孔凡 王恒 徐軍

摘要： 利用小波的時間-頻率聯(lián)合分辨率，提出了一種在完全非平穩(wěn)隨機激勵下，計算分數(shù)階阻尼線性系統(tǒng)響應(yīng)功率譜密度的方法。方法的思路在于選用廣義諧和小波，并利用小波-Galerkin近似，將具有分數(shù)階導數(shù)的運動微分方程轉(zhuǎn)化為一組以響應(yīng)小波變換為未知量的代數(shù)方程，解之并求得響應(yīng)小波變換后，結(jié)合隨機過程功率譜密度的小波變換表達得到激勵與響應(yīng)功率譜密度之間的關(guān)系。為此，在頻域中推導了小波-Galerkin方法必需的小波整數(shù)階與分數(shù)階聯(lián)系系數(shù)。數(shù)值算例表明：對具有不同分數(shù)階導數(shù)的系統(tǒng)，所建議的方法具有較好的適用性。

關(guān)鍵詞： 隨機振動； 功率譜密度； 廣義諧和小波； 聯(lián)系系數(shù)； 分數(shù)階導數(shù)

中圖分類號： O324文獻標志碼：A文章編號1004-4523（2018）04-0671-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.015

引言

19世紀開始嘗試將整數(shù)階導數(shù)推廣到任意階導數(shù)[1]，到目前，分數(shù)階導數(shù)作為任意階導數(shù)的代名詞，已在流變學、電化學、擴散理論及其他科學與工程領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用[2]。分數(shù)階導數(shù)在描述黏彈性材料本構(gòu)關(guān)系方面的工作始于文獻[3]；隨后，由于黏彈性材料在土木結(jié)構(gòu)被動控制裝置的應(yīng)用，人們利用分數(shù)階導數(shù)模型對結(jié)構(gòu)的隔震與減震控制進行了研究[4-8]。

在具有分數(shù)階導數(shù)的線性系統(tǒng)動力響應(yīng)方面，確定性動力激勵下的系統(tǒng)響應(yīng)可由Laplace變換[9-10]、Fourier變換[11]、數(shù)值[12-13]以及特征向量展開[14-15]等方法計算得到；隨機動力激勵作用下，可由頻域[16-17]或時域[18-20]兩類方法計算得到系統(tǒng)隨機動力響應(yīng)的統(tǒng)計特征描述。分數(shù)階導數(shù)非線性系統(tǒng)隨機動力響應(yīng)研究較少：Huang和Jin[21]采用隨機平均法對具有非線性恢復(fù)力的單自由度系統(tǒng)在白噪聲作用下的情況進行了考察，進一步的研究可見文獻[22]；Spanos和Evangelatos[23]則采用統(tǒng)計線性化方法考察了白噪聲作用下分數(shù)階Duffing振子的響應(yīng)二階矩?？梢?，對阻尼分數(shù)階系統(tǒng)的隨機振動研究僅局限于平穩(wěn)隨機激勵的情況，而地震工程研究中存在著廣泛的時域非平穩(wěn)、甚至時-頻完全非平穩(wěn)隨機激勵的現(xiàn)象，因此，亟需發(fā)展在完全非平穩(wěn)隨機激勵下分數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)隨機動力響應(yīng)的計算方法。

小波分析的時間-頻率聯(lián)合分辨性為描述地震動的完全非平穩(wěn)性[24]提供了可能?；诖?，人們利用小波分析對完全非平穩(wěn)激勵下線性、非線性和滯回整數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)的隨機動力響應(yīng)進行了研究[25-28]。注意到，在此理論框架內(nèi)分數(shù)階系統(tǒng)卻涉足尚少，最近唯一的工作可見文獻[29]。對整數(shù)階動力系統(tǒng)，文獻[25-27]方法克服了Spanos和Kougioumtzoglou提出的局部平穩(wěn)法[28]的局限性[27]，適用于剛度與阻尼較小的系統(tǒng)。因此，本文試圖將文獻[25-27]中的方法推廣到具有分數(shù)階阻尼的線性系統(tǒng)；其中，求解廣義諧和小波函數(shù)的分數(shù)階聯(lián)系系數(shù)為難點所在。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下：基于廣義諧和小波在頻域內(nèi)的特殊性，首先推導了整數(shù)階與分數(shù)階聯(lián)系系數(shù)；其次，利用小波-Galerkin方法將含分數(shù)階阻尼項的運動微分方程轉(zhuǎn)化為一組以響應(yīng)小波變換為未知量的代數(shù)方程；求解得到響應(yīng)小波變換后，可通過小波逆變換得到響應(yīng)時程，或可結(jié)合非平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的小波描述得到激勵-響應(yīng)功率譜密度關(guān)系；最后，通過若干數(shù)值算例驗證了所建議方法的適用性。

1廣義諧和小波

2聯(lián)系系數(shù)

小波聯(lián)系系數(shù)（Connection Coefficient）為小波函數(shù)或其導數(shù)的小波變換，它在微分方程的小波-Galerkin解法中具有重要地位。本文將小波函數(shù)第一階與第二階導數(shù)的小波變換簡稱為第一與第二階聯(lián)系系數(shù)，它們在時域內(nèi)的推導方法詳見文[27]。本節(jié)將首次從頻域角度推導各階聯(lián)系系數(shù)。由于分數(shù)階導數(shù)時域表達的復(fù)雜性，頻域推導方式在考慮分數(shù)階聯(lián)系系數(shù)時非常有用。

2.1整數(shù)階聯(lián)系系數(shù)

3分數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)響應(yīng)的Galerkin法本節(jié)將分別采用三角函數(shù)和周期廣義諧和小波作為基函數(shù)，結(jié)合Galerkin法對具有分數(shù)階導數(shù)的二階常微分運動方程進行求解。前者可稱為Fourier-Galerkin方法，在其他一些研究中又稱為諧波平衡法、Fourier變換方法或頻域方法，經(jīng)常作為精確方法與分數(shù)階動力系統(tǒng)的數(shù)值方法進行對比以驗證后者的適用性（如文[4]）。這里，作為小波-Galerkin方法的基礎(chǔ)，本節(jié)將重新檢視Fourier-Galerkin方法。

3.1Fourier-Galerkin方法

可見，小波-Galerkin法可將運動微分方程轉(zhuǎn)化為一組代數(shù)方程，解之能得到響應(yīng)的各階小波系數(shù)，進而將其小波逆變換后可得響應(yīng)時程。

3.3激勵-響應(yīng)功率譜密度關(guān)系

4數(shù)值算例

為了進一步評估本文所建議方法在完全非平穩(wěn)隨機激勵下阻尼分數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)響應(yīng)功率譜密度中的應(yīng)用，采用如“情況2”所示的參數(shù)設(shè)置。為此，本文對比兩種不同方法計算得到的系統(tǒng)響應(yīng)演變功率譜密度，即本文所建議的小波-Galerkin方法和Monte Carlo模擬方法。前者通過式（35）計算得到響應(yīng)演變功率譜密度；后者結(jié)合譜表現(xiàn)方法和隨機模擬的樣本響應(yīng)后，利用式（33）統(tǒng)計得到響應(yīng)演變功率譜密度。本文采用的數(shù)值算法參數(shù)設(shè)置如下：數(shù)字化后激勵和響應(yīng)時間間隔Δt=0.04且時間取樣點為512個；激勵和響應(yīng)樣本過程個數(shù)取500個；周期廣義諧和小波中每個頻帶中包含有Nt=8個δ函數(shù)。

可見二者吻合程度較好。為了清楚地顯示二者在某時間段處的功率譜密度吻合情況，圖8（a）給出了不同時間點處（2與6.28 s）兩種方法所得結(jié)果的對比，可見二者吻合程度較好。同樣地，圖4與5分別為α=0.5時，利用小波-Galerkin方法和Monte Carlo方法得到的響應(yīng)演變功率譜密度；圖8（b）給出了不同時間點處（2和6.28 s）兩種方法所得結(jié)果的對比，可見二者吻合程度較好。當α=0.75時，圖6與7的演變功率譜密度對比，以及圖8（c）所示不同時間點處（2和6.28 s）的功率譜密度對比也支持上述論斷。最后，與文獻[28]中的結(jié)果對比也顯示了所建議方法的可靠性。

相同時刻處的功率譜密度值隨著α的增大而減小，這是由于當α增大時，分數(shù)階阻尼項越來越表現(xiàn)得像整數(shù)階阻尼項而耗能能力增大，反之，當α減小時，它表現(xiàn)得越來越像剛度項而耗能能力減弱。同理，當α增大時，兩時間點處的功率譜密度差別減小，說明隨著耗能能力的增加，外部輸入能量在這段時間內(nèi)被大量耗散而無法有效增大結(jié)構(gòu)勢能。因此可得，α越小，響應(yīng)功率譜密度在時-頻空間內(nèi)越“細長”。

值得注意的是，本文利用所建議的小波-Galerkin方法具有如下特點。首先，本文所建議方法相對于Monte Carlo模擬具有更高的計算效率。當系統(tǒng)具有分數(shù)階導數(shù)項時，這種計算優(yōu)勢更加明顯，這是因為Monte Carlo模擬需要對每個樣本激勵利用分數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)的逐步積分法計算樣本響應(yīng)。相較于整數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)的逐步積分法，分數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)的歷史依賴性使它的逐步積分非常耗時，而樣本數(shù)目巨大的Monte Carlo模擬又進一步降低了它的計算效率性。相反，本文所建議的方法直接利用式（35）建立了激勵功率譜與響應(yīng)功率譜密度之間的關(guān)系，只涉及到簡單的矩陣運算，具有較高的計算效率。其次，本文所建議方法相對于文[28]提出的方法適用范圍更廣。文[28]基于廣義諧和小波采用了一種局部平穩(wěn)法計算線性和非線性振子在完全非平穩(wěn)隨機激勵下的演變功率譜響應(yīng)，這種方法建立在對非平穩(wěn)隨機過程的局部平穩(wěn)描述[31]的基礎(chǔ)上。對整數(shù)階導數(shù)的動力系統(tǒng)，文獻[27]詳細對比了局部平穩(wěn)法和小波-Galerkin方法的區(qū)別并詳述了后者的優(yōu)勢，即小波-Galerkin方法更適合阻尼和剛度均較小的情況。這種優(yōu)勢可能對于分數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)也同樣存在，限于篇幅，擬在進一步研究中詳論。

5結(jié)論與展望

本文利用基于廣義諧和小波的Galerkin方法得到了確定性和隨機動力激勵下分數(shù)階阻尼系統(tǒng)的確定性響應(yīng)時程和功率譜密度。具體而言，根據(jù)廣義諧和小波在頻域內(nèi)不重合的特殊性質(zhì)，利用頻域方法得到了周期廣義諧和小波的第一、二階和分數(shù)階聯(lián)系系數(shù)；在對Fourier-Galerkin方法推廣的基礎(chǔ)上，推導了分數(shù)階阻尼系統(tǒng)確定性響應(yīng)的小波-Galerkin方法，得到了非平穩(wěn)激勵小波變換系數(shù)與響應(yīng)時程小波變換系數(shù)之間的關(guān)系；最后，結(jié)合非平穩(wěn)隨機過程演變功率譜密度的廣義諧和小波表達，得到了非平穩(wěn)隨機激勵功率譜密度和響應(yīng)功率譜密度之間的關(guān)系。本文所建議的方法，利用了小波變換的時間-頻率分辨率處理由激勵引入的時間-頻率完全非平穩(wěn)性，與基于Monte Carlo模擬的響應(yīng)功率譜密度估計方法對比，具有較高的計算效率。

結(jié)合隨機動力系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計線性化方法，本文所發(fā)展的方法可望推廣應(yīng)用于計算阻尼項具有分數(shù)階導數(shù)形式的非線性系統(tǒng)的響應(yīng)功率譜密度。

參考文獻：

[1]Ross B A. Brief History and Exposition of the Fundamental Theory of Fractional Calculus[M]. Springer Berlin Heidelberg， 1975： 1—36.

[2]Oldham K B， Jerome Spanier. The Fractional Calculus：Theory and Application of Differentiation and Integration to Arbitary Order[M]. Acadamic Press， 1974.

[3]Gemant A. On fractional differentials [J]. Philosophical Magazine Series， 1938， 7（25）： 540—549.

[4]Koh C G， Kelly J M. Application of fractional derivatives to seismic analysis of base-isolated models[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics， 1990， 19： 229—241.

[5]Lee H H， Tsai C S. Analytical model of viscoelastic dampers for seismic mitigation of structures[J]. Computers & Structures， 1994， 50（1）： 111—121.

[6]Shen K L， Soong T T. Modeling of viscoelastic dampers for structural applications[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1995， 121（6）： 694—701.

[7]Makris N， Constantinou M C. Fractional-derivative maxwell model for viscous dampers[J]. Journal of Structural Engineering， 1991， 117（9）： 2708—2724.

[8]Makris N， Constantinou M C. Spring-viscous damper systems for combined seismic and vibration isolation[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics， 2010， 21（21）： 649—664.

[9]Bagley R L， Torvik P J. Fractional calculus-a different approach to the analysis of viscoelastically damped structures[J]. American Institute of Aeronautics & Astonautics Journal， 1983， 21（5）： 741—748.

[10]Bagley R L， Torvik P J. Fractional calculus in the transient analysis of viscoelastically damped structures[J]. American Institute of Aeronautics and Aston-autics Journal， 1985， 23（6）： 918—925.

[11]Gaul L， Klein P， Kempfle S. Impulse response function of an oscillator with fractional derivative in damping description[J]. Mechanics Research Communications， 1989， 16（5）： 297—305.

[12]Koh C G， Kelly J M. Application of fractional derivatives to seismic analysis of base-isolated models[J]. 2009， 19（2）： 229—241.

[13]Shokooh A， Suárez L. A Comparison of numerical methods applied to a fractional model of damping materials[J]. Journal of Vibration & Control， 1999， 5（3）： 331—354.

[14]Suarez L E， Shokooh A. An Eigenvector expansion method for the solution of motion containing fractional derivatives[J]. Journal of Applied Mechanics， 1997， 64（3）： 629—635.

[15]Chang T-S， Singh M P. Seismic analysis of structures with a fractional derivative model of viscoelastic dampers[J]. Earthquake Engineering & Engineering Vibration， 2002， 1（2）： 251—260.

[16]Rüdinger F. Tuned mass damper with fractional derivative damping[J]. Engineering Structures， 2006， 28（13）： 1774—1779.

[17]Zeldin B A， Spanos P D. Random vibration of systems with frequency-dependent parameters or fractional derivatives[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1997， 123（3）： 290—292.

[18]Agrawal O P. Stochastic analysis of dynamic systems containing fractional derivatives[J]. Journal of Sound & Vibration， 2001， 247（5）： 927—938.

[19]Ye K， Li L， Tang J. Stochastic seismic response of structures with added viscoelastic dampers modeled by fractional derivative[J]. Earthquake Engineering & Engineering Vibration， 2003， 2（1）： 133—139.

[20]Huang Z L， Jin X L， Lim C W. Statistical analysis for stochastic systems including fractional derivatives[J]. Nonlinear Dynamics， 2010， 59（1）： 339—349.

[21]Huang Z L， Jin X L. Response and stability of a SDOF strongly nonlinear stochastic system with light damping modeled by a fractional derivative[J]. Journal of Sound & Vibration， 2009， 319（3-5）： 1121—1135.

[22]Chen L C， Zhuang Q Q， Zhu W Q. Response of SDOF nonlinear oscillators with lightly fractional derivative damping under real noise excitations[J]. The European Physical Journal Special Topics， 2011， 193（1）： 81—92.

[23]Spanos P D， Evangelatos G I. Response of a non-linear system with restoring forces governed by fractional derivatives-Time domain simulation and statistical linearization solution[J]. Soil Dynamics & Earthquake Engineering， 2010， 30（9）： 811—821.

[24]孔凡， 李杰.非平穩(wěn)隨機過程功率譜密度估計的小波方法[J]. 振動工程學報， 2013， 26（3）： 418—428.

Kong F，Li J. Power spectrum estimation of non-stationary processes via wavelet[J]. Journal of Vibration Engineering， 2013， 26（3）： 418—428.

[25]Kong F， Spanos P D. Response evolutionary power spectrum determination of chain-like MDOF non-linear structural systems via harmonic wavelets[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2014， 66： 3—17.

[26]Kong F， Li J. Wavelet-expansion-based stochastic response of chain-like MDOF structures[J]. Journal of Sound and Vibration， 2015， 359： 136—153.

[27]Spanos P D， Kong F， Jie Li. Harmonic wavelets based excitation-response relationships for linear systems： A critical perspective[J]. Probabilistic Engineering Mechanics， 2016， 44： 163—173.

[28]Spanos P D， Kougioumtzoglou I A. Harmonic wavelets based statistical linearization for response evolutionary power spectrum determination[J]. Probabilistic Engineering Mechanics， 2012， 27（1）： 57—68.

[29]Kougioumtzoglou I A， Spanos P D. Harmonic wavelets based response evolutionary power spectrum determination of linear and non-linear oscillators with fractional derivative elements[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2016， 80： 66—75.

[30]Bouc R， Defilippi M. A Galerkin multiharmonic procedure for nonlinear multidimensional random vibration[J]. International Journal of Engineering Science， 1987， 25（6）： 723—733.

[31]Eckley I A， Nason G P， Treloar R L. Locally stationary wavelet fields with application to the modeling and analysis of image texture[J]. Journal of the Royal Statistical Society Series C-Applied Statistics， 2010， 59（4）： 595—616.

Abstract： A wavelet-based approach for calculating response evolutionary power spectral density （EPSD） of the linear dynamic system endowed with fractional derivative damping subject to joint time-frequency non-stationary excitation is presented. The core of this approach is the utilizing of the generalized harmonic wavelets （GHW） and Galerkin technique to transform the fractional differential equation of motion into a set of linear algebra equations in terms of unknown wavelet coefficients of the response. Combing with the wavelet representation of the power spectral density of the non-stationary stochastic process， a relationship between the PSD of excitation and of the response is obtained. For this purpose， the GHW connection coefficients of the integer and fractional order involved in the wavelet-Galerkin technique are derived in the frequency domain for the first time. Pertinent numerical examples are presented for systems with different order fractional derivatives demonstrating the reliability of the proposed approach.

Key words： random vibration； power spectral density； generalized harmonic wavelet； connection coefficient； fractional derivative