1∶ 2內(nèi)共振條件下蜂窩夾芯板的兩倍周期運(yùn)動(dòng)研究*

孫敏 張偉 姚明輝 陳建恩

(1.天津城建大學(xué) 理學(xué)院, 天津 300384) (2.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院, 北京 100124)(3.天津理工大學(xué) 天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 天津 300384)

引言

蜂窩夾芯板被廣泛應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域,由于航空和航天飛行器嚴(yán)格的運(yùn)行要求和嚴(yán)酷的運(yùn)行環(huán)境,對(duì)于蜂窩夾芯板的非線性動(dòng)力學(xué)研究顯得尤為重要.Burlayenko和Sadowski[1]研究了蒙皮與芯層的剝離對(duì)泡沫和蜂窩夾芯板自由振動(dòng)特性的影響.黃麗娟等[2]利用雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法研究了周期局域共振蜂窩夾層板彎曲振動(dòng)的頻響特性.Liu等[3]提出了一種分析正方形蜂窩夾芯板彎曲、屈曲和振動(dòng)特性的半解析方法.Zhang等[4]利用廣義Melnikov方法研究了四邊簡(jiǎn)支矩形蜂窩夾芯板的全局分叉和多脈沖混沌動(dòng)力學(xué).Sekine等[5]研究了蜂窩夾芯板的振動(dòng)特性,文中將蜂窩芯層考慮為具有剪切變形的厚板,復(fù)合材料蒙皮考慮為薄板.Yu和Cleghorn[6]研究了簡(jiǎn)支矩形蜂窩夾芯板的自由振動(dòng),分別運(yùn)用了經(jīng)典薄板理論、Reissner-Mindlin理論和Reddy三階剪切變形理論建立了蜂窩夾芯板的力學(xué)模型.Li和Zhu[7]運(yùn)用改進(jìn)的Reddy三階剪切變形理論研究了蜂窩夾芯板的自由振動(dòng),對(duì)Reddy三階剪切變形理論引入了剪切修正因子.Alijani等[8]實(shí)驗(yàn)研究了蜂窩和泡沫夾芯板的非線性振動(dòng)特性,在定幅激勵(lì)情況下,通過緩慢的上下掃頻過程獲得了夾芯板的非線性頻率響應(yīng)曲線.

Melnikov方法在研究非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性中起到了很重要的作用,郭翔鷹等[9]利用高維Melnikov方法研究了復(fù)合材料層合板的混沌運(yùn)動(dòng).Chicone[10]結(jié)合Lyapunov-Schmidt退化方法和次諧Melnikov理論研究了高維非線性系統(tǒng)的周期解.Boinn[11]將諧波平衡法與次諧Melnikov理論相結(jié)合研究了耦合Van der Pol 振子次諧軌道的分叉.Yagasaki[12]利用次諧Melnikov理論研究了一類退化共振情況下非線性系統(tǒng)的周期解.Sun等人[13]利用次諧Melnikov理論,研究了壓電復(fù)合材料層合板的周期解.

本文首先利用周期變換和Poincaré映射推廣四維非線性非自治次諧Melnikov理論,然后利用該理論研究蜂窩夾芯板的周期運(yùn)動(dòng),理論上給出系統(tǒng)存在2倍周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域,最后利用數(shù)值模擬驗(yàn)證理論的正確性.

1 四維次諧Melnikov方法

本節(jié)中,研究如下一類四維非線性非自治系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng):

(1)

其中:

x=(x1,x2)∈R2,y=(y1,y2)∈R2,

對(duì)未擾動(dòng)系統(tǒng)作如下假設(shè):

A1. 每個(gè)方程都有一族周期軌道,其表達(dá)式分別為:L1={xh1|H1(x1,x2)=h1} 和L2={yh2|H2(y1,y2)=h2},其中hj∈K,K為開區(qū)間,j=1,2.

A2.xh1(t) 和yh2(t) 關(guān)于h是Cr的,其周期記為T1和T2.

假設(shè)m0為m1和m2的最小公倍數(shù),我們研究由未擾動(dòng)系統(tǒng)的一族閉軌經(jīng)過小參數(shù)擾動(dòng)后在其附近產(chǎn)生周期為m0T的周期振動(dòng)問題.

對(duì)系統(tǒng)(1)引入如下周期變換:

(2)

將方程(2)帶入系統(tǒng)(1)可得到如下極坐標(biāo)形式的四維非線性非自治系統(tǒng):

(3)

其中:

F1=DH1(G)g,F2=DH2(P)f

(4)

令h=(h1,h2),θ=(θ1,θ2),在相空間R2×T2×S1中定義如下形式的橫截面:

∑={(h,θ,φ)∈R2×T2×S1|φ=0}

(5)

其中T2=S1×S1為二維環(huán)面.

對(duì)系統(tǒng)(3)定義如下Poincaré 映射:

Pε: (h(0),θ(0))→(h(T),θ(T))

(6)

其中:

(h(t),θ(t),ωt)=(h1(t),h2(t),θ1(t),θ2(t),ωt)為系統(tǒng)(3)的解.

因此m0次復(fù)合映射Pεm0為:

Pεm0:(h(0),θ(0))→(h(m0T),θ(m0T))

(7)

其中m0為m1和m2的最小公倍數(shù).系統(tǒng)(3)的周期解的存在性等價(jià)于Pεm0的不動(dòng)點(diǎn)的存在性.經(jīng)計(jì)算可得:

Pεm0: (h(0),θ(0))→(h(m0T),θ(m0T))

(8)

其中:

(9)

我們可得到如下四維非線性系統(tǒng)周期存在性判定定理[14]:

(10)

并且下列兩組條件之一成立,即:

(11)

(12)

2 蜂窩夾芯板的周期運(yùn)動(dòng)

本節(jié)采用上述理論研究蜂窩夾芯板的兩倍周期運(yùn)動(dòng).蜂窩夾芯板受到x方向的面內(nèi)均布載荷與橫向均布載荷聯(lián)合作用.夾芯板的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b和H,直角坐標(biāo)Oxy位于夾芯板的中性面內(nèi),z軸向下,設(shè)板內(nèi)任一點(diǎn)沿x、y和z方向的位移分別為u、v和w,沿x方向作用的面內(nèi)載荷為p=p0-p1cosΩ2t,橫向載荷為f=F(x,y)cosΩ1t.蜂窩夾芯板分為三層,上下蒙皮是相同的各向同性材料,蒙皮層厚度為hf,芯層為正六角形蜂窩構(gòu)型,蜂窩芯軸向?yàn)樽鴺?biāo)z方向,蜂窩芯厚度為hc.

利用Hamilton原理和Galerkin方法,我們得到如下兩自由度非線性非自治動(dòng)力學(xué)方程[15]:

α2w1w22-α3w12w2-α4w13-α5w23

=α6F1cosΩ1t

(13a)

β2w12w2-β3w1w22-β4w23-β5w13

=β6F2cosΩ1t

(13b)

對(duì)方程(13)引入如下變換:

(14)

方程(13)可轉(zhuǎn)化為如下形式:

c1x2-f1x1cosΩ2t+F1cosΩ1t)

c2x4-f2x3cosΩ2t+F2cosΩ1t)

(15)

其中:

εf2→β7P1,εF2→β6F2

(16)

考慮如下共振關(guān)系:

Ω1=Ω2=2ω1,ω1=ω,ω2=2ω

(17)

因此,我們可得:

(18)

利用改進(jìn)的四維次諧Melnikov方法,可得蜂窩夾芯板在1∶2內(nèi)共振情況下的次諧Melnikov函數(shù)為:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

另一方面,我們有:

(24)

(25)

3 數(shù)值模擬

我們應(yīng)用四階Runge-Kutta法對(duì)方程(15)進(jìn)行數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證橫向與面內(nèi)載荷聯(lián)合作用下蜂窩夾芯板存在2倍周期軌道,如圖1和圖2所示.

圖2 參數(shù)P2下蜂窩夾芯板的兩倍周期運(yùn)動(dòng)Fig.2 Period-2 motion of the plate with P2

圖(a)在平面(t,x1)上的波形圖,圖(b)表示在平面(x1,y1)上的二維相圖,圖(c)表示在空間(x1,y1,x2)上的三維相圖.數(shù)值模擬所選參數(shù)均滿足理論得到的條件.

圖1表明蜂窩夾芯板存在兩倍周期運(yùn)動(dòng),參數(shù)為:

F1=F2=600,f1=100,f2=50,c1=3,

c2=0.9,ω1=10,ω2=20, Ω1=Ω2=20,

α2=-2.32,α3=1.7,α4=-2.3,α5=1.336,

β2=-20.26,β3=15.7,β4=-30.28,β5=12.5,

x10=x20=0,y10=0.01,y20=0.1,此組參數(shù)記為P1.

圖2表明蜂窩板也存在兩倍周期運(yùn)動(dòng),其參數(shù)為:

F1=F2=600,f1=100,f2=80,c1=6,

c2=2.1,ω1=10,ω2=20,Ω1=Ω2=20,

α2=-5,α3=2,α4=-3,α5=2.5,

β2=-10.26,β3=5.7,β4=-30,β5=22.5,

x10=x20=0,y10=0.01,y20=0.1,此組參數(shù)記為P2.

5 結(jié)論

本文首先推廣了四維次諧Melnikov方法,我們引入周期變換將系統(tǒng)化為極坐標(biāo)形式的非線性非自治系統(tǒng),然后對(duì)該系統(tǒng)建立相應(yīng)的Poincaré映射,通過對(duì)映射不動(dòng)點(diǎn)的研究得到一個(gè)四維次諧Melnikov向量函數(shù),通過對(duì)該向量函數(shù)零點(diǎn)的研究,我們得到一類四維非線性非自治系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的存在性判定定理.然后,利用改進(jìn)的方法研究了蜂窩夾芯板在1∶2內(nèi)共振情況下的周期運(yùn)動(dòng).我們利用定理計(jì)算得到次諧Melnikov向量函數(shù),同時(shí)獲得系統(tǒng)存在兩倍周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)條件.最后,利用數(shù)值方法得到蜂窩夾芯板的二維、三維相圖和波形圖,驗(yàn)證了理論分析的正確性,研究結(jié)果豐富了蜂窩夾芯板的非線性動(dòng)力學(xué)研究.