(gè)共振峰和帶寬的寬度，以達(dá)到增強(qiáng)振動(dòng)能量采集效果的目的。