杜明洋,畢大平,王樹亮,潘繼飛

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院,230037,合肥)

密集多目標(biāo)跟蹤是信息融合、航空航天領(lǐng)域的難點(diǎn)問題。尤其是對(duì)于空間位置很近、互相遮擋現(xiàn)象嚴(yán)重的目標(biāo),如低空飛行的飛機(jī)編隊(duì)、鳥群等。在跟蹤上述類型的目標(biāo)時(shí),可能存在一個(gè)雷達(dá)波束內(nèi)有多個(gè)目標(biāo)的情況,從而導(dǎo)致無法分辨出每一個(gè)個(gè)體目標(biāo)[1-2]。針對(duì)上述問題,相關(guān)學(xué)者提出對(duì)群的整體進(jìn)行跟蹤,主要包括概率假設(shè)密度(PHD)濾波和Bayesian遞推算法。其中,洛克希德公司提出的PHD濾波算法可以有效跟蹤未知數(shù)目的空間臨近目標(biāo),不需要數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)即可從目標(biāo)狀態(tài)中同時(shí)提取目標(biāo)數(shù)量和狀態(tài)估計(jì)[3-6],但該算法存在大量的集合積分,推導(dǎo)復(fù)雜,并且無法給出目標(biāo)航跡,不利于實(shí)際應(yīng)用推廣[7-9]。Koch提出利用隨機(jī)矩陣(RM)描述群的形狀以改善跟蹤效果,將目標(biāo)形狀參數(shù)描述為逆Wishart分布,將目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)描述為Gaussian分布,采用Bayesian遞推的方法對(duì)上述參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[10-15]。

以飛機(jī)編隊(duì)為例,在運(yùn)動(dòng)過程中,基于特定的戰(zhàn)術(shù)要求,會(huì)出現(xiàn)分離、合并等機(jī)動(dòng)模式[7],與轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)不同的是,成員的合并與分離對(duì)于群目標(biāo)跟蹤來說,會(huì)引起群形狀和質(zhì)心的明顯變化,造成跟蹤誤差變大。對(duì)分離后的群目標(biāo)仍采用一個(gè)橢圓描述群外形顯然是不準(zhǔn)確的,因?yàn)榇藭r(shí)單個(gè)橢圓將無法反映群的態(tài)勢(shì)[16-17]。文獻(xiàn)[16]通過分析橢圓(體)與正定矩陣的關(guān)系,提出了一種新的描述群外形的方法,該算法降低了群機(jī)動(dòng)對(duì)跟蹤精度的影響,但該算法采用半正定規(guī)劃估計(jì)橢圓的半軸,需要大量的迭代尋優(yōu)計(jì)算,從而嚴(yán)重影響了跟蹤的實(shí)時(shí)性。本文基于文獻(xiàn)[16]的思想,結(jié)合群分離的特性,通過傳統(tǒng)隨機(jī)矩陣算法估計(jì)橢圓的尺寸變化檢測(cè)群的分離,當(dāng)檢測(cè)到群分離后,采用k-均值算法對(duì)有效量測(cè)進(jìn)行聚類,形成若干個(gè)小群,再利用最小二乘法將各分群擬合成橢圓以描述群的形狀,最后進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)。相比前述算法,本文混合算法既提高了對(duì)機(jī)動(dòng)群目標(biāo)的跟蹤精度,又提高了實(shí)時(shí)性。

1 基于隨機(jī)矩陣的群目標(biāo)跟蹤

1.1 模型建立

(1)運(yùn)動(dòng)模型選取當(dāng)前統(tǒng)計(jì)(CS)模型,其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型為

(1)

CS模型可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)的自適應(yīng)跟蹤,但仍存在一些不足之處:首先,CS模型難以根據(jù)不同類型的機(jī)動(dòng)自適應(yīng)地選取自相關(guān)時(shí)間常數(shù);其次,該模型對(duì)于加速度較小的弱機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤誤差較大。

(2)形態(tài)演化模型。該模型描述了目標(biāo)的形態(tài)隨著時(shí)間的演化過程,包括大小、形狀和朝向等方面。文獻(xiàn)[14-15]給出了可精確刻畫上述過程的演化模型

(2)

式中:p[Xk|Xk-1]為Xk-1到Xk的變化概率;δk為演化分布的自由度;Ak為形態(tài)演化矩陣;W(Y;a,C)表示威沙特(Wishart)分布。

(3)

1.2 跟蹤算法

狀態(tài)xk和形態(tài)Xk的聯(lián)合后驗(yàn)概率密度可以分解為

p[xk,Xk|Zk]=p[xk|Xk,Zk]p[Xk|Zk]

(4)

式中:Zk為1～k時(shí)刻所有的量測(cè)數(shù)據(jù)。

在隨機(jī)矩陣的框架下,假設(shè)

p[xk-1,Xk-1|Zk-1]=

p[xk-1|Xk-1,Zk-1]p[Xk-1|Zk-1]=

(5)

式中:WI(·)表示逆威沙特(Inverse Wishart,IW)分布。

(1)預(yù)測(cè)。將運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)一步預(yù)測(cè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行如下分解

p[xk,Xk|Zk-1]=p[Xk|Zk-1]p[xk|Xk,Zk-1]

(6)

式中

(7)

p[xk|Xk,Zk-1]≈

(8)

根據(jù)逆威沙特分布的性質(zhì),Xk的一步預(yù)測(cè)的均值為

(9)

(2)更新。給定k時(shí)刻數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)nk,則有

p[Z(k)|nk,xk,Xk]∝

(10)

將式(8)和式(10)代入式(6),可得

(11)

2 基于聚類的群劃分與航跡關(guān)聯(lián)

通過對(duì)上節(jié)中算法的仿真研究發(fā)現(xiàn),群分離時(shí),基于隨機(jī)矩陣算法的橢圓估計(jì)尺寸變化劇烈,基于此,可以設(shè)立門限值η,當(dāng)連續(xù)若干周期,橢圓尺寸變化率均超過η時(shí),即可判為群分離。本文基于k-均值聚類算法,將分離后的群目標(biāo)分為若干個(gè)分群進(jìn)行跟蹤。具體步驟如下。

2.1 群劃分

(1)群分離判決。選取橢圓面積的變化率作為群分離的判別指標(biāo)。當(dāng)連續(xù)γ個(gè)周期,橢圓面積的變化率ΔS均高于門限值η,則判為群分離,即

ΔS=π(Δa)(Δb)>η

(12)

(2)選擇聚類中心。假設(shè)群內(nèi)聚類數(shù)為T,定義群內(nèi)第t個(gè)聚類中心在k時(shí)刻的狀態(tài)向量為

(13)

考慮到聚類中心將參與小群幾何中心的計(jì)算,因此最好選擇群內(nèi)的目標(biāo)點(diǎn),這樣可以避免引入新的點(diǎn)跡,影響群內(nèi)目標(biāo)的分布。此外,想要選出極有可能不在同一簇的點(diǎn),一種簡(jiǎn)單的方法是選擇彼此距離盡量遠(yuǎn)的點(diǎn)跡,即最遠(yuǎn)原則。基于此,聚類中心的選取按照以下步驟進(jìn)行:

步驟3分別計(jì)算剩余點(diǎn)到前兩個(gè)聚類中心的距離,兩個(gè)距離中的較小值作為該點(diǎn)到前兩個(gè)聚類中心的“得分”,選擇“得分”最高對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作為第3個(gè)聚類中心;

步驟4以此類推,完成聚類中心的初始化。

考慮到基于隨機(jī)矩陣的群目標(biāo)跟蹤旨在描述群的外形,同時(shí)對(duì)群的中心進(jìn)行估計(jì);并且當(dāng)群內(nèi)目標(biāo)較少時(shí),往往對(duì)單個(gè)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,單個(gè)點(diǎn)目標(biāo)不存在外形估計(jì)問題。因此,分群數(shù)量不宜過多,本文中T取2。

(3)形成臨時(shí)小群。計(jì)算群內(nèi)量測(cè)與聚類中心的距離,將量測(cè)歸于最近的聚類中心,形成t個(gè)小群,此時(shí)聚類小群不分先后,為臨時(shí)狀態(tài)。計(jì)算各小群的幾何中心為

(14)

(15)

2.2 航跡關(guān)聯(lián)

(16)

選取距離k時(shí)刻最近的聚類中心j進(jìn)行關(guān)聯(lián),其航跡關(guān)聯(lián)示意圖如圖1所示。

圖1 航跡關(guān)聯(lián)示意圖

3 基于最小二乘法擬合橢圓

最小二乘法是比較常用的橢圓擬合方法,其思想是在隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)利用最大似然法進(jìn)行最優(yōu)估計(jì),使得測(cè)量誤差的平方和最小。

D=(X-X′)TWTW(X-X′)

(17)

圖2 樣本點(diǎn)P及橢圓上的正交近鄰點(diǎn)P′

(18)

(19)

通過式(19)可得

(20)

式中:J是Jacobian矩陣。

綜上,本文算法流程如圖3所示。

圖3 本文算法流程圖

4 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)通過蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)本文算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。群質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及形狀估計(jì)的評(píng)價(jià)指標(biāo)采用均方根誤差(RMSE),分別定義為

(21)

(22)

4.1 運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景

跟蹤由8個(gè)目標(biāo)組成的群目標(biāo),各目標(biāo)初始位置在(500 m,1 000 m)附近隨機(jī)產(chǎn)生,目標(biāo)間距在150～300 m之間,目標(biāo)在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),模擬實(shí)際飛機(jī)編隊(duì)飛行,采樣間隔為1 s,仿真運(yùn)動(dòng)時(shí)間為140 s。群目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分為以下6個(gè)階段:

(1)t=1～17 s,vx=200 m/s、vy=50 m/s,勻速;

(2)t=18～43 s,以轉(zhuǎn)彎速率4.77 rad/s左轉(zhuǎn)彎;

(3)t=44～53 s,勻速;

(4)t=54～80 s,以轉(zhuǎn)彎速率-4.77 rad/s右轉(zhuǎn)彎;

(5)t=81～100 s,勻速;

(6)t=101 s時(shí)群分離,分群1中包括4個(gè)目標(biāo)繼續(xù)做勻速運(yùn)動(dòng);分群2中另外4個(gè)目標(biāo)以轉(zhuǎn)彎速率-3 rad/s做右轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)。x軸和y軸量測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σx=30 m和σy=30 m。檢測(cè)概率Pd=0.98,門概率Pg=0.999 7,蒙特卡洛仿真次數(shù)為50。在濾波過程中產(chǎn)生隨機(jī)的雜波,雜波的空間位置服從高斯分布,雜波個(gè)數(shù)服從泊松分布,初始雜波密度λ=4×10-4個(gè)/m2。在群分離的判別中,γ選取5,η選取1 000 m2。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)模型選取“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型,其中機(jī)動(dòng)頻率設(shè)置為α=1/40,amax=50 m/s2,amin=-50 m/s2。群目標(biāo)外形初始橢圓長(zhǎng)短半軸分別取350 m和80 m。

4.2 仿真結(jié)果及分析

接收到的量測(cè)數(shù)據(jù)分布如圖4所示。為驗(yàn)證本文算法的有效性,分別對(duì)二分群和三分群的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行仿真,并與文獻(xiàn)[4]算法進(jìn)行比較,跟蹤及關(guān)聯(lián)效果如圖5～圖7所示。

圖4 量測(cè)數(shù)據(jù)分布

由圖5a、5b可以看出,文獻(xiàn)[4]算法能夠準(zhǔn)確地描述群整體發(fā)生轉(zhuǎn)彎等整體機(jī)動(dòng)時(shí)的外形;但當(dāng)群分離時(shí),由圖5c、5d可以看出,隨著群內(nèi)目標(biāo)間隔逐漸增大,文獻(xiàn)[4]算法對(duì)群運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和外形的估計(jì)誤差明顯增大,其中外形估計(jì)的誤差變化更劇烈,這也證明了可以通過群外形估計(jì)的變化率判定群是否發(fā)生分離。

(a)分離前群的外形真實(shí)值

(b)分離后群的外形估計(jì)值

為驗(yàn)證本文算法中航跡關(guān)聯(lián)的有效性,通過對(duì)二分群及三分群的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行仿真,比較航跡關(guān)聯(lián)前后的跟蹤效果,并計(jì)算分離前后的跟蹤誤差,如圖6、圖7所示。比較圖6a、圖6b,圖7a、圖7b,可以看出,本文算法通過計(jì)算前后兩時(shí)刻的各分群間距,基于最近鄰思想,較好地實(shí)現(xiàn)了航跡關(guān)聯(lián)。比較圖6c及圖7c、圖7d可以看出,本文算法對(duì)群分離后的外形估計(jì)誤差與文獻(xiàn)[4]算法對(duì)群分離前的外形估計(jì)誤差是同一量級(jí),證明了算法的有效性。此外,隨機(jī)矩陣算法估計(jì)收斂較慢,并且精度會(huì)受到群機(jī)動(dòng)的影響;最小二乘法根據(jù)量測(cè)值實(shí)時(shí)地?cái)M合生成橢圓,估計(jì)精度不會(huì)受到群機(jī)動(dòng)的影響,但依賴于k-均值的聚類結(jié)果。

為比較文獻(xiàn)[16]、文獻(xiàn)[4]與本文算法的精度和實(shí)時(shí)性,對(duì)二分群運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行仿真,計(jì)算3種算法的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、外形估計(jì)的均方根誤差及不同雜波密度下的單次蒙特卡洛耗時(shí),具體結(jié)果如圖8及表1～表3所示。

(a)未航跡關(guān)聯(lián)

(b)航跡關(guān)聯(lián)

(c)估計(jì)誤差圖6 本文算法跟蹤二分群運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景及性能

(a)未航跡關(guān)聯(lián)

(b)航跡關(guān)聯(lián)

(c)分離前形狀估計(jì)誤差

(d)分離后分群形狀估計(jì)誤差圖7 本文算法跟蹤三分群運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景及性能

圖8 2種算法分離前跟蹤精度對(duì)比

由表3數(shù)據(jù)可以看出,為了實(shí)現(xiàn)對(duì)群分離的跟蹤,本文提出的混合算法相比文獻(xiàn)[4]中單一的隨機(jī)矩陣算法,單次蒙特卡洛耗時(shí)平均增加了35%左右。結(jié)合表1、表2中的均方根誤差可以看出,文獻(xiàn)[16]算法與本文算法對(duì)群外形估計(jì)的精度相當(dāng),但前者耗時(shí)較大,影響了跟蹤的實(shí)時(shí)性。這是由于前者采用半正定規(guī)劃對(duì)群外形橢圓的估計(jì)過程(包括確定橢圓半軸長(zhǎng)上、下界,遍歷尋優(yōu)等)較復(fù)雜,大量的迭代運(yùn)算影響了運(yùn)算速度,而本文算法基于最小二乘法,在隨機(jī)誤差為正態(tài)分布的假設(shè)下,只需滿足式(20)的各橢圓參數(shù)值即可。相比之下,不需要進(jìn)行迭代和遍歷運(yùn)算,因此實(shí)時(shí)性更好。

表1 3種算法的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)均方根誤差對(duì)比

表2 3種算法的外形估計(jì)均方根誤差對(duì)比

表3 3種算法的算法耗時(shí)對(duì)比

5 結(jié) 論

基于隨機(jī)矩陣的群目標(biāo)跟蹤算法能夠同時(shí)估計(jì)群質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和群的外形特征,逐漸成為群目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。針對(duì)傳統(tǒng)算法對(duì)群分離后跟蹤誤差較大的問題,本文提出了一種基于隨機(jī)矩陣與最小二乘法相結(jié)合的群目標(biāo)外形估計(jì)算法。該混合算法根據(jù)傳統(tǒng)算法估計(jì)橢圓尺寸的變化率檢測(cè)群的分離,采用k-均值聚類形成分群,最后基于最小二乘法對(duì)各分群的外形進(jìn)行擬合。仿真表明,檢測(cè)群分離的方法有效,對(duì)機(jī)動(dòng)群目標(biāo)的跟蹤精度有明顯提高,能夠較好地反映群分離后的運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)及外形特征變化。