摘要：本文應用多尺度法得到了系統(tǒng)的振幅方程和頻率響應方程，并根據(jù)奇異性理論討論了系統(tǒng)的分岔類型，得到了這類非線性系統(tǒng)發(fā)生分岔的條件。

關鍵詞：多尺度法；分岔；參數(shù)激勵

引言

參數(shù)激勵和強迫激勵聯(lián)合作用下的非線性系統(tǒng)，具有十分豐富的動力學性能，長期以來一直受到廣泛關注.文獻研究了非線性方程在亞諧共振和非共振情況下的分岔問題；文獻研究了參量激勵的振子在非亞諧共振和非共振情況下的分岔特性.本文研究如下非線性系統(tǒng)：

（1）

其中 ， ， 均為參量.

1、分岔響應方程

對于系統(tǒng)（1）引入小參數(shù) ， ，并令 ，則系統(tǒng)（1）變?yōu)椋?/p>

（2）

不妨設 ， ，對于系統(tǒng)（2）應用多尺度法，將 展開成 的冪級數(shù) ，其中 于是得到

（3）

（4）

（5）

設方程（3）的通解為 ，將 代入方程（4），消去永年項，得到 ， 將 代入方程（5），為消去 中的永年項，得 （6）

（7）

由方程（6），（7）可知，若系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)解，則必有 ， 為常數(shù).因此穩(wěn)態(tài)解存在的條件是： ，即 ，換句話說，僅當激勵是周期激勵時才會有穩(wěn)態(tài)運動產(chǎn)生.

令 ，則方程（6）（7）可寫為

（8）

（9）

對于穩(wěn)態(tài)運動， ，則

（10）

（11）

于是得到了系統(tǒng)（2）的分岔響應方程.

2、分岔特性分析

設 是由方程（10）（11）所確定的穩(wěn)態(tài)解，令 ，其中 是擾動變量.把 代入（8）（9），注意到 是方程（10）（11）的解，于是得到擾動方程

易知其的系數(shù)行列式的特征方程為 ，其中

于是有

（1） 時

時，特征值是一對互異的正實根，不動點是不穩(wěn)定的結點.

時，特征值是一對互異的負實根，不動點是穩(wěn)定的結點.

時，特征值是一對異號的實根，不動點是鞍點.

（2） 時

時，特征值是一對相等的正實根，不動點退化為不穩(wěn)定的臨界結點.

時，特征值是一對相等的負實根，不動點退化為穩(wěn)定的臨界結點.

（3） 時

時，特征值是一對實部為正的共軛復根，不動點為不穩(wěn)定的焦點.

時，特征值是一對實部為負的共軛復根，不動點是穩(wěn)定的焦點.

時，特征值是一對純虛根，不動點為中心.

由上面的分析，可以知道當 時，系統(tǒng)產(chǎn)生亞臨界的霍普夫分岔，當 時，系統(tǒng)產(chǎn)生超臨界的霍普夫分岔.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性同時也發(fā)生變化，由穩(wěn)定的變?yōu)椴环€(wěn)定的.

參考文獻：

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作者簡介：于霞，女，1976年12月生，山東聊城人，講師，主要從事非線性分析研究。