蔣攀飛王曉彬

(1中國科學(xué)院云南天文臺(tái)昆明650011)

(2中國科學(xué)院天體結(jié)構(gòu)與演化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室昆明650011)

(3中國科學(xué)院大學(xué)北京100049)

1 引言

小行星是太陽系形成初期星子殘留物.按照太陽系形成的星云坍縮理論,對(duì)在太陽系中處于特殊位置和具有特殊存在形態(tài)的小行星的物理參數(shù)研究,可以為太陽系早期演化條件提供證據(jù),為小行星碰撞演化研究提供邊界條件[1].主帶小行星是行星科學(xué)重要的研究對(duì)象,主要有以下幾個(gè)原因:它們是內(nèi)太陽系行星形成早期階段的星子的遺留物,在小行星上仍保留行星形成過程中的信息,例如,我們可以借小行星研究太陽系物質(zhì)組成和形成類地行星的條件;它們可能發(fā)揮了將水和有機(jī)質(zhì)帶入地球的作用,曾經(jīng)發(fā)生的與地球生物圈發(fā)生強(qiáng)烈作用,可能改變了生命形式進(jìn)化的路徑;小行星上蘊(yùn)含的礦物質(zhì)將來可以為人類提供可持續(xù)的資源[2?3].目前通過測光觀測獲得小行星自轉(zhuǎn)軸在空間指向的只有幾百顆[4],已經(jīng)發(fā)現(xiàn)小行星數(shù)量有70多萬顆之多,這離我們研究碰撞理論還相差很遠(yuǎn).因此,研究具體小行星物理參量對(duì)于擴(kuò)充小行星物理參量觀測樣本具有重要意義,有利于我們更好了解不同種類的小行星.

地基光學(xué)觀測兼有技術(shù)和經(jīng)濟(jì)上的優(yōu)勢,觀測的靈活性和觀測時(shí)間長的特點(diǎn),使得地面測光觀測在小行星觀測中發(fā)揮重要作用[5].光變曲線是獲取小行星基本物理參數(shù)的主要來源.通常情況下,由于小行星地面觀測呈點(diǎn)源星像,我們只能在不同的可視期通過小行星積分光度變化來推斷小行星的形狀、旋轉(zhuǎn)狀態(tài)和表面散射參數(shù).自1906年Russel首次分析小行星反演問題,一個(gè)很自然而簡單的想法就是研究小行星沖位置,然而,Russel得出一個(gè)十分悲觀的結(jié)論:僅從沖時(shí)的光變曲線無法反演出3維形狀和反照率變化.直到1953年,Cuffey首次運(yùn)用橢球體反演小行星形狀[6].此后,小行星基本物理參數(shù)的反演方法經(jīng)歷了從橢球體為基礎(chǔ)的振幅法、星等法、振幅-星等法到凸面體反演方法的過程.Kaasalainen等[7]提出的凸面體反演方法可以有效獲取小行星的恒星周期、形狀和自轉(zhuǎn)指向及表面散射性質(zhì)等物理參量.

小行星的形狀是一個(gè)重要的物理參量,形狀記錄了它們所經(jīng)歷的碰撞和地質(zhì)演化.另一方面,比較不同種類小行星質(zhì)量、密度、成分和角動(dòng)量的分布時(shí),形狀也是重要因素[8].Torppa曾指出,小行星的自旋狀態(tài)也受相互碰撞影響,導(dǎo)致觀測到的極軸指向幾乎隨機(jī)分布[9].

小行星(58)Concordia是一顆C類主帶小行星,直徑92.19 km,周期9.895 h,目前仍沒有其形狀和軸指向信息.因此,我們利用云南天文臺(tái)觀測平臺(tái)優(yōu)勢,在2000年和2015年對(duì)小行星(58)Concordia進(jìn)行測光觀測,通過凸面體反演方法1http://astro.troja.mff.cuni.cz/projects/asteroid3D分析其形狀、自轉(zhuǎn)周期和軸指向.

2 觀測和數(shù)據(jù)處理

我們?cè)?015年3月20日和3月21日利用云南天文臺(tái)1 m望遠(yuǎn)鏡對(duì)小行星(58)Concordia進(jìn)行了測光觀測, 所用CCD的像元素為2 k×2 k, 視場大小為7′18′′× 7′18′′, 觀測時(shí)濾光片選擇白光波段.利用IRAF(Image Reduction and Analysis Facility)軟件包對(duì)獲得的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像處理,主要包括本底、暗流、平場改正和剔除宇宙射線.利用APPHOT任務(wù)對(duì)目標(biāo)源和比較星進(jìn)行孔徑測光.嘗試不同孔徑,選擇光度測量精度最高的作為最優(yōu)孔徑,進(jìn)而得到每個(gè)夜晚目標(biāo)源和比較星的儀器星等.由于2015年3月20–21日這兩天觀測過程中有薄云,系統(tǒng)誤差勢必會(huì)產(chǎn)生影響,使用coarse de-correlation方法[10]和Tamuz方法[11]對(duì)觀測目標(biāo)的儀器星等中系統(tǒng)誤差進(jìn)行改正,從而改善數(shù)據(jù)的整體精度.

運(yùn)用凸面體反演程序?qū)?3條光變曲線進(jìn)行分析.所用觀測數(shù)據(jù)的太陽相位角跨度從1.7?到14.1?,時(shí)間跨度為35 yr. 除了我們2000年12月22–24日觀測獲得的3條光變曲線外,其余光變曲線來自IAU-MPC(International Astronomical Union-Minor Planet Center)光變數(shù)據(jù)庫和APC(Asteroid Photometric Catalog).具體有關(guān)觀測信息見表1,表1從左至右依次列為小行星的觀測時(shí)間(UTC)、地心距離、日心距離、太陽相位角、濾光片、數(shù)據(jù)來源和數(shù)據(jù)參考文獻(xiàn).

1981年測光觀測數(shù)據(jù)采樣稀疏,數(shù)據(jù)彌散較大.2006年有4個(gè)夜晚觀測數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)彌散較大,2月4日、2月9日相位覆蓋0.5個(gè)周期左右,變幅在0.1 mag左右,2月10日相位覆蓋范圍最小,2月13日觀測數(shù)據(jù)采樣較為密集,相位覆蓋范圍較大,變幅達(dá)0.14 mag.2007年3個(gè)夜晚觀測數(shù)據(jù)的彌散較小,12月11日相位覆蓋范圍較小,其余兩晚數(shù)據(jù)相位覆蓋范圍大,變幅變化在0.1 mag左右.2016年10天觀測數(shù)據(jù)中,6月14日、17日、22日和7月4日數(shù)據(jù)彌散較小,變幅范圍在0.1 mag左右,相位覆蓋0.35–0.7個(gè)周期,其余數(shù)據(jù)較為彌散,相位覆蓋0.5個(gè)周期左右,變幅變化為0.07–0.1 mag.

表1 (58)Concordia觀測信息Table 1 The observation information for(58)Concordia

3 反演方法

凸面體反演方法在文獻(xiàn)[16–17]中有詳細(xì)描述.一般地,反演問題可描述為

在反演過程中,L為觀測的小行星光亮度矩陣,A為與散射定律有關(guān)的系數(shù)矩陣,通常g為用高斯面密度表征的面元矢量.反演時(shí)存在解不唯一,可以通過假設(shè)小行星是凸面體來克服這一問題.在計(jì)算小行星積分光度時(shí),假設(shè)小行星散射定律計(jì)算運(yùn)用三角剖分方法得到的每個(gè)被太陽照亮且可視的面元上的光度,求和得到總的光度.通過比較模型光度與實(shí)測光度獲得小行星自轉(zhuǎn)參數(shù)和形狀.具體地,利用最小二乘法得到待定參數(shù)的解,即:

(2)式中上標(biāo)i為光變曲線序號(hào),ˉL(i)為第i條光變曲線平均亮度.A(i)為第i條光變曲線與散射定律有關(guān)的系數(shù)矩陣,在得到每個(gè)面元的大小后利用閔可夫斯基最小化原理,重構(gòu)小行星的具體形狀,即獲得每個(gè)面元的頂點(diǎn).在凸面體方法反演時(shí),為了得到全局最優(yōu)解,我們進(jìn)行了自轉(zhuǎn)周期在一個(gè)范圍的掃描分析以及自轉(zhuǎn)軸在黃道球面坐標(biāo)(λ,β)進(jìn)行掃描計(jì)算.

4 反演結(jié)果

4.1 自轉(zhuǎn)周期

Harris等人在1989年對(duì)(58)Corcondia進(jìn)行首次測光觀測,但是由于數(shù)據(jù)點(diǎn)較少且很疏散并未獲得該小行星的會(huì)合周期[12],Gil-Hutton在1993年對(duì)小行星(58)Concordia測光觀測推測,指出其會(huì)合周期不會(huì)小于16 h[18].Wang在2002年首次給出該小行星的可能會(huì)合周期為(9.90±0.01)h[13],Stephens[14]和Pilcher[15]分別在2006年和2016年對(duì)該小行星進(jìn)行較長時(shí)間測光,根據(jù)光變曲線分別得到了會(huì)合周期為(9.895±0.002)h和(9.895±0.001)h.為了測定精確的小行星自轉(zhuǎn)周期,我們對(duì)9.8–10 h區(qū)域進(jìn)行周期值掃描,周期采樣間隔為0.8?P.

其中P為小行星自轉(zhuǎn)周期,T為測光數(shù)據(jù)時(shí)間跨度.通過搜尋發(fā)現(xiàn)RMS(Root Mean Square)最小值在9.894541 h附近,對(duì)應(yīng)RMS為0.012138.圖1顯示了在搜索范圍內(nèi)RMS分布情況.在對(duì)周期誤差進(jìn)行估計(jì)時(shí),我們根據(jù)Kaasalainen等[17]和Torppa等[19]給出的典型周期誤差范圍0.01?P?0.1?P,對(duì)于(58)Concordia,其典型周期誤差為1.6×10?6? 1.6× 10?5h.

4.2 自轉(zhuǎn)軸指向

光度模型中的散射定律為Lommel-Seeliger和Lambert散射定律[17],由于所用測光數(shù)據(jù)多為相對(duì)流量,散射定律相關(guān)的參數(shù)設(shè)為固定值,a=0.5,d=0.1,k=?0.5,c=0.1.將掃描獲得的自轉(zhuǎn)周期作為初始值,進(jìn)行軸指向和形狀的精確測定.

圖1 (58)Concordia周期與RMS對(duì)比Fig.1 The distribution of period vs.RMS

為了得到極軸的位置，Kaasalainen等[17]運(yùn)用3軸橢球體模型擬合得到的軸指向作為初始軸指向.另外一種做法就是李彬等人采取文獻(xiàn)[17]所提及的大范圍搜尋法[20?21].在我們的工作中,考慮到光變曲線的條數(shù)和數(shù)據(jù)情況,并為了節(jié)省時(shí)間,將球諧函數(shù)的階數(shù)設(shè)置為l=m=6.在初始軸指向選取方面,我們也采用了李彬等人所使用的方法,將整個(gè)軸指向空間劃分成一個(gè)2?×2?的網(wǎng)格,初始軸指向處于網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)上,然后再運(yùn)用自編程序?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)生成輸入文件,從計(jì)算結(jié)果中提取每次計(jì)算的局部最優(yōu)解.從大量的局部最優(yōu)解中挑選出可能的全局最優(yōu)解為初值,將球諧函數(shù)的階數(shù)設(shè)置l=m=8,最后找出最終的全局最優(yōu)解.

圖2是通過網(wǎng)格搜尋法所獲得的局部最優(yōu)解與χ2的分布圖.根據(jù)遍歷搜尋法的結(jié)果,我們得到了軸指向的全局最優(yōu)解為λ=15.9?,β= ?1.4?,其對(duì)應(yīng)χ2=0.4979,我們還得到另外一組解,其軸指向?yàn)棣?197.4?,β=+6.1?,對(duì)應(yīng)χ2=0.4952.對(duì)于其誤差估計(jì)我們采用比較簡單的方法,Torppa等人曾指出[19]:“改變不同的初始值、軸指向、散射參數(shù)會(huì)得到軸指向的分布”,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),可行解的χ2大概在5%–10%左右波動(dòng),我們直接用5%的波動(dòng)去進(jìn)行估計(jì),根據(jù)已有的結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn)(58)Concordia的軸指向?yàn)棣?=15.3?±0.7?,β1= ?4.2?±2.6?,另外一組解為λ2=195.9?±1.0?,β2=4.8?±1.2?.

4.3 形狀模型

將上述得到的自轉(zhuǎn)周期值和軸指向作為相應(yīng)輸入?yún)?shù),并將球諧函數(shù)的階數(shù)設(shè)置為l=m=8,從而獲得最終形狀.圖3是我們從兩個(gè)極軸解得到的形狀模型,上排為第一個(gè)極軸的形狀模型,從左至右分別是從x軸方向、y軸方向、z軸方向觀察的形狀,下排為第2個(gè)極軸的形狀模型,從左至右觀察方向與第一個(gè)極軸一致.

為了檢查擬合效果,在圖4中,我們給出了所用的23條觀測光變曲線和模型值對(duì)比,其中α是指觀測時(shí)刻太陽相位角,θ為視界角,θ0為太陽方向和小行星極軸方向夾角.

圖2 (58)Concordia極軸指向的χ2分布Fig.2 The χ2 distribution of(58)Concordia pole orientation

圖3 (58)Concordia凸面體形狀Fig.3 The convex shapes of(58)Concordia

通過圖4可以看出,模型光變基本上擬合了大部分的觀測光變曲線,僅少部分點(diǎn)擬合得不是很好.例如,1981年8月3日數(shù)據(jù)可能是時(shí)間采樣稀疏和數(shù)據(jù)本身誤差比較大的緣故,比如說中間有兩個(gè)點(diǎn)十分彌散,相位間隔不到0.1,然而其觀測值的變化卻大于振幅;2000年12月23日數(shù)據(jù)中第0.7相位沒有擬合得很好,這可能是由于(58)Concordia的表面結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,比如經(jīng)歷過碰撞之后表面存在“較大彈坑”,僅用凸面體模型很難完全反映這種非凸結(jié)構(gòu).

總的來說,從光變曲線特征來看,光變曲線形狀不規(guī)則,反映小行星形狀也不規(guī)則.光度模型反映了大部分光變特征,仍有一些細(xì)微的特征沒有很好擬合,這需要引入非凸模型來實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的反演.

圖4 (58)Concordia觀測光變曲線和模型光變曲線.散點(diǎn)為觀測數(shù)據(jù),紅實(shí)線為模型光變曲線Fig.4 The observational and modeling lightcurves of(58)Concordia.The scattered dots are observed data,and the red solid lines are modeling lightcurves

5 結(jié)論

我們分析了云臺(tái)1 m鏡(58)Concordia的測光數(shù)據(jù)以及前人提供的測光數(shù)據(jù),通過凸面體反演方法,我們得到以下結(jié)論:

(1)通過凸面體反演方法,我們得到了該小行星的恒星周期為9.894541 h,周期誤差為±1.6×10?5h;其可能軸指向?yàn)棣?=15.3?±0.7?,β1= ?4.2?±2.6?,λ2=195.9?±1.0?,β2=4.8?±1.2?,從β取值來看,我們并不能得知該小行星是順旋轉(zhuǎn)還是逆旋轉(zhuǎn).

(2)從形狀模型來看:兩個(gè)軸指向的形狀均含有非凸結(jié)構(gòu),當(dāng)軸指向?yàn)棣?=15.3?±0.7?,β1= ?4.2?± 2.6?,小行星(58)Concordia的形狀更不規(guī)則.

(3)通過對(duì)比模型光變曲線和觀測光變曲線,所得小行星凸面體形狀不能完全擬合所有光變特征.該小行星需要高精度測光數(shù)據(jù)以及引入非凸面體模型.另外,現(xiàn)有的觀測數(shù)據(jù)多為相對(duì)流量,需要相位角跨度更大的絕對(duì)測量數(shù)據(jù)來實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)相位函數(shù)的測定研究.

致謝感謝云南天文臺(tái)1 m望遠(yuǎn)鏡工作人員的支持.