陳樹霖，劉 莉，陳昭岳，岳振江，孫浩然

(北京理工大學宇航學院，飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)部門對航天器性能要求不斷提高，航天器結(jié)構(gòu)設(shè)計逐漸由傳統(tǒng)的先分析后校核步入優(yōu)化設(shè)計階段。航天器結(jié)構(gòu)的柔性化、輕量化使得其承受的動力學環(huán)境越來越復雜，有必要在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中將結(jié)構(gòu)動力學特性分析考慮其中[1]；逐步將航天器結(jié)構(gòu)設(shè)計由固有頻率設(shè)計向動態(tài)響應(yīng)設(shè)計過渡[2]。

考慮航天器柔性的動力學模型主要有基于多體動力學的剛?cè)狁詈夏Ｐ蚚3-4]，基于連續(xù)介質(zhì)力學的非線性有限元模型[5-6]。肖巖等[7]建立了衛(wèi)星的剛?cè)狁詈蟿恿W模型，在衛(wèi)星姿態(tài)控制中考慮了附件柔性的影響。劉漢武等[8]建立了航天器柔性多體動力學模型并開展航天器的分離動力學分析及分離參數(shù)優(yōu)化，結(jié)果表明結(jié)構(gòu)柔性對航天器動力學分析不可忽視。剛?cè)狁詈夏Ｐ碗m能在一定程度上反映結(jié)構(gòu)柔性，但結(jié)果精度往往與模態(tài)基選取密切相關(guān)[9]；非線性有限元模型對結(jié)構(gòu)的局部振動表達更加精確[10]。但非線性有限元模型自由度數(shù)較多，求解耗時，很難在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中直接使用，可采用子結(jié)構(gòu)方法或近似模型的方法對原模型進行簡化處理以提高動力學求解效率。

脈沖子結(jié)構(gòu)方法(Impulse Based substructuring Method，IBS)是一種高效求解且不損失精度的動態(tài)時域子結(jié)構(gòu)方法[6]。Rixen[11]于2010年首次提出了它的標準形式。之后，董威利等[6]將該方法成功應(yīng)用于月球探測器著陸階段動力學分析中，并對標準脈沖子結(jié)構(gòu)方法的連接形式進行拓展[12]。將脈沖子結(jié)構(gòu)方法應(yīng)用于復雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中既能保證動力學響應(yīng)求解精度又能有效縮短計算耗時，但脈沖響應(yīng)函數(shù)的獲取較為耗時，在優(yōu)化過程中需要反復修改的優(yōu)化區(qū)域并不適宜建成脈沖子結(jié)構(gòu)。Van Der Valk等[13]進一步研究了脈沖子結(jié)構(gòu)與有限元的剛性連接情況。Chen等[14]發(fā)展了脈沖子結(jié)構(gòu)與有限元及模態(tài)子結(jié)構(gòu)間的復雜連接情況。脈沖子結(jié)構(gòu)與有限元的復雜連接的研究，為該方法在結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。

本文基于脈沖子結(jié)構(gòu)方法，提出了一種考慮結(jié)構(gòu)動力學響應(yīng)的優(yōu)化流程，建立月球探測器中心體脈沖子結(jié)構(gòu)模型及太陽翼有限元模型，考慮探測器著陸段動力學過程，對探測器太陽翼復合材料鋪層厚度、太陽翼間連接鉸鏈剛度等結(jié)構(gòu)參數(shù)進行動力學優(yōu)化設(shè)計。經(jīng)過動力學優(yōu)化，有效地提高了太陽翼結(jié)構(gòu)動力學特性，并改善了關(guān)鍵位置處動力學環(huán)境。

1 脈沖子結(jié)構(gòu)與有限元子結(jié)構(gòu)動力學綜合方法

脈沖子結(jié)構(gòu)方法的基本思路是通過子結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與子結(jié)構(gòu)所受的全部外載荷的卷積對子結(jié)構(gòu)的運動進行描述，并通過界面相容條件在時域內(nèi)進行子結(jié)構(gòu)綜合得到系統(tǒng)的位移響應(yīng)[6]。文獻[14]進一步拓展了脈沖子結(jié)構(gòu)與有限元子結(jié)構(gòu)的綜合。

1.1 子結(jié)構(gòu)的運動學描述

零初始條件下，t時刻子結(jié)構(gòu)的位移可由它的脈沖響應(yīng)函數(shù)與全部外載荷卷積獲得

(1)

其中，上標s表示該量屬于第s個脈沖子結(jié)構(gòu)，u表示位移列陣，H為子結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣，f為子結(jié)構(gòu)受到的外力列陣，g為作用在子結(jié)構(gòu)上的界面力列陣。

對于有限元子結(jié)構(gòu)，它的運動方程可以表示成

f(r)(t)+g(r)(t)

(2)

其中，上標r表示該量屬于第r個有限元子結(jié)構(gòu)，M、C、K分別為子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣。

1.2 界面相容條件及子結(jié)構(gòu)綜合方程

子結(jié)構(gòu)在連接界面處應(yīng)滿足位移協(xié)調(diào)，力平衡的界面相容條件。可將各子結(jié)構(gòu)連接自由度投影到廣義鉸鏈處，通過廣義鉸鏈對各子結(jié)構(gòu)進行綜合[14]，如圖1所示。

圖1 子結(jié)構(gòu)間的廣義鉸鏈連接Fig.1 Assembly of substructures through general joints

整個系統(tǒng)位移向量u由脈沖子結(jié)構(gòu)位移向量與有限元子結(jié)構(gòu)位移向量共同構(gòu)成。對于廣義鉸鏈中的剛性連接，其界面相容條件應(yīng)為連接位置處位移相等

BRu(t)=0

(3)

其中，BR為布爾矩陣，包含元素0、1、-1。

在非剛性連接位置處，將系統(tǒng)自由度投影到廣義鉸鏈處，廣義鉸鏈處的位移協(xié)調(diào)及力平衡方程分別為

BEu(t)=ue(t)

(4)

(5)

其中，BE為布爾矩陣，包含元素0、1，它將系統(tǒng)自由度投影到廣義鉸鏈非剛性自由度ue上；引入拉格朗日乘子λ表示作用于子結(jié)構(gòu)上的界面力，通過布爾矩陣Be將其投影為非剛性連接處的作用力λe；pe為廣義鉸鏈處的運動量與作用力的關(guān)系式。

結(jié)合子結(jié)構(gòu)運動學方程及界面相容條件，得到脈沖子結(jié)構(gòu)與有限元廣義鉸鏈連接的綜合方程

(6)

其中，布爾矩陣B將各子結(jié)構(gòu)自由度投影到對應(yīng)子結(jié)構(gòu)連接處的自由度上，包含剛性及非剛性連接自由度。

1.3 子結(jié)構(gòu)綜合方程數(shù)值求解

對方程采用如下差分格式

(7)

其中，Δt為時間步長，下標n表示該量處于nΔt時刻。分離出λn得到方程(7)的遞推格式

(8)

其中，

(9)

對方程(2)引入Newmark積分策略

(10)

其中，積分常數(shù)γ=0.5,β=0.25。將方程(10)代入方程(2)，可得到遞推格式

(11)

其中，

(12)

Gλn-q=0

(13)

其中，

(14)

容易看出，當pe為運動量與作用力的線性關(guān)系時，方程為線性代數(shù)方程，可直接求解；當pe為運動量與作用力的非線性關(guān)系時，可通過迭代的方法求解非線性方程，本文采用常用的Newton-Raphson方法求解。得到λn后，將其代入方程(7)、方程(11)即可得到各子結(jié)構(gòu)nΔt時刻的位移。由方程(10)進一步可以獲得系統(tǒng)nΔt時刻的速度、加速度。

2 月球探測器建模及著陸段結(jié)構(gòu)動力學分析

本文研究的月球探測器由探測器中心體、著陸緩沖機構(gòu)和有效載荷等部分組成[15]。根據(jù)探測器著陸動力學響應(yīng)分析要求，對探測器結(jié)構(gòu)進行有限元建模，如圖2所示，保留探測器中心體主結(jié)構(gòu)、太陽翼結(jié)構(gòu)及著陸緩沖系統(tǒng)，其中太陽翼、緩沖腿分別通過彈性鉸鏈、球鉸與中心體連接，探測器上其他有效載荷按其安裝情況以等效質(zhì)量形式分布到臨近承力結(jié)構(gòu)上。詳細有限元建模過程參見文獻[16]。

圖2 月球探測器示意圖Fig.2 Configuration of lunar lander

太陽翼基板是支撐太陽能電池的主承力結(jié)構(gòu)，關(guān)系著探測器在月面工作的能源供應(yīng)。采用四節(jié)點完全積分殼單元建立太陽翼基板復合材料有限元模型，共涉及3024個自由度，模型規(guī)模并不很大。

太陽翼根部與探測器中心體通過三個鉸鏈連接，連接處平動自由度受到剛性約束，在轉(zhuǎn)軸方向上鉸鏈提供扭轉(zhuǎn)剛度，其剛度具有一定非線性，可建立連接元表示轉(zhuǎn)角與扭轉(zhuǎn)力矩的三次多項式關(guān)系[17]

τ=μ1θ+μ2θ3

(15)

其中，θ為太陽翼與中心體相對轉(zhuǎn)角，μ1、μ2分別為鉸鏈線性及三次扭轉(zhuǎn)剛度值。

探測器中心體以及內(nèi)部的貯箱均為板殼結(jié)構(gòu)，可近似作為線彈性結(jié)構(gòu)建模。完整的探測器中心體有限元模型自由度眾多，但涉及的連接自由度較少，著陸腿、太陽翼與中心體分別有36、24個連接自由度，可將中心體進行自由度縮聚，以提高動力學求解效率。由于中心體模態(tài)密集[14]，使用模態(tài)綜合法將保留過多模態(tài)，且計算精度不能得到有效保證。因此，使用脈沖子結(jié)構(gòu)方法對探測器中心體建模，共涉及60個輸入自由度(所有連接自由度)、25個輸出自由度(24個連接太陽翼自由度與1個中心體頂板輸出自由度)。

在進行探測器中心體脈沖子結(jié)構(gòu)生成時，分別在探測器中心體60個輸入自由度上施加等效脈沖載荷(即初始時刻在輸入自由度上直接施加載荷幅值為2/Δt的力，隨后的時間步上載荷設(shè)置為零，該等效脈沖載荷稱為初始載荷模型[10])，通過Newmark積分獲得探測器中心體25個輸出自由度上的位移響應(yīng)，該系列位移響應(yīng)構(gòu)成了探測器中心體脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣。

探測器著陸月面時產(chǎn)生的沖擊載荷通過著陸緩沖系統(tǒng)吸收后傳遞到探測器主體并引起結(jié)構(gòu)振動。由于兩太陽翼質(zhì)量不足探測器總質(zhì)量的1%，其質(zhì)量的改變對著陸過程中的緩沖作用力影響很小，在對探測器進行結(jié)構(gòu)動力學分析時，可直接將獲得的著陸緩沖力作為激勵作用于緩沖腿與探測器中心體連接的36個連接自由度上。探測器在以4 m/s的初始速度豎直著陸月面(月球重力加速1.63 m/s2)時，緩沖機構(gòu)對中心體的緩沖載荷，以Z+方向上主緩沖腿緩沖載荷為例，如圖3所示。

圖3 著陸緩沖載荷Fig.3 Landing buffer load

通過以上分析，建立了探測器著陸段子結(jié)構(gòu)動力學分析模型：探測器中心體為脈沖子結(jié)構(gòu)，太陽翼為有限元子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)間為非線性的廣義鉸鏈，著陸緩沖載荷為系統(tǒng)激勵。由于該模型在保證與有限元模型同等求解精度的前提下，極大的提高了求解效率[14]，為太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化提供了模型基礎(chǔ)。

3 月球探測器太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化模型

太陽翼是月球探測器上最為關(guān)鍵的結(jié)構(gòu)之一。在太陽翼結(jié)構(gòu)設(shè)計階段，其動力學特性越來越引起設(shè)計人員的關(guān)注。在著陸段，月球探測器太陽翼將承受較大的著陸沖擊載荷，本節(jié)以第2節(jié)建立的探測器子結(jié)構(gòu)動力學分析模型為基礎(chǔ)，通過合理設(shè)計太陽翼結(jié)構(gòu)參數(shù)，提高太陽翼抗著陸沖擊載荷的能力。

太陽翼基本構(gòu)型如圖4所示。為有效降低基板質(zhì)量提高基板剛度，基板采用鋁蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)。基板中間層為鋁蜂窩夾芯，材料參數(shù)如表1所示；夾芯兩側(cè)按照[0/90/45/-45/0/90/45/-45/]s的對稱方式鋪設(shè)多層碳纖維鋪層，采用表2中的材料參數(shù)。

在太陽翼安裝壓緊點處，為保證剛、強度要求，需進行加固處理，因此，太陽翼基板采取分區(qū)域鋪層的策略，在不同區(qū)域鋪設(shè)不同厚度碳纖維層?；邃亴雍穸?、鋪層方向及鋪層的分布等都對太陽翼結(jié)構(gòu)性能產(chǎn)生影響，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中應(yīng)當予以考慮。

圖4 太陽翼構(gòu)型示意圖Fig.4 Configuration of the solar wing

表1 鋁蜂窩夾芯材料參數(shù)Table 1 Material property of aluminum honeycomb core

表2 碳纖維材料參數(shù)Table 2 Material property of carbon fibre

3.1 優(yōu)化目標選取

本次太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化旨在提高太陽翼抗著陸沖擊載荷的能力，使得太陽翼基板安裝壓緊區(qū)域沖擊力學環(huán)境最小，保證太陽翼結(jié)構(gòu)及有效載荷在動態(tài)沖擊過程中結(jié)構(gòu)性能完好。在探測器著陸沖擊力學環(huán)境分析中，通常使用加速度沖擊響應(yīng)譜(Shock Response Spectrum，SRS)對探測器部組件處的沖擊力學環(huán)境進行量化[2,18]。因此對安裝壓緊區(qū)域內(nèi)特征點的加速度沖擊響應(yīng)譜進行包絡(luò)，使用該包絡(luò)譜描述安裝壓緊區(qū)域著陸沖擊力學環(huán)境。

綜合以上分析，太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化目標選取為：

minAf

(16)

其中，Af為安裝壓緊區(qū)域特征點加速度沖擊響應(yīng)包絡(luò)譜峰值。

3.2 約束條件選取

在對太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化時，主要對包括太陽翼的質(zhì)量特性、動響應(yīng)及結(jié)構(gòu)固有頻率有如下要求：

1)質(zhì)量特性要求：考慮到運載火箭運載能力，探測器總質(zhì)量應(yīng)盡可能輕，太陽翼結(jié)構(gòu)總質(zhì)量Ms應(yīng)當控制在分配的質(zhì)量指標之內(nèi)；

2)動響應(yīng)要求：探測器著陸過程中，在沖擊作用下太陽翼會有一定幅度振動，為保證太陽翼與探測器本體不發(fā)生物理干涉，太陽翼角點處相對位移d應(yīng)在可控范圍之內(nèi)；

3)固有頻率要求：在太陽翼展開過程中，為保證太陽翼與驅(qū)動機構(gòu)的動力學特性更加匹配，不發(fā)生嚴重的耦合，太陽翼一階繞鉸鏈轉(zhuǎn)動基頻Hf應(yīng)大于驅(qū)動頻率。

3.3 太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化設(shè)計變量分析

太陽翼是探測器的主要供能裝置，基板上布有太陽能電池片，其形狀和總面積與所需太陽能電池片的面積和布局相適應(yīng)[19]，所以在結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化設(shè)計中不涉及其幾何外形參數(shù)。太陽翼基板采用分區(qū)域鋪層結(jié)構(gòu)設(shè)計，其中碳纖維鋪層厚度對太陽翼結(jié)構(gòu)剛度、強度影響顯著，在已滿足靜強度基礎(chǔ)上(單層碳纖維鋪層厚度下限滿足靜強度要求)，對太陽翼局部單層碳纖維鋪層厚度(h1,h2)進行優(yōu)化設(shè)計；太陽翼整體剛度同時受到太陽翼與本體間連接鉸鏈扭轉(zhuǎn)剛度的影響，由于探測器著陸過程中太陽翼相對轉(zhuǎn)動較小，三次扭轉(zhuǎn)剛度對動響應(yīng)影響較小(此處取值設(shè)為6000 N/rad3)，因此僅對一次扭轉(zhuǎn)剛度(μ1)進行優(yōu)化。綜合以上，設(shè)計變量及設(shè)計空間如表3所示：

表3 太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化設(shè)計變量Table 3 Dynamic optimum design variables of solar wings

3.4 探測器太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化數(shù)學模型

通過以上對優(yōu)化三要素：優(yōu)化目標、約束條件、設(shè)計變量的分析，太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化問題可描述為標準優(yōu)化數(shù)學模型：

其中Ms_max=5.5 kg,d_max=40 mm,Hf_min=16 Hz。

4 探測器太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化分析

探測器太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化流程總結(jié)如下。首先確定優(yōu)化初始條件，包括設(shè)計變量、目標函數(shù)、約束條件和設(shè)計空間等；接著，建立高效求解的動力學響應(yīng)預測模型：由于探測器本體自由度眾多、涉及較多內(nèi)部連接且在太陽翼動力學優(yōu)化設(shè)計時保持結(jié)構(gòu)不變，因此將探測器本體凝聚成脈沖子結(jié)構(gòu)，太陽翼采用有限元建模，探測器本體與太陽翼通過廣義鉸鏈連接，通過脈沖子結(jié)構(gòu)方法對動力學響應(yīng)進行預測；然后，選取合適優(yōu)化算法調(diào)用動力學響應(yīng)預測模型進行優(yōu)化求解。

在本優(yōu)化算例中涉及3個連續(xù)設(shè)計變量、3個非線性約束及1個目標函數(shù)，其中目標函數(shù)加速度沖擊響應(yīng)包絡(luò)譜峰值由于經(jīng)過統(tǒng)計包絡(luò)運算不是設(shè)計變量的連續(xù)函數(shù)，因此本節(jié)可選用遺傳算法(GA)對該問題進行尋優(yōu)，遺傳算法能夠處理此類不連續(xù)、非線性問題且具有較好的全局尋優(yōu)能力；同時，采用罰函數(shù)法對約束進行處理，將該約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成等價的無約束優(yōu)化問題。具體優(yōu)化流程如圖5所示。

圖5 探測器太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化流程Fig.5 Optimization process of the dynamic optimum design of solar wings

采用遺傳算法對該問題進行尋優(yōu)：種群設(shè)置為30，代數(shù)為50代。種群適應(yīng)度隨種群代數(shù)的變化曲線如圖6所示，可以看出，種群代數(shù)到達40代后，結(jié)果基本收斂。

圖6 種群適應(yīng)度收斂曲線Fig.6 Iterative convergence curve of fitness value

經(jīng)過優(yōu)化求解，得到優(yōu)化后的設(shè)計變量，如表4所示。

表4 優(yōu)化前后設(shè)計變量取值Table 4 The design variables before and after the optimization

優(yōu)化后太陽翼動力學特性各指標均有所提高，太陽翼繞鉸鏈轉(zhuǎn)動基頻及太陽翼角點相對最大位移均滿足約束要求，總質(zhì)量在滿足約束要求前提下略有增加，太陽翼安裝壓緊區(qū)域沖擊響應(yīng)包絡(luò)譜峰值由降低了約1 km/s2，著陸沖擊力學環(huán)境得到有效改善，具體如表5所示。

表5 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)動力學特性對比Table 5 The structural dynamic performance before and after the optimization

整個尋優(yōu)過程共調(diào)用模型1530次，單次模型分析耗時約90 s。若動力學分析模型采用原有限元模型，僅單次動力學響應(yīng)預測將耗時約1400 s，這將使得整個優(yōu)化過程極其耗時、不可接受。

5 結(jié) 論

本文通過引入脈沖子結(jié)構(gòu)方法，建立了探測器著陸段結(jié)構(gòu)動力學子結(jié)構(gòu)分析模型，并基于此快速分析模型對探測器太陽翼結(jié)構(gòu)進行動力學優(yōu)化。首先分析選取了探測器太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化三要素，將太陽翼繞鉸鏈轉(zhuǎn)動基頻、太陽翼角點最大相對位移、太陽翼總質(zhì)量作為約束，建立了以太陽翼安裝壓緊區(qū)域沖擊響應(yīng)包絡(luò)譜峰值為目標函數(shù)的優(yōu)化數(shù)學模型；接著提出了探測器太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化流程，將脈沖子結(jié)構(gòu)方法引入優(yōu)化過程，在保證與有限元模型同等求解精度前提下，使得單次動力學分析效率提高15倍以上，顯著縮減了結(jié)構(gòu)動響應(yīng)計算耗時；最后完成優(yōu)化分析，得到合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)，太陽翼動力學特性各指標均有所提高，太陽翼安裝壓緊區(qū)域著陸沖擊力學環(huán)境得到有效改善。結(jié)果表明，脈沖子結(jié)構(gòu)方法可以有效應(yīng)用到結(jié)構(gòu)動力學特性優(yōu)化分析中，提高結(jié)構(gòu)設(shè)計優(yōu)化效率，所得優(yōu)化結(jié)果對實際結(jié)構(gòu)設(shè)計具有一定指導意義。