淺析求二元函數(shù)極限的幾種方法

熊允發(fā), 管 濤

(中國(guó)人民公安大學(xué)信息技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)安全學(xué)院， 北京 100038)

0 引言

在幾乎所有版本《高等數(shù)學(xué)》教材中，關(guān)于二元函數(shù)極限的內(nèi)容，都是粗略帶過(guò)，介紹的都極其簡(jiǎn)單，從未涉及到求極限的具體辦法。為了彌補(bǔ)這一缺憾，讓學(xué)生們更全面、深入地學(xué)習(xí)二元函數(shù)微積分，作者結(jié)合近三十多年的教學(xué)實(shí)踐與體會(huì)，將求二元函數(shù)極限的方法作一總結(jié)歸納，以期對(duì)廣大教師與學(xué)生有一定的幫助啟迪。

1 二元函數(shù)極限的概念和性質(zhì)

根據(jù)定義，至少有以下3點(diǎn)應(yīng)引起我們重視：

其二，二元函數(shù)極限的復(fù)雜性。由于二元函數(shù)極限定義中的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)的方式是任意的，因而平面上的點(diǎn)趨向于P0的方式就有無(wú)窮多種。這比起一元函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限只有左右兩側(cè)的情形，要復(fù)雜的多。但不論變量的變化多么復(fù)雜，且在多條路徑上的極限始終都是唯一的[2]。

故原極限不存在(因?yàn)檠夭煌窂綍r(shí)極限不唯一).

證：因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P(x,y)沿拋物線x=ky2趨向于點(diǎn)(0,0)時(shí)，

由于該極限的取值是隨著k的值不同而改變，所以原極限不存在。

這里順便說(shuō)一下，因?yàn)闃O限的唯一性，如果在求極限值時(shí)出現(xiàn)有兩個(gè)或以上不同值時(shí)，就意味著極限不存在。所謂極限為∞，這是一種特殊的描述方式，可以近似的理解為它是無(wú)窮小量的倒數(shù)。因此極限不存在與極限為∞不完全是一回事，兩者有區(qū)別。

其三,要嚴(yán)格區(qū)分二重極限與累次極限的關(guān)系。盡管兩者都是極限，其性質(zhì)不一樣，含義也不相同[3]。結(jié)合下面的例子加以說(shuō)明。

例4 設(shè)

試討論下面3種情形的極限。

由此可以看出，上例①中二重極限為0，而②③兩個(gè)累次極限均不存在。因此，重極限與累次極限不是一個(gè)概念，二者有本質(zhì)區(qū)別[4]。

2 求二元函數(shù)極限的幾種方法

(1) 利用連續(xù)函數(shù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性求極限

解：∵(x2+y2)|(0,1)=1≠0，

② 如果(x0,y0)不是f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)，則可先通過(guò)分子、分母有理化等方法使之變連續(xù)后再代值。

解：當(dāng)x→0，y→0時(shí)，分子分母同時(shí)趨向于0，則可先將分母有理化。

(2) 利用夾逼準(zhǔn)則來(lái)求極限

(3) 利用一元函數(shù)中的兩個(gè)重要極限公式來(lái)求極限

(4) 利用一元函數(shù)極限的性質(zhì)求極限

有界變量與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量[5]

(5) 利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限

解：當(dāng)x→0，y→0時(shí)，x2+y2→0，

=0

(6) 利用變量代換，將二元函數(shù)轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)再求極限

如令t=x2+y2

解：令t=x2+y2，

3 結(jié)語(yǔ)

由二元函數(shù)極限的定義，可以看出，要學(xué)好這部分的內(nèi)容，真正做到會(huì)求二元函數(shù)的極限不是一件容易事，必須要腳踏實(shí)地，認(rèn)真領(lǐng)會(huì)其精神實(shí)質(zhì)，在實(shí)際動(dòng)手操作中真正領(lǐng)悟二重極限的知識(shí)內(nèi)涵。