瞿 軍，高云飛，邢志娜，王菊香

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

1982年，鄧聚龍教授基于預(yù)測(cè)控制思想的論文打開(kāi)了灰色理論新世界的大門。此后，作為灰色理論基礎(chǔ)和核心的GM(1,1)模型被許多學(xué)者研究，進(jìn)而衍生出大量改進(jìn)型和拓展派生型[1-2]，它們因解決小樣本、貧信息和不確定性問(wèn)題時(shí)的突出優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用在生活生產(chǎn)中的各個(gè)領(lǐng)域。然而，GM(1,1)模型要求建模數(shù)據(jù)序列必須是等間距的，在工程實(shí)踐應(yīng)用中往往存在大量非等間距數(shù)據(jù)。例如，原始數(shù)據(jù)缺失、剔除異常數(shù)據(jù)、測(cè)試時(shí)間不定等原因都會(huì)導(dǎo)致非等間距數(shù)據(jù)的產(chǎn)生。因此，越來(lái)越多的學(xué)者從不同角度研究了非等間距GM(1,1)模型及其優(yōu)化方法[3-5]，提高了非等間距GM(1,1)模型的模型精度和適應(yīng)性，壯大了灰色模型理論體系。本文從數(shù)據(jù)變換生成方法研究、建模方法研究、背景值、初始條件和模型參數(shù)的優(yōu)化以及模型的拓展角度出發(fā)進(jìn)行整理總結(jié)，并對(duì)非等間距GM(1,1)模型未來(lái)的發(fā)展提出建議。

1 數(shù)據(jù)變換生成方法的研究

對(duì)原始數(shù)據(jù)作數(shù)據(jù)變換能夠弱化數(shù)據(jù)隨機(jī)性，改善光滑性，改善模型病態(tài)性。數(shù)據(jù)變換生成方法主要有2種思路：一種是通過(guò)初值化、均值化、歸一化、區(qū)間值化和坐標(biāo)平移等方法進(jìn)行函數(shù)變換為新的數(shù)據(jù)序列，使數(shù)據(jù)更符合建模要求，但是目前大多數(shù)文獻(xiàn)未考慮控制還原誤差的問(wèn)題，限制了方法的應(yīng)用。另一種是通過(guò)構(gòu)造弱化緩沖算子和強(qiáng)化緩沖算子[6-7]削弱外在因素影響，排除突發(fā)數(shù)據(jù)干擾造成的失真，使數(shù)據(jù)的規(guī)律更易被把握。這種方法省去了對(duì)數(shù)據(jù)的還原處理，克服了函數(shù)變換方法中還原誤差的問(wèn)題，但是緩沖算子弱化或強(qiáng)化作用太大不能微調(diào)。

無(wú)論是函數(shù)變換還是緩沖算子都存在適應(yīng)性不強(qiáng)的問(wèn)題：許多方法只是對(duì)特定的數(shù)據(jù)建模后大大提高了模型精度，卻對(duì)于其他數(shù)據(jù)效果一般。此外，有學(xué)者指出光滑性條件只是高精度的充分條件，數(shù)乘變換不影響模型的發(fā)展參數(shù)和精度[8]，甚至證明了函數(shù)變換反而降低了模型精度[9]，數(shù)據(jù)變換生成方法是否真的提高了模型精度的問(wèn)題還有待研究。

2 建模方法的研究

非等間距GM(1,1)模型的建模方法[10]大致分為2種思路。

一是首先通過(guò)對(duì)原始非等間隔數(shù)據(jù)進(jìn)行等距處理使其等間隔化，然后按照等間距數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模，最后將數(shù)據(jù)還原。主要包括插值法[11]和生成新數(shù)列法[12]。其中，插值法的前提是事先計(jì)算出插值數(shù)據(jù)，計(jì)算復(fù)雜度較高，且要求下標(biāo)序列必須為整數(shù)，在一定程度上限制了方法的應(yīng)用；生成新數(shù)列法一般假設(shè)各個(gè)時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)序列的差值和相應(yīng)時(shí)間間隔之間為線性關(guān)系，從而導(dǎo)致該方法的適用性不強(qiáng)。無(wú)論是插值法還是生成新數(shù)列法得到的都是估計(jì)值，可以認(rèn)為在一定程度上破壞了原始數(shù)據(jù)的內(nèi)部規(guī)律，并且建模機(jī)理未脫離GM(1,1)模型，不能稱之為真正意義上的非等間距建模[13]。

二是通過(guò)賦權(quán)處理直接利用非等間隔數(shù)據(jù)序列建模，操作簡(jiǎn)單、計(jì)算簡(jiǎn)便、易于實(shí)現(xiàn)。但是，當(dāng)原始數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔相差比較大時(shí)，模型精度會(huì)有所下降。此外，有學(xué)者[14]認(rèn)為賦權(quán)建模方法得到的擬合函數(shù)是與模型相違背的不規(guī)則序列，并指出這種方法只是一種忽略時(shí)間間隔的巧合。

3 背景值的優(yōu)化

根據(jù)非等間距GM(1,1)模型的建模過(guò)程可知，非等間距GM(1,1)模型的模型精度與發(fā)展系數(shù)和灰色作用量的選取有關(guān)，它們又取決于原始序列和背景值的構(gòu)造，因而背景值直接影響模型的精度。

4 初始條件的優(yōu)化

傳統(tǒng)的非等間距GM(1,1)模型選取原始序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)作為模型的初始值，不僅違背了鄧聚龍教授提出的“新信息優(yōu)先”原理，而且已有學(xué)者[19]證明這種方式不能保證整個(gè)擬合序列的誤差最小，反而還浪費(fèi)了原始序列的第一點(diǎn)信息?，F(xiàn)有的改進(jìn)方法主要包括兩種：

一是以原始序列每一個(gè)數(shù)據(jù)非等加權(quán)的和作為初始值。按照相等權(quán)重[20]或者新信息優(yōu)先原理[21]分配各個(gè)分量的權(quán)重。

二是以原始序列和擬合序列的誤差平方和或者相對(duì)誤差平方和等衡量標(biāo)準(zhǔn)最小為約束條件直接求解模型白化微分方程中的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)[22-23]。

5 模型參數(shù)估計(jì)方法的優(yōu)化

6 其他要素的優(yōu)化

1）灰導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化。傳統(tǒng)的白化灰導(dǎo)數(shù)方法中以差商代替微商，對(duì)于含有突變的序列會(huì)帶來(lái)較大的誤差，許多學(xué)者對(duì)灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，比較流行的有向前差商和向后差商后加權(quán)平均法[27]和離散點(diǎn)處利用導(dǎo)數(shù)定義動(dòng)態(tài)生成灰導(dǎo)數(shù)[28]等等。

2）殘差的優(yōu)化。當(dāng)原始數(shù)據(jù)序列含有振蕩特征或者模型的精度始終達(dá)不到要求時(shí)，應(yīng)用最多的方法是殘差修正[29]。常用的修正手段有傅里葉變換[30]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[31]等來(lái)補(bǔ)償系統(tǒng)誤差，提高精度。另一種常見(jiàn)方法是利用非等間距GM(1,1)模型對(duì)殘差序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，再進(jìn)行補(bǔ)償?shù)綌M合值上得到殘差修正模型。若一次修正結(jié)果仍不理想，可以考慮二次修正甚至反復(fù)迭代多次修正[32]。

7 模型拓展

1）非等間距GM(1,1)模型群。隨著非等間距GM(1,1)模型的發(fā)展，衍生了許多派生模型，稱之為模型群[33]。非等間隔 GM(1,1,tα)冪次時(shí)間項(xiàng)模型[34]中，合理地選擇冪指數(shù)可以適應(yīng)不同指數(shù)規(guī)律序列的建模，非等間距GM(1,1)模型是該模型冪指數(shù)為0情況下的特殊形式。然而，單單描述指數(shù)規(guī)律往往是不夠的，非等間距GM(1,1)冪模型最大的優(yōu)勢(shì)在于它通過(guò)靈活調(diào)整灰作用量的冪指數(shù)充分反映非線性特征，以適應(yīng)不同非線性曲線的擬合[35]。此外，還有非等間距無(wú)偏GM(1,1)冪模型[36]，它預(yù)測(cè)白指數(shù)規(guī)律的序列不存在預(yù)測(cè)和模擬誤差，精度高。非等間距多變量時(shí)滯模型GM(1,N|τ,r)[37]能夠針對(duì)多變量系統(tǒng)的延遲性問(wèn)題進(jìn)行研究。

2）非等間距GM(1,1)區(qū)間預(yù)測(cè)模型。由于灰色模型建模依賴于光滑度前提，無(wú)法識(shí)別數(shù)據(jù)序列的振蕩，而殘差修正對(duì)于大幅度振蕩的預(yù)測(cè)效果也不甚理想，因此為了解決振蕩幅度較大的非等間距小樣本序列的預(yù)測(cè)問(wèn)題，區(qū)間預(yù)測(cè)思想應(yīng)運(yùn)而生。楊平律等[38]通過(guò)建立原始序列的上下邊緣包絡(luò)模型，獲得灰區(qū)間確保預(yù)測(cè)值的可靠性。曾波等[39]通過(guò)包絡(luò)線將振蕩序列劃分為上界和下界，將非等間距上下界轉(zhuǎn)化為等間距建模。羅黨等[40]在此基礎(chǔ)上直接對(duì)上下界建立非等間距GM(1,1)模型得到上下包絡(luò)線和取值包絡(luò)帶以描述數(shù)據(jù)的發(fā)展邊界，拓展了非等間距GM(1,1)模型應(yīng)用范圍。

8 展望

自灰色模型問(wèn)世至今，取得了許多成果和突破，已經(jīng)形成了較為成熟的理論體系，然而在非等間距GM(1,1)模型中還有一些問(wèn)題需要解決和完善。

1）傳統(tǒng)非等間距GM(1,1)模型白化微分方程與灰色微分方程不嚴(yán)格匹配，導(dǎo)致其不具有白化指數(shù)重合性，這是造成模型誤差的重要原因?，F(xiàn)今較為流行的解決方法是認(rèn)為白化方程合理，通過(guò)背景值、灰導(dǎo)數(shù)優(yōu)化等方法改進(jìn)灰色微分方程使二者匹配。因此，可以考慮未來(lái)將研究重點(diǎn)放在改進(jìn)白化方程上使二者相互適應(yīng)，降低模型的預(yù)測(cè)誤差。

2）非等間距GM(1,1)模型建立與檢驗(yàn)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)不完全一致是模型不可忽視的固有缺陷，導(dǎo)致模型精度始終達(dá)不到最優(yōu)。目前比較普遍的改進(jìn)方法是優(yōu)化模型參數(shù)的求解，并未從根源上解決問(wèn)題，未來(lái)可以考慮研究新的建模方法或者直接利用與的平均相對(duì)（絕對(duì)）誤差絕對(duì)值最小求參數(shù)，保證二者標(biāo)準(zhǔn)的一致性。

3）非等間距GM(1,1)模型目前只適用于小樣本、一維、近指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)的數(shù)據(jù)序列，然而工程實(shí)踐中還有許多大樣本、多維、非指數(shù)趨勢(shì)序列，能否擴(kuò)大非等間距GM(1,1)模型的適用范圍是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

4）現(xiàn)有非等間距GM(1,1)模型的數(shù)據(jù)變換生成方法往往與要處理的數(shù)據(jù)有關(guān)，普遍性差，即對(duì)某些實(shí)例效果令人滿意，卻對(duì)其他實(shí)例效果一般。因此，一種考慮全面的、科學(xué)合理的數(shù)據(jù)變換生成方法以適用各種預(yù)測(cè)系統(tǒng)有待進(jìn)一步研究和突破。

5）非等間距GM(1,1)模型的優(yōu)化改進(jìn)方法多種多樣，然而單方面的提高是有限的。需要對(duì)模型進(jìn)行綜合優(yōu)化，這包括對(duì)非等間距GM(1,1)模型多個(gè)要素優(yōu)化方法的綜合以及模型與其他優(yōu)秀智能算法的組合，成為未來(lái)研究和關(guān)注的方向。

6）非等間距GM(1,1)模型往往存在病態(tài)性問(wèn)題，目前已有文獻(xiàn)已經(jīng)證明提高光滑度可以改善病態(tài)性，但這可能是以降低模型精度為代價(jià)的。因此，如何在保證甚至提高模型精度的前提下改善病態(tài)性對(duì)于完善模型理論體系具有重要意義。

9 結(jié)論

經(jīng)過(guò)30多年的發(fā)展，灰色模型的應(yīng)用范圍不斷拓展，理論研究也不斷深入。但同時(shí)由于灰色模型自身缺陷所帶來(lái)的問(wèn)題也愈發(fā)突出，許多學(xué)者致力于突破模型的局限性，然而這些研究大部分都是針對(duì)等間距GM(1,1)模型的，對(duì)于非等間距GM(1,1)模型的優(yōu)化改進(jìn)和拓展研究相對(duì)較少，關(guān)于非等間距GM(1,1)模型比較全面詳細(xì)的梳理總結(jié)更少。因此，本文從GM(1,1)模型的建模研究、優(yōu)化方法和模型拓展的視角進(jìn)行比較詳細(xì)的描述，并提出了需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題，以期為后續(xù)研究提供些許思路。