郭德平 江剛 李錚 鐘煒華 李金鑫 周小平

摘 要：

空洞的存在對(duì)地下工程質(zhì)量有重要影響，有必要采取物探方法探測(cè)空洞的形狀和位置。采用有限元法分析了瑞利波在含空洞介質(zhì)中的傳播特性，提出了定量分析空洞形狀參數(shù)和位置的計(jì)算方法。根據(jù)入射瑞利波和反射瑞利波傳播時(shí)間差確定空洞的水平位置，基于臨界干擾頻率法獲得空洞的埋深，用能量衰減率法確定空洞的大小。結(jié)果表明：瑞利波沿介質(zhì)表面?zhèn)鞑ミ^(guò)程中遇到空洞會(huì)發(fā)生反射和能量衰減，獲得的空洞位置和形狀參數(shù)相比實(shí)際值的誤差較小，達(dá)到較高的精確度。通過(guò)案例分析驗(yàn)證了計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：

有限元；瑞利波；地下空洞；衰減率；臨界干擾頻率

中圖分類(lèi)號(hào)：TU191

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：16744764（2018）05007107

收稿日期：20170628

基金項(xiàng)目：

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）（2014CB046903）；國(guó)家自然科學(xué)基金（51325903、51679017）；重慶市自然科學(xué)基金（院士專(zhuān)項(xiàng)） （cstc2015jcyjys30001、cstc2015jcyjys30006、cstc2016jcyjys0005）

作者簡(jiǎn)介：

郭德平（1983），男，主要從事巖土工程研究，Email： guodeping99@qq.com。

周小平（通信作者），男，教授，博士生導(dǎo)師，Email： xiao_ping_zhou@126.com。

Received：20170628

Foundation item：

National Program on Key Basic Research Project （973 Program） （No. 2014CB046903）； National Natural Science Foundation of China （No. 51325903， 51279218）； Natural Science Foundation of Chongqing （No. cstc2013jcyjys30002， cstc2015jcyjys30006， cstc2015jcyjys30001）

Author brief：

Guo Deping（1983）， main research interest： mechanical properties of rock mass，Email： guodeping99@qq.com.

Zhou Xiaoping（corresponding author）， professor，doctorial supervisor，Email： xiao_ping_zhou@126.com.

Quantitative analysis of shape parameters and position of the

twodimension defects with transient Rayleigh wave method

Guo Deping1，Jiang Gang2，Li Zheng3，Zhong Weihua4，Li Jinxin5a， Zhou Xiaoping5a，5b

（

1.Xuzhen Railway Co.，Ltd. Zhaotong 657900，Yunan，P.R. China；2.School of Civil Engineering， Guizhou University，

Guiyang 550003，P.R.China；3.Chongqing City Construction Investment（Group） Co.， Ltd.， Chongqing 400015，P.R. China；

4.Jiangxi Collgeg of Applied Technology，Ganzhou 341000，Jiangxi，P.R.China；5a.School of Civil Engineering；

5b.Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area， Ministry of Education，

Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China）

Abstract：

The existence of defects significantly affects the quality of underground engineering， making it necessary to detect the existence of defects with geophysical methods. The fluctuation characteristics of Rayleigh wave in the medium containing defects were analyzed with the finite element method， and quantitative analytical methods of shape parameters and position of defects were proposed. The horizontal position of defects is defined based on the propagation time difference between the incident Rayleigh wave and the reflected Rayleigh wave， while the depth of defects is obtained with the critical disturbance frequency method.The size of defects is determined with the energy attenuation rate method. The results show that the energy of Rayleigh wave attenuates and reflects during the process of propagation along the surface of the medium. It can be observed that results from the proposed method are in good agreement with the measured data.

Keywords：

finite element method； Rayleigh wave； defects； attenuation rate； critical disturbance frequency

隨著地下工程的大力發(fā)展，地質(zhì)勘探顯得越來(lái)越重要?？斩吹拇嬖趯?duì)建筑物產(chǎn)生沉降和破壞作用，影響建筑物的正常使用，使公路、鐵路和機(jī)場(chǎng)跑道等路基塌陷而導(dǎo)致交通中斷等。在彈性波波場(chǎng)能量中，瑞利波的波場(chǎng)能量占比高達(dá)67.3%，且瑞利波在介質(zhì)中傳播的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能反映出巖土體的物理屬性。因此，筆者采用時(shí)頻分析法和頻譜分析法得到空洞的形狀參數(shù)和位置。

瑞利波是瑞利（Rayleigh）[1]在1887年發(fā)現(xiàn)的彈性波。Stkooe等[2]利用瞬態(tài)瑞利波法進(jìn)行勘探實(shí)驗(yàn)，得到了瑞利波在介質(zhì)中的相速度分布，并提出了面波頻譜分析方法（SASW）。Park等[3]基于多道面波分析原理得到了瑞利波多階模式的頻散曲線(xiàn)。Nasserimoghddam等[45]提出了瑞利波衰減分析法（AARW），根據(jù)瑞利波傳播過(guò)程中的能量模式轉(zhuǎn)換等的特性分析了空洞的位置和埋深。孫宏祥等[6]采用激光激發(fā)瑞利波探測(cè)了材料表面缺陷的角度。Xia等[7]利用瑞利波在空洞尖端處的衍射波確定了空洞的位置。周文宗[8]對(duì)含有空洞介質(zhì)中的瑞利波頻散曲線(xiàn)進(jìn)行了正反演研究。馮治國(guó)[9]利用瞬態(tài)瑞利波法對(duì)巖溶路基注漿質(zhì)量進(jìn)行了檢測(cè)，并取得了良好的效果。劉中憲等[10]采用間接邊界積分方程法對(duì)襯砌隧道中入射瑞利波的二維散射問(wèn)題進(jìn)行了分析。Chai等[11]通過(guò)數(shù)值模擬研究了激勵(lì)源和空洞埋深對(duì)瑞利波的影響。張獻(xiàn)民等[12]通過(guò)數(shù)值模擬總結(jié)了地下管道的形狀和管徑大小對(duì)瑞利波信號(hào)的相應(yīng)規(guī)律。Shao等[13]基于夏江海的研究提出了利用廣義S轉(zhuǎn)換的方法探測(cè)空洞的埋深。柴華友等[14]重點(diǎn)分析了表面源激發(fā)的瑞利波在層狀介質(zhì)中的傳播特性。已有研究大部分是理論研究，并沒(méi)有對(duì)空洞的形狀參數(shù)和埋深進(jìn)行系統(tǒng)分析。

筆者基于上述研究分析了瑞利波的波動(dòng)特性，并采用有限元方法對(duì)含有空洞的介質(zhì)模型進(jìn)行了數(shù)值模擬，提出了確定空洞形狀參數(shù)和位置的計(jì)算方法：采用入射瑞利波和反射瑞利波的時(shí)間差法確定了空洞的位置和水平尺寸；采用臨界頻率干擾法確定了空洞埋深；采瑞利波衰減率法獲得了空洞豎向尺寸。

1 瞬態(tài)瑞利波法

瑞利波能夠應(yīng)用于空洞檢測(cè)，主要是利用瑞利波在介質(zhì)內(nèi)傳播的兩個(gè)特性：1）瑞利波的勘探深度和能量主要集中在一個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)，且波長(zhǎng)不同，其穿透深度也不同。2）瑞利波沿著介質(zhì)表面?zhèn)鞑r(shí)，遇到空洞會(huì)發(fā)生反射和透射，同時(shí)發(fā)生模式轉(zhuǎn)換。與此同時(shí)，由于受到空洞的影響，瑞利波的能量發(fā)生衰減。

瞬態(tài)瑞利波探測(cè)法原理是在地面某一點(diǎn)處施加沖擊力，地面會(huì)產(chǎn)生一定頻率范圍且由多個(gè)簡(jiǎn)諧波組成的瑞利波，用布置在地表上的檢波器采集數(shù)據(jù)得到瑞利波的時(shí)域圖和頻譜，并采用幅值分析法和相位差分析法對(duì)瑞利波頻譜處理得到瑞利波的頻散曲線(xiàn)。筆者同時(shí)采用時(shí)域和頻譜分析法，對(duì)接收到的彈性波波形特點(diǎn)和頻譜進(jìn)行分析，得到空洞形狀參數(shù)和位置。

2 空洞形狀參數(shù)和位置的確定方法

2.1 入射瑞利波和反射利波時(shí)間差法

如圖1所示，在激勵(lì)源用下，介質(zhì)中產(chǎn)生3種彈性波：縱波（P）、橫波（S）和瑞利波（R）?？v波傳播速度比較快，但波場(chǎng)能量比較弱，因此，在模擬分析中忽略縱波，橫波和瑞利波的傳播速度非常接近，在短時(shí)間內(nèi)分辨不出。瑞利波沿著介質(zhì)表面?zhèn)鞑ミ^(guò)程中，遇到空洞邊界，一部分波發(fā)生反射形成反射瑞利波，一部分波在邊界處積聚并最終消散，一部分瑞利波在邊界處發(fā)生模式轉(zhuǎn)換形成衍射橫波和衍射縱波，另一部分波則直接透射過(guò)去形成透射瑞利波。因此，可以利用入射瑞利波和反射瑞利波的時(shí)間差來(lái)探測(cè)空洞的位置（空洞邊界位置），同時(shí)，采用對(duì)稱(chēng)布置的方式來(lái)確定空洞水平方向的尺寸。計(jì)算式為

式中：l為接收點(diǎn)與空洞的水平距離；tR為入射瑞利波到達(dá)時(shí)刻；tRR為反射瑞利波到達(dá)時(shí)刻；VR為瑞利波傳播速度。

根據(jù)接收器接收的波形圖，找到入射瑞利波和反射瑞利波的時(shí)間，根據(jù)式（1）即可確定空洞的位置和空洞水平方向的尺寸。

2.2 臨界干擾頻率法

研究表明[15]，瑞利波能量主要集中在一個(gè)波長(zhǎng)范圍之內(nèi)，因此，探測(cè)深度為一個(gè)波長(zhǎng)。根據(jù)瑞利波的這一特性，可以找到瑞利波的頻率與空洞埋深的定量關(guān)系。

激勵(lì)源采用中心頻率的雷克子波，激勵(lì)產(chǎn)生瑞利波的主要頻率在兩倍的中心頻率內(nèi)，而中心頻率左右的頻率為最優(yōu)頻率帶?？斩绰裆钤谀骋活l率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)范圍內(nèi)，則空洞對(duì)該頻率的瑞利波產(chǎn)生影響，損耗其能量，空洞埋深超出某一頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)，則空洞不對(duì)瑞利波產(chǎn)生影響。波長(zhǎng)和頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

λR=VRf（2）

式中：λR為瑞利波波長(zhǎng)；f為瑞利波頻率；VR為瑞利波速度。

提出“臨界干擾頻率”的概念，即未被空洞影響瑞利波的臨界頻率。將接收器接收到的時(shí)域圖經(jīng)過(guò)FFT變換成頻譜，根據(jù)有空洞和無(wú)空洞的頻譜對(duì)比來(lái)找到臨界干擾頻率，反算空洞的埋深。

2.3 能量衰減率法

瑞利波的波場(chǎng)能量衰減除自身的衰減外還有空洞對(duì)瑞利波的干擾?？斩磳?duì)瑞利波能量的影響主要是瑞利波的反射，即在空洞邊界處瑞利波能量積聚并最終消散，另外一部分瑞利波發(fā)生能量模式轉(zhuǎn)換形成橫波和縱波。由此認(rèn)為瑞利波的能量損失主要由靠近激勵(lì)源的空洞邊界引起，空洞邊界越長(zhǎng)，瑞利波的能量衰減越大，透射瑞利波的能量越小。因此，可以利用瑞利波的能量衰減率推算空洞豎向尺寸。

可以用能量衰減率法定量分析空洞的豎向尺寸。能量衰減率為有空洞和無(wú)空洞模型中某接收點(diǎn)處瑞利波頻譜中某頻率對(duì)應(yīng)的幅值差與無(wú)空洞瑞利波幅值的比值，即

Arfi=A0i-AiA0i（3）

式中：Arfi為頻率fi對(duì)應(yīng)的瑞利波衰減率；Ai為有空洞模型中頻率fi對(duì)應(yīng)瑞利波的幅值；A0i為無(wú)空洞模型中頻率fi對(duì)應(yīng)瑞利波的幅值。

3 案例分析

借助有限元軟件ABAQUS動(dòng)力學(xué)模塊模擬瞬態(tài)瑞利波，對(duì)含有空洞的模型進(jìn)行數(shù)值模擬。瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)能夠用于分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。

3.1 模型參數(shù)設(shè)置

3.1.1 激勵(lì)源 采用瞬態(tài)瑞利波法在野外勘探中，激勵(lì)源一般采用落重法來(lái)激發(fā)彈性波，要求錘擊產(chǎn)生的波由多種地震子波組成，因此，選擇震源形式時(shí)，要選擇一個(gè)時(shí)間脈沖函數(shù)子波，其頻譜高于中心頻率，并且能夠迅速減少。雷克子波滿(mǎn)足上述要求，且模擬結(jié)果精度高，波形也與野外實(shí)測(cè)波形非常接近。其具體形式為

3.1.2 邊界條件設(shè)置 采用均勻半無(wú)限空間介質(zhì)的模型，為了降低邊界條件對(duì)模擬結(jié)果的影響，采用劉晶波等[16]提出的等效二維一致粘彈性人工邊界對(duì)模型邊界進(jìn)行處理。

3.2 空洞水平位置確定

為了與野外實(shí)地檢測(cè)條件相符，模型尺寸為：L=100 m，H=50 m，空洞為邊長(zhǎng)2 m的方形，空洞上邊界與模型表面的垂直距離（即空洞埋深）h分別設(shè)置為2.0、2.5、3.0、3.5、4.0、4.5、5.0、5.5、6.0、65、7.0 m共11種工況，空洞設(shè)置在距離激勵(lì)源40 m處。激勵(lì)源與空洞距離為40 m，中心頻率為30 Hz，幅值為a=1×10-11 m。根據(jù)采樣定律得到數(shù)據(jù)的采樣時(shí)間間隔為5×10-4 s，總采樣時(shí)間為3.0 s。接收器設(shè)置在距離激勵(lì)源右側(cè)10 m處。網(wǎng)格采用等邊三角形，邊長(zhǎng)為0.5 m。模型邊界采用粘彈性人工邊界。介質(zhì)材料為灰?guī)r，密度為ρ=2 500 kg/m3，彈性模量為E=1.89 GPa，泊松比為μ=03，則根據(jù)式（5）～式（7）可以得到縱波、橫波和瑞利波的傳播速度，分別為VP=1 008.8 m/s、VS=539.23 m/s、VR=500.24 m/s。

圖4所示為接收器接收的波形圖。當(dāng)介質(zhì)中無(wú)孔洞時(shí)，波形圖只有一個(gè)比較大的峰值點(diǎn)p。因?yàn)閺椥圆ㄖ腥鹄ǖ牟▓?chǎng)能量最強(qiáng)，認(rèn)為此峰值為入射瑞利波達(dá)到接收器的時(shí)間點(diǎn)。介質(zhì)中存在空洞時(shí)，波形圖出現(xiàn)兩個(gè)峰值點(diǎn)p和q，p點(diǎn)即為入射瑞利波的接收時(shí)間點(diǎn)，q點(diǎn)則為反射瑞利波的接收時(shí)間點(diǎn)。因?yàn)樵趶椥圆ㄖ腥鹄ǖ牟▓?chǎng)能量最強(qiáng)且衰減最慢，故在反射波中，反射瑞利波的波場(chǎng)能量也最強(qiáng)。

由圖4可知，反射瑞利波到達(dá)接收器的時(shí)間不受空洞埋深的影響。因此，提取計(jì)算波形圖中入射瑞利波和反射瑞利波的時(shí)間，并計(jì)算空洞的位置，計(jì)算結(jié)果誤差分析如圖5所示，不同埋深的空洞水平位置計(jì)算誤差均在2.0%以下，滿(mǎn)足實(shí)際工程的精度要求。

另外，由瑞利波的波動(dòng)方程可知，瑞利波的振幅隨著深度的增加而衰減，瑞利波的波場(chǎng)能量隨深度增大而減弱。因此，由于能量減少的原因，空洞加深，其檢測(cè)精度會(huì)降低，相對(duì)誤差變大。

3.3 空洞埋深確定

模型尺寸設(shè)定為：長(zhǎng)L=100 m，高H=50 m。震源為中心頻率50 Hz的雷克子波，t0為0.02 s，振幅大小為1×10-11m，作用在距離模型左邊界40 m處。網(wǎng)格采用等邊三角形，邊長(zhǎng)為0.5 m，吸收邊界采用等效粘彈性人工邊界。采樣時(shí)間間隔為Δt=0.2 ms，采樣總時(shí)間為t=1.5 s，空洞大小為2 m×2 m，空洞設(shè)置在距離模型左邊界55 m處（空洞形心與模型左邊界的距離），空洞埋深為5 m，具體模型如圖6所示。

將接收到的波形圖（時(shí)域圖）應(yīng)用FFT變換成頻譜，并將無(wú)空洞和空洞埋深為5 m的頻譜作對(duì)比，找出臨界干擾頻率（圖中交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率）。由于接收器距離空洞太近，受雜波影響大，因此，去掉接收器1和2的數(shù)據(jù)，模擬結(jié)果如圖7所示。

根據(jù)圖7中各接收器處的頻譜圖，找出有空洞和無(wú)空洞頻譜交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率，該頻率即為臨界干擾頻率，然后根據(jù)臨界干擾頻率計(jì)算空洞埋深。

由圖8可知，各接收器處計(jì)算得到的空洞埋深誤差均在10%以下，由4個(gè)接收器處的臨界干擾頻率均值計(jì)算得到空洞埋深為4.7 m，誤差為6%，精度達(dá)到工程要求，說(shuō)明該方法可行。

為了使該方法具有普遍性，另外設(shè)置空洞埋深分別為6 m和7 m的模型進(jìn)行分析，其計(jì)算結(jié)果如圖9所示。從圖9可以看出，空洞埋深計(jì)算誤差不超過(guò)11%，誤差均在允許范圍內(nèi)。

3.4 空洞豎向尺寸確定

為了找到空洞豎向尺寸與瑞利波衰減率的定量關(guān)系，設(shè)置空洞埋深為5 m，空洞的幾何形心與激勵(lì)源的水平距離為20 m，空洞大小分別為2.0 m×2.0 m、2.5 m×2.5 m、3.0 m×3.0 m 、3.5 m×3.5 m、4.0 m×4.0 m、4.5 m×4.5 m、5.0 m×5.0 m 共7種工況。接收器設(shè)置3個(gè)，分別為接收器1、接收器2和接收器3，3個(gè)接收器距離空洞形心的水平距離分別為5、15、30 m。其他模型參數(shù)同4.3節(jié)中的模型參數(shù)。

將各接收器得到的時(shí)域圖經(jīng)FFT變換成頻譜圖，并從頻譜圖中提取頻率為40、50、60 Hz的瑞利波幅值，將瑞利波的衰減率繪制成如圖10所示。

從圖10可以看出，接收器3處的瑞利波不管是低頻還是高頻其衰減率比較穩(wěn)定且比較相近，因此，選用接收器3處的瑞利波衰減率來(lái)定量分析空洞豎向尺寸的大小。選用中心頻率為50 Hz對(duì)應(yīng)的瑞利波進(jìn)行分析。

將接收器3處的50 Hz對(duì)應(yīng)的瑞利波的衰減率曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，得到式（8）。Ar50 Hz=0.096 89d-0.109 63 （8）

式中：Ar為瑞利波衰減率；d為空洞豎向尺寸。

式（8）的擬合方差為0.974 27，擬合效果較好，說(shuō)明用式（8）定量計(jì)算空洞豎向尺寸合理。

為了驗(yàn)證式（8）的準(zhǔn)確性，現(xiàn)設(shè)置埋深為5 m，空洞大小為2.25 m×2.25 m、2.75 m×2.75 m、325 m×3.25 m 、3.75 m×3.75 m 的4種工況進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。

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（編輯 胡英奎）