基于蒙特卡洛模擬信息不完全下雙寡頭壟斷市場(chǎng)動(dòng)態(tài)研究

【摘 要】在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，分析雙寡頭壟斷市場(chǎng)的產(chǎn)量決策時(shí)，假設(shè)雙方都已知自己和對(duì)方的成本函數(shù)，都知道市場(chǎng)的需求函數(shù)的前提下，可以達(dá)到古諾納什均衡產(chǎn)量，但現(xiàn)實(shí)社會(huì)中一方是很難知道對(duì)方的成本函數(shù)的，本文就是在放寬這個(gè)假設(shè)的條件下，用水晶球軟件的蒙特卡洛模擬功能來(lái)說(shuō)明是否還會(huì)達(dá)到古諾納什均衡。

【關(guān)鍵詞】雙寡頭壟斷；成本函數(shù)；古諾納什均衡；蒙特卡洛模擬

一、雙寡頭壟斷市場(chǎng)的古諾納什均衡

古諾模型是早期的寡頭模型，它是由法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家古諾在1838年最先提出的。古諾模型是一個(gè)只有兩個(gè)寡頭廠商的簡(jiǎn)單模型，因此該模型也被稱(chēng)為“雙寡頭模型”。微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，雙寡頭壟斷市場(chǎng)是分析兩家寡頭壟斷廠商生產(chǎn)—種相同的產(chǎn)品時(shí)在寡頭壟斷市場(chǎng)中的行為。這一寡頭壟斷模型假定：每家廠商都不會(huì)力求去控制或有意地算計(jì)對(duì)方，或者說(shuō)，寡頭壟斷廠商在追求自身的利潤(rùn)最大化時(shí)，都將作為其競(jìng)爭(zhēng)者的寡頭壟斷廠商的產(chǎn)量看作是不受自己產(chǎn)量決策影響的。兩個(gè)寡頭經(jīng)過(guò)博弈形成的均衡為古諾均衡，也叫古諾納什均衡。

王禮剛、楊紅（2005）對(duì)比完全信息和不完全信息的靜態(tài)古諾均衡，認(rèn)為古諾均衡介于，雙方合謀的溝通均衡和完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)條件下的競(jìng)爭(zhēng)均衡之間。

張旭平、林勇（2010）利用博弈論分析了完全信息條件下靜態(tài)古諾模型，得出納什均衡時(shí)產(chǎn)量和利潤(rùn)，認(rèn)為如果兩個(gè)廠商合謀，聯(lián)合決定產(chǎn)量，比雙方只考慮自身利益做出決策而得到的利潤(rùn)要高。并利用博弈論中囚徒困境分析了雙方只要是考慮自身利潤(rùn)最大化，就不會(huì)選擇合謀，而達(dá)到古諾納什均衡。接下來(lái)對(duì)不完全信息古諾模型進(jìn)行分析，假設(shè)：兩寡頭進(jìn)行同時(shí)決策的產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)，市場(chǎng)需求為市場(chǎng)總產(chǎn)量線性函數(shù)，廠商A的成本函數(shù)為正比例函數(shù)即無(wú)固定成本，邊際成本固定，這是兩廠商的共同知識(shí)。而廠商B的成本函數(shù)為正比例函數(shù)，有兩種可能的情況：一種是高產(chǎn)量，一種是低產(chǎn)量，廠商B自己知道實(shí)際是哪一種，廠商A只知道兩種情況的概率。對(duì)這個(gè)靜態(tài)貝葉斯博弈作分析，得到這個(gè)博弈的貝葉斯—納什均衡的產(chǎn)量和利潤(rùn)，并對(duì)比完全信息條件下古諾納什均衡的產(chǎn)量。最后對(duì)完全信息古諾模型做了無(wú)限次數(shù)博弈，即動(dòng)態(tài)分析，認(rèn)為雙方仍然會(huì)陷入囚徒困境，最終采取靜態(tài)下古諾模型的產(chǎn)量。

在現(xiàn)實(shí)社會(huì)里，由于信息不完全，一方只可能知道自己的成本函數(shù)，假設(shè)市場(chǎng)的需求函數(shù)是公開(kāi)的信息，那么它就可以知道自己的利潤(rùn)函數(shù)，但通常是不可能知道對(duì)方的利潤(rùn)函數(shù)的，所以他只能根據(jù)對(duì)方的本期的產(chǎn)量來(lái)對(duì)自己下次的產(chǎn)量進(jìn)行決策，同樣的對(duì)方也會(huì)是這樣決策，那么在這個(gè)假設(shè)條件下雙方動(dòng)態(tài)調(diào)整會(huì)達(dá)到古諾納什均衡嗎？如果雙方恰好在第一期各自選擇了其古諾納什均衡的產(chǎn)量，很顯然在第二期及之后他們會(huì)一直均衡在這個(gè)最優(yōu)產(chǎn)量水平下，但是如果他們初期沒(méi)有恰好選擇了其古諾納什均衡產(chǎn)量，那么經(jīng)過(guò)幾期的動(dòng)態(tài)調(diào)整會(huì)出現(xiàn)古諾納什均衡嗎？這就是我們本文要考慮的問(wèn)題。

二、蒙特卡洛模擬

蒙特卡洛（Monte Carlo），又稱(chēng)隨機(jī)抽樣或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是在二十世紀(jì)四十年代中期發(fā)展起來(lái)的。蒙特卡洛方法能夠真實(shí)地模擬實(shí)際物理過(guò)程，故解決問(wèn)題與實(shí)際非常符合，可以得到很圓滿(mǎn)的結(jié)果。這是以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，將所求解的問(wèn)題同一定的概率分布相聯(lián)系，使用隨機(jī)數(shù)（或更常見(jiàn)的偽隨機(jī)數(shù)），用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問(wèn)題的近似解，來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。

當(dāng)所要求解的問(wèn)題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，可以通過(guò)試驗(yàn)的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率分布，或者這個(gè)隨機(jī)變量的平均值，并用作為問(wèn)題的解，這就是蒙特卡洛方法的基本思想。蒙特卡洛方法，利用數(shù)學(xué)方法來(lái)加以模擬，即進(jìn)行一種數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)。它是以一個(gè)概率模型為基礎(chǔ)，按照這個(gè)模型所描繪的過(guò)程，通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，作為問(wèn)題的近似解。蒙特卡洛方法主要有三個(gè)主要步驟：構(gòu)造或描述概率過(guò)程；從已知概率分布抽樣；得出各種估計(jì)量的概率分布。本文的蒙特卡洛模擬是借助于安裝在Microsoft excel軟件上的水晶球軟件實(shí)現(xiàn)。

三、信息不完全下雙寡頭壟斷市場(chǎng)蒙特卡洛模擬

本文是在信息不完全條件下，雙寡頭壟斷市場(chǎng)中的兩個(gè)寡頭僅僅知道自己的成本函數(shù)，而不知道對(duì)方的成本函數(shù)，并且成本函數(shù)為更接近實(shí)際情況邊際成本遞增的二階非線性函數(shù)，雙方都是在一定的產(chǎn)量范圍內(nèi)，隨機(jī)進(jìn)行第一期的決策，在動(dòng)態(tài)條件下分析二者的產(chǎn)量動(dòng)態(tài)變動(dòng)。

雙寡頭壟斷市場(chǎng)中有兩個(gè)供應(yīng)者，他們的產(chǎn)量取決于對(duì)方的產(chǎn)量，雙方的產(chǎn)量共同供給消費(fèi)者。為了下一步的蒙特卡洛模擬，現(xiàn)在假設(shè)兩個(gè)供應(yīng)者為A寡頭和B寡頭（下面簡(jiǎn)稱(chēng)A、B），市場(chǎng)的需求函數(shù)是P（Y1，Y2）=60-Y1-Y2，其中P是市場(chǎng)價(jià)格，Y1和Y2分別是A和B的產(chǎn)量；A和B的成本函數(shù)分別是C（Y 1）=Y 12和C（Y 2）=15Y 2+Y 22，他們的利潤(rùn)函數(shù)分別是π1=PY 1-C1=（60-Y1-Y2）×Y1-Y12和π2=PY2-C2=（60-Y1-Y2）*Y2-15Y2-Y22，其中π1和π2分別表示A和B利潤(rùn)。

首先看完全信息下靜態(tài)古諾納什均衡的情況。

接下來(lái)看信息不完全下雙寡頭壟斷市場(chǎng)的蒙特卡洛模擬情況。

首先在excel電子表格中建立該經(jīng)濟(jì)模型，然后利用水晶球軟件定義雙方的第一期產(chǎn)量為假設(shè)單元格，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行蒙特卡洛模擬。定義雙方隨后若干期的產(chǎn)量為預(yù)測(cè)單元格，最后分析模擬結(jié)果。

首先在excel電子表格中建立模型，除第一期外，A的當(dāng)期的產(chǎn)量取決于B的上期產(chǎn)量，B的當(dāng)期產(chǎn)量取決于A的上期產(chǎn)量，如此進(jìn)行20期生產(chǎn)，并且第一期我們假定雙方的產(chǎn)量是隨機(jī)的，由市場(chǎng)的需求函數(shù)可知，Y 1的定義域是[0，60]，所以假設(shè)A的第一期產(chǎn)量服從在[0，60]里的均勻分布，同樣的假設(shè)B的第一期產(chǎn)量也是服從在[0，60]里的均勻分布。我們利用水晶球軟件，將第1期的A，B的產(chǎn)量都定義為[0，60]里服從均勻分布的假設(shè)單元格，把雙方第3期，第5期，第10期和第20期的產(chǎn)量，定義為預(yù)測(cè)單元格，然后進(jìn)行5000次的隨機(jī)模擬，觀察預(yù)測(cè)單元格的統(tǒng)計(jì)變量。關(guān)于20期的選定，結(jié)合后面模擬結(jié)果統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以知道期數(shù)已經(jīng)足夠長(zhǎng)，沒(méi)有必要再做更多期的模擬。關(guān)于5000次隨機(jī)模擬選取，如果A和B的產(chǎn)量為整數(shù)，那么在0到60中，雙方各有61種選擇，可以組合出61×61= 3721種組合，5000次模擬差不多可以覆蓋各種組合情況。

如圖1，在excel中，列B表示A寡頭，列C表示B寡頭，行表示第幾期的生產(chǎn)，從單元格B2到C21表示相應(yīng)的產(chǎn)量，在單元格B2，C2中任意輸入兩個(gè)符合定義域的數(shù)（注，由水晶球軟件和蒙特卡洛模擬的特性，輸入任何定義域之內(nèi)的數(shù)字都不會(huì)對(duì)結(jié)果有影響的。）如B2為20，C2為30。在單元格B3中輸入公式“=15-C2/4”相當(dāng)于A寡頭的反應(yīng)函數(shù)Y1=15-Y2/4，同樣的，在單元格C3中輸入“=（45-B2）/4”相當(dāng)于B寡頭的反應(yīng)函數(shù)Y2=（45-Y1）/4，以次類(lèi)推，在單元格B21中輸入“=15-C20/4”，在單元格C21中輸入“=（45-B20）/4”。接下來(lái)，用水晶球軟件的Define Assumption鍵來(lái)定義假設(shè)單元格B2，如圖2，定義為[0，60]的均勻分布，同樣的C2定義為[0，60] 的均勻分布。再用水晶球軟件中的Define Forecast鍵來(lái)定義B4單元格為預(yù)測(cè)單元格，名稱(chēng)為A寡頭第3期產(chǎn)量，C4為B寡頭第3期產(chǎn)量，同樣定義單元格B6，C6，B11，C11，B21和C21為預(yù)測(cè)單元格，并定義相應(yīng)的名稱(chēng)。

在設(shè)置好模擬的參數(shù)后，就可以用水晶球軟件開(kāi)始進(jìn)行蒙特卡洛模擬了。本文將模擬次數(shù)設(shè)置成5000次，其他模擬參數(shù)均為軟件的默認(rèn)設(shè)置。5000次模擬后出現(xiàn)如下結(jié)果，兩個(gè)寡頭第3期和第5期的產(chǎn)量分布用圖3至圖6模擬結(jié)果的頻率頻數(shù)輪廓圖來(lái)描述，第10期和第20期的產(chǎn)量情況用表1模擬結(jié)果的統(tǒng)計(jì)量圖來(lái)描述

圖3和圖4，圖中橫坐標(biāo)為產(chǎn)量，左側(cè)縱坐標(biāo)為相應(yīng)產(chǎn)量的概率，右側(cè)縱坐標(biāo)為頻數(shù)，我們可以看出，在第3期的時(shí)候，A寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)集中在12.23到15.93之間了，B寡頭集中在7.53到11.23之間了，都比雙方初始的區(qū)間[0，60]集中了很多，并且明顯有向著各自的古諾納什均衡點(diǎn)集中的趨勢(shì)

如圖5和圖6，看第5期的產(chǎn)量圖，A寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)集中在12.95到13.18之間了，B寡頭集中在7.97到8.20之間了，A和B的產(chǎn)量均比第3期的產(chǎn)量有進(jìn)一步向著古諾納什均衡點(diǎn)集中的趨勢(shì)。

到了第10期，如表1，看A寡頭第10期的產(chǎn)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，A寡頭的產(chǎn)量的平均值和中值為13.00，方差標(biāo)準(zhǔn)差為0，最大值和最小值都是13.00，注意到眾數(shù)是不存在的，這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明A寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)非常接近于其古諾納什均衡產(chǎn)量13.00了，但還不準(zhǔn)確為13.00，這里面的方差標(biāo)準(zhǔn)差為0，最大值最小值都是13.00應(yīng)該是非常近似的值，否則眾數(shù)應(yīng)該是存在的。同樣由B寡頭產(chǎn)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也可知B寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)非常接近于其古諾納什均衡產(chǎn)量8.00了，但還不確切為8.00。

到了第20期，看A寡頭第20期的產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，平均值和中值為13.00，方差標(biāo)準(zhǔn)差為0，最大值最小值都是13.00，同時(shí)眾數(shù)也是13.00，這些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)已經(jīng)確切表明A寡頭的產(chǎn)量已經(jīng)等于其古諾納什均衡產(chǎn)量13.00了。同樣的，第20期B寡頭的產(chǎn)量也等于其古諾納什均衡產(chǎn)量8.00了。由雙方的反應(yīng)函數(shù)可知，第21期雙方的產(chǎn)量將和第20期的產(chǎn)量完全相同，也就是說(shuō)，在其他情況都不變的條件下，A和B的產(chǎn)量就繼續(xù)穩(wěn)定在他們的古諾納什均衡產(chǎn)量組合（13.00，8.00）了。

四、結(jié)論

經(jīng)過(guò)對(duì)水晶球5000次蒙特卡洛模擬的結(jié)果分析，在雙寡頭壟斷市場(chǎng)條件下，兩寡頭已知市場(chǎng)需求函數(shù)，自己的成本函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)的前提下，在不知道對(duì)方的成本函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)信息不完全的情況下，經(jīng)雙方多期（本文可以認(rèn)為至多經(jīng)過(guò)20期）按照自己的反應(yīng)函數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)產(chǎn)量調(diào)整，最終還是會(huì)均衡在雙方都知道對(duì)方成本函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)，完全信息靜態(tài)條件下得到的古諾納什均衡產(chǎn)量的。

（浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江東陽(yáng) 322100）

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作者簡(jiǎn)介：劉曌（1975 —），男，黑龍江牡丹江人，浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院經(jīng)外學(xué)院講師，碩士，主要從事商業(yè)經(jīng)濟(jì) 應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)研究。