帥曉飛 朱玉軍 詹 旭

(1.中國兵器裝備集團(tuán)成都火控技術(shù)中心 成都 611731; 2.四川理工學(xué)院自動(dòng)化與電子信息學(xué)院 四川自貢 643000; 3.西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院 四川綿陽 621000)

0 引言

當(dāng)雷達(dá)檢測微弱目標(biāo)時(shí)，常常需要目標(biāo)積累時(shí)間遠(yuǎn)大于常規(guī)處理，然而運(yùn)動(dòng)目標(biāo)在長的積累時(shí)間內(nèi)可能跨越多個(gè)雷達(dá)距離分辨單元，會(huì)大大減弱積累后目標(biāo)信噪比。通過Keystone變換[1-7]校正PD雷達(dá)的距離走動(dòng)，然后進(jìn)行相參積累，達(dá)到提高信噪比的目標(biāo)。

但是Keystone變換使原來的矩形信號采樣點(diǎn)變成了楔石(Keystone)形格式，需要對該楔石形格式的樣本點(diǎn)插值成為矩形格式才能采用FFT進(jìn)行后續(xù)的相干積累。這個(gè)插值過程就是Keystone變換的實(shí)現(xiàn)過程，若直接用插值方法從楔石形格式的數(shù)據(jù)得到所需的矩形格式數(shù)據(jù)，雖然只是一維變換，但運(yùn)算量巨大。為了工程實(shí)際應(yīng)用，必須探索運(yùn)算量較少的實(shí)現(xiàn)方法。而主要常用的工程實(shí)際應(yīng)用的Keystone變換實(shí)現(xiàn)方法：DFT+IFFT算法、Chirp-Z變換法、sinc函數(shù)內(nèi)插法和三階Lagrange內(nèi)插法[1-7]。

本文在詳細(xì)分析Keystone變換校正PD雷達(dá)回波中目標(biāo)距離走動(dòng)的原理基礎(chǔ)上，介紹了四種常用的具體實(shí)現(xiàn)方法：DFT+IFFT的快速算法、Chirp-Z變換、sinc內(nèi)插和三階Lagrange插值；通過詳細(xì)的理論推導(dǎo)證明了DFT+IFFT算法和Chirp-Z變換法的具體實(shí)現(xiàn)過程是相同的，并給出了上述三種不同實(shí)現(xiàn)方法具體運(yùn)算量以及各算法的特點(diǎn)；最后，通過計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果驗(yàn)證了這四種算法的性能。

1 PD雷達(dá)回波模型與Keystone變換原理

設(shè)PD雷達(dá)載波中心頻率為fc，發(fā)射信號為：s(t)=p(t)exp(j2πfct)，其中p(t)表示基帶信號。

考慮速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，其雷達(dá)回波信號下變頻后：

(1)

對式(1)沿快時(shí)間維作傅里葉變換得：

(2)

(3)

將式(3)所示的Keystone變換代入式(2)，得到：

(4)

至此，距離走動(dòng)得到了有效補(bǔ)償。

2 Keystone變換實(shí)現(xiàn)方法

對于式(3)所表示的Keystone變換中的距離頻率及慢時(shí)間都是以連續(xù)變量表示的，而在實(shí)際數(shù)字信號處理中是需要離散化處理的。為了便于工程實(shí)現(xiàn)，國內(nèi)外許多學(xué)者給出四種實(shí)現(xiàn)算法[1-4]，本文經(jīng)過仔細(xì)地推導(dǎo)比較發(fā)現(xiàn)其中兩種實(shí)現(xiàn)算法是相同的，只是推導(dǎo)的物理過程不同而已。

2.1 DFT+IFFT算法[2]

由(2)式到(4)式變換中，主要涉及到五個(gè)變量及其離散采樣，分別是快時(shí)間t(k)、快時(shí)間(距離)頻率f(l)和慢時(shí)間τm(m)、虛擬慢時(shí)間τn(n)及虛擬慢時(shí)間頻率fτ(n′)。并設(shè)快時(shí)間和快時(shí)間頻率的采樣點(diǎn)數(shù)目都為L，慢時(shí)間和虛擬慢時(shí)間及其頻率的采樣點(diǎn)數(shù)都為N。為了完成Keystone變換，對離散化的式(2)作二次離散傅里葉變換，具體地可以表示成

(5)

式(5)中，U′(l,n)并不一定精確等于式(4)所示的U(f,τ)的采樣值，因此用另一個(gè)符號表示。在上述步驟中，第一次DFT由于是變尺度的只能采用DFT，因?yàn)樾枰獙λ芯嚯x頻率逐個(gè)計(jì)算M點(diǎn)DFT，其運(yùn)算量比較大。為此，通過代換可用一種快速算法代替這個(gè)DFT運(yùn)算。式(5)中括號內(nèi)的式子又可以表示為：

(6)

上式后面求和部分可作如下變換：

(7)

經(jīng)過式(6)和(7)的換算，式(5)表示的Keystone變換實(shí)現(xiàn)方法就可避開DFT而以FFT和點(diǎn)乘代替，大大提高運(yùn)算效率。

2.2 Chirp-Z變換算法[1,3]

(8)

計(jì)算時(shí)沿z平面上的一段螺線做等分角的抽樣，記為：

zk=AW-k，k=0,1,…,M-1

(9)

上式中，M為所要分析的復(fù)頻譜的點(diǎn)數(shù)；A=A0exp(jθ0)，A0,θ0分別表示起始抽樣點(diǎn)的矢量半徑長度和相角；W=W0exp(jφ0)，W0,φ0表示螺線的伸展率和兩相鄰抽樣點(diǎn)之間的角度差。當(dāng)M=N,A=1,W=exp(-j2π/N)時(shí)，式(9)就是DFT了。

(10)

事實(shí)上，式(10)正是式(5)中DFT部分，因此，Chirp-Z變換與DFT+IFFT變換兩種Keystone實(shí)現(xiàn)方法是完全相同的，即這兩種方法等效，本文將這兩種實(shí)現(xiàn)方法都稱為變尺度變換法。

2.3 sinc函數(shù)內(nèi)插法[4]

另一種常用的Keystone變換實(shí)現(xiàn)方法為內(nèi)插法，即每一個(gè)變換后的U′(l,n)值借助鄰近幾個(gè)慢時(shí)間離散取值點(diǎn)U(l,m)插值得到。內(nèi)插方法很多，本文選用兩種較常用、效果也較好的：sinc內(nèi)插法和三階Lagrange插值法。

插值就是待插值的樣本與內(nèi)插核函數(shù)加權(quán)求和的一個(gè)過程。sinc內(nèi)插法的公式可以表示為：

(11)

2.4 三階Lagrange內(nèi)插法[5]

(12)

(13)

Lagrange插值方法具有整潔的結(jié)構(gòu)，在理論研究和分析中很方便。事實(shí)上，常用的線性插值、二次插值都屬于Lagrange插值。然而，高階的Lagrange插值運(yùn)算量很大，也存在嚴(yán)重的Runge現(xiàn)象，不利于實(shí)際運(yùn)用。所以本文考慮三階Lagrange插值即取待插值處周圍的四個(gè)點(diǎn)對該處的值近似。

具體到公式(4)，令

ym=U(l,m)，xm=tm=mTr，I=4則可得對應(yīng)的插值公式。對于n=0,1,…,M-1，找出滿足τm≤tn≤τm+1的序號m，并記τm-1,τm,τm+1,τm+2分別對應(yīng)公式(12)中的x0,x1,x2,x3，此時(shí)，U′(l,n)可以表示為

U′(l,n)=U(l,m-1)l0(τn)+U(l,m)l1(τn)

+U(l,m+1)l2(τn)+U(l,m+2)l3(τn)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

由以上推導(dǎo)結(jié)果不難得出，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)較少時(shí)，由于邊沿效應(yīng)，插值后再相參積累的效果不理想。因此，三階Lagrange插值不適合樣本數(shù)較少的情況。

2.5 計(jì)算量分析[5]

設(shè)距離頻率域采樣點(diǎn)數(shù)為L，一個(gè)CPI內(nèi)的脈沖數(shù)為M，M′為大于等于2M-1且為2的整數(shù)冪的最小正整數(shù)，通常為了后續(xù)相參積累的方便，M為2的整數(shù)冪，因此M′=2M。則對于以上三種Keystone變換實(shí)現(xiàn)方法：Chirp-Z變換、sinc內(nèi)插法、三階Lagrange插值法在每一個(gè)距離頻率點(diǎn)上的運(yùn)算量分別如下：

1)Chirp-Z變換：(2M+M′)點(diǎn)復(fù)數(shù)乘+3次M′點(diǎn)FFT+M點(diǎn)FFT。

2)sinc內(nèi)插：M2點(diǎn)復(fù)數(shù)乘。

3)三階Lagrange插值法：20M點(diǎn)實(shí)數(shù)乘+4M點(diǎn)復(fù)數(shù)乘。

由上述分析可見，當(dāng)M較大時(shí)，Chirp-Z變換和三階Lagrange在實(shí)際工程中實(shí)現(xiàn)起來比較容易些，而sinc內(nèi)插法運(yùn)算量稍大，實(shí)現(xiàn)起來相對困難些。

3 仿真結(jié)果

仿真參數(shù)：雷達(dá)發(fā)射線性調(diào)頻信號，信號帶寬為10MHz，時(shí)寬為10μs，雷達(dá)載頻為10GHz脈沖重復(fù)頻率為1kHz，目標(biāo)徑向速度為1000m/s，回波脈壓前信噪比為-10dB，目標(biāo)初始距離1.2km，CPI積累脈沖個(gè)數(shù)為256個(gè)。未進(jìn)行Keystone變換時(shí)一個(gè)CPI內(nèi)回波在脈沖間跨越了17個(gè)距離分辨單元。其數(shù)據(jù)對應(yīng)的MTD積累結(jié)果如圖2所示，目標(biāo)能量就分散在了相鄰多個(gè)距離單元內(nèi)。

將圖1所示的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行第2節(jié)所述的三種Keystone變換實(shí)現(xiàn)方法得到的仿真結(jié)果分別如圖2、3、4所示：

圖2、圖3和圖4的結(jié)果表明，sinc內(nèi)插、Lagrange插值和chirp-Z變換都能有效實(shí)現(xiàn)Keystone變換，能校正目標(biāo)回波間的距離走動(dòng)使MTD積累結(jié)果獲得更高的信噪比，有利于弱目標(biāo)的檢測。

特別需要說明的是，在這一小節(jié)的仿真過程中，積累脈沖個(gè)數(shù)是256，可是當(dāng)積累脈沖個(gè)數(shù)低于32，比如16時(shí)，Keystone變換后積累增益并不明顯，獲得的性能增益有限。

4 結(jié)束語

本文主要針對脈沖多普勒體制雷達(dá)中高速目標(biāo)造成目標(biāo)在回波中距離走動(dòng)而使目標(biāo)的相參積累效果嚴(yán)重下降的現(xiàn)象，研究了一種有效的校正距離走動(dòng)的Keystone變換，主要對Keystone變換的實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了詳細(xì)討論，給出了每種實(shí)現(xiàn)方法的理論推導(dǎo)、具體實(shí)現(xiàn)步驟及計(jì)算量。仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了每種實(shí)現(xiàn)方法的有效性。

鑒于Chirp-Z變換實(shí)現(xiàn)方法可以利用FFT實(shí)現(xiàn)，而FFT在DSP開發(fā)軟件中有標(biāo)準(zhǔn)、高效的庫函數(shù)，因此，Chirp-Z變換方法實(shí)現(xiàn)Keystone變換最易于工程實(shí)現(xiàn)。