(1 煙臺(tái)大學(xué)海洋學(xué)院 煙臺(tái) 264005； 2 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津 300072； 3 煙臺(tái)大學(xué)土木學(xué)院 煙臺(tái) 264005)

刺參是目前我國(guó)海水養(yǎng)殖中最活躍、發(fā)展最快的水產(chǎn)品，為了滿足干制品質(zhì)量和節(jié)能的要求，新型熱泵干燥方式已開(kāi)始應(yīng)用于刺參干制加工中[7-9]。確定刺參在熱泵干燥過(guò)程中的Deff對(duì)于研究刺參的干燥動(dòng)力學(xué)特性、優(yōu)化干燥工藝、深入研究刺參內(nèi)部的干燥傳質(zhì)特性都具有重要意義。但刺參本身為圓筒狀，兩端稍細(xì)，體背有疣足，形狀不規(guī)則，從尺寸上也不能看作是無(wú)限長(zhǎng)圓柱體，故不能用解析方法確定刺參的Deff。本文將基于有限元模型的Deff確定方法引入刺參熱泵干燥研究，深入探討熱泵干燥條件下刺參Deff的影響因素和變化規(guī)律。

1 干燥數(shù)學(xué)模型

以刺參為對(duì)象建立干燥數(shù)學(xué)模型。建模中，假設(shè)刺參為均勻?qū)ΨQ的不等邊橢球形，取其1/4進(jìn)行建模，如圖1所示，上方錐形突起為疣足。

圖1 刺參建模對(duì)象Fig.1 The modeling object of sea cucumber

刺參干燥模型是描述其內(nèi)部水分?jǐn)U散的非穩(wěn)態(tài)傳質(zhì)模型，該模型由3部分組成：控制微分方程、邊界條件和初始條件?；诜瓶说诙蒣10-11]得到控制微分方程：

(1)

邊界條件：

(2)

初始條件：

X(x,y,z,0)=X0

(3)

式中：X為局部干基含水率(層內(nèi)水分質(zhì)量/層內(nèi)干基質(zhì)量)，%；X0為刺參初始干基含水率，%；τ為干燥時(shí)間，s；kc為對(duì)流傳質(zhì)系數(shù)[11]，m/s；Xe為刺參達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的干基含水率，%。

刺參在熱泵干燥過(guò)程中，隨著體內(nèi)水分不斷脫除，整體逐漸收縮。收縮率隨干基含水率的變化如下[12]：

ε=a+bX

(4)

式中：ε為收縮率；a，b為方程系數(shù)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合獲得。

方程(1)～(4)組成了考慮刺參干燥收縮的數(shù)學(xué)模型。為了分析刺參干燥收縮對(duì)Deff的影響，本文還建立了不考慮刺參干燥收縮的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行對(duì)比分析，該模型由方程(1)～(3)組成。

2 刺參熱泵干燥實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

干燥用熱泵裝置為自制，工作原理如圖2所示。該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)包括熱泵回路和干燥空氣回路兩部分。熱泵回路由直流變頻壓縮機(jī)1、冷凝器2、儲(chǔ)液器3、節(jié)流閥4、蒸發(fā)器5及相應(yīng)連接管道組成，干燥空氣回路由風(fēng)機(jī)6、干燥箱7、風(fēng)量調(diào)節(jié)閥8、旁通風(fēng)量調(diào)節(jié)閥9和相應(yīng)連接風(fēng)道組成。熱泵回路的工作原理同文獻(xiàn)[13-15]。在干燥空氣回路中，干燥空氣進(jìn)入冷凝器吸熱后溫度升高，在風(fēng)機(jī)驅(qū)動(dòng)下進(jìn)入干燥箱加熱刺參，吸收水分后流出干燥箱，經(jīng)風(fēng)量調(diào)節(jié)閥后，一路經(jīng)蒸發(fā)器除濕，另一路經(jīng)旁通風(fēng)量調(diào)節(jié)閥流出，兩路空氣混合后再進(jìn)入冷凝器加熱，完成空氣回路循環(huán)。調(diào)節(jié)旁通風(fēng)量調(diào)節(jié)閥開(kāi)度可以實(shí)現(xiàn)干燥空氣溫度和濕度的變化。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，本熱泵實(shí)驗(yàn)臺(tái)的性能系數(shù)(加熱量/輸入電量)可達(dá)3.2～3.6。

1壓縮機(jī)；2冷凝器；3儲(chǔ)液器；4節(jié)流閥；5蒸發(fā)器；6風(fēng)機(jī)；7干燥箱；8風(fēng)量調(diào)節(jié)閥；9旁通風(fēng)量調(diào)節(jié)閥。圖2 熱泵干燥實(shí)驗(yàn)原理Fig.2 The principle of heat punp drying experiment

2.2 實(shí)驗(yàn)材料

實(shí)驗(yàn)所用刺參來(lái)自煙臺(tái)某市場(chǎng)，經(jīng)去除內(nèi)臟、煮沸、瀝干表面水分處理后，質(zhì)量為(18±4.5)g，長(zhǎng)、短半徑分別為(90±5) mm、(29±4) mm，赤道半徑為(29±4) mm，初始干基含水率為643%±76.7%。

2.3 實(shí)驗(yàn)方法

每組實(shí)驗(yàn)選擇10個(gè)大小相近的刺參樣品，用電子天平稱取質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)前先預(yù)熱熱泵，調(diào)節(jié)壓縮機(jī)頻率和旁通風(fēng)量調(diào)節(jié)閥達(dá)到設(shè)定干燥溫度后，將刺參單層均勻平鋪在托盤(pán)中放入干燥箱，每隔20 min取出用電子天平稱取質(zhì)量，用游標(biāo)卡尺測(cè)量并記錄長(zhǎng)、短半徑和赤道半徑，當(dāng)干燥至含水量基本穩(wěn)定時(shí)停止實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得干燥空氣流速為0.8 m/s，干燥溫度為35 ℃±1 ℃、40 ℃±1 ℃、45 ℃±1 ℃，相對(duì)濕度為17%±1%、14%±2%、25%±1%。

2.4 指標(biāo)參數(shù)測(cè)量

2.4.1干基含水率

干燥結(jié)束后，將刺參置于紅外干燥箱內(nèi)，設(shè)定溫度為103 ℃，根據(jù)食品水分測(cè)定國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)[16]將刺參完全干燥，作為全干質(zhì)量，再由實(shí)驗(yàn)過(guò)程中測(cè)得的瞬時(shí)質(zhì)量計(jì)算得到每個(gè)測(cè)量時(shí)刻的平均干基含水率：

(5)

2.4.2收縮率

根據(jù)測(cè)得的刺參長(zhǎng)、短半徑和赤道半徑計(jì)算刺參體積，代入式(6)計(jì)算收縮率：

(6)

3 Deff計(jì)算模型

根據(jù)是否考慮Deff隨干燥溫度和干基含水率的變化，分別提出了兩種Deff計(jì)算模型，用于干燥數(shù)學(xué)模型中Deff的計(jì)算。

M1模型：不考慮Deff隨干基含水率的變化，即在給定干燥條件下，

Deff=const

(7)

運(yùn)用該模型得到不同干燥溫度的Deff后，擬合獲得其隨干燥溫度的變化，即Arrhenius公式：

(8)

式中：D0、Ea為待定系數(shù)；R為摩爾氣體常數(shù)，J/(mol·K)；t為干燥溫度，℃。

M2模型：考慮Deff隨干基含水率的變化，即在給定干燥條件下，

Deff=a0X+b0

(9)

式中：a0，b0為待定系數(shù)。

有學(xué)者研究得到了稻谷、糙米、玉米、小麥、蔬菜等物料的Deff隨干基含水率的變化[2]，但對(duì)刺參的研究很少。將M2模型代入干燥數(shù)學(xué)模型，得到不同干燥溫度的Deff后，再擬合得出刺參的Deff隨干燥溫度與干基含水率的變化，表示為修正的Arrhenius公式：

(10)

式中：aj(j=1,2,3,4)，bk(k=1,2)為待定系數(shù)。

4 基于有限元模型的Deff確定方法

(11)

圖3 所示為基于有限元模型的Deff確定方法流程圖Fig.3 The flow chart of determination of Deff based on FME model

按照上述Deff計(jì)算方法，在流程圖中，分別采用M1和M2模型后，通過(guò)迭代可得Deff為常數(shù)和隨干基含水率變化的兩種結(jié)果。

為了研究干燥數(shù)學(xué)模型對(duì)Deff的影響，將考慮與忽略收縮的干燥數(shù)學(xué)模型分別代入計(jì)算，得到對(duì)應(yīng)的Deff，分別稱為考慮收縮與忽略收縮的Deff(以下稱為模型輸出值)。利用上述方法，計(jì)算得到各干燥條件下的Deff，再通過(guò)MATLAB軟件的最小二乘法[17]，辨識(shí)出式(8)與式(10)中D0、Ea、aj、bk等系數(shù)值，得到計(jì)算Deff的公式，獲得Deff隨干燥溫度t和干基含水率X的變化。

5 結(jié)果與分析

上述模型中，按照是否考慮刺參收縮以及選用哪個(gè)刺參Deff模型(M1或M2)，可分別計(jì)算得到考慮收縮且Deff隨t變化、忽略收縮且Deff隨t變化、考慮收縮且Deff隨t和X變化、忽略收縮且Deff隨t和X變化4種情況下的刺參Deff，并進(jìn)行對(duì)比分析。

根據(jù)M1模型，同一溫度下刺參內(nèi)部的Deff為常數(shù)。圖4所示采用M1模型得到的刺參Deff隨t的變化?？梢钥闯?，在考慮收縮情況下，隨著t由35 ℃升至45 ℃，Deff從7.9×10-10m2/s增至16.4×10-10m2/s，增加了一倍多。說(shuō)明刺參的Deff隨t的增加而增加。由圖4還可以看出，在3種溫度下，考慮刺參收縮的Deff均低于忽略收縮情況，分別降低了11%、14.5%、8.7%。原因是刺參干燥過(guò)程中有較大收縮，導(dǎo)致不考慮收縮建模中的刺參尺寸大于實(shí)際情況，需要更大的Deff才能與X動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符。由此可知，采用基于有限元模型確定Deff時(shí)，建模必須考慮收縮引起的幾何尺寸變化，否則會(huì)產(chǎn)生較大偏差。

圖4 熱泵干燥條件下，Deff隨干燥溫度的變化Fig.4 Variation of effective diffusivity with drying temperature under heat pump drying

為了便于計(jì)算Deff，將上述模型輸出值擬合為Arrhenius公式：

忽略收縮：

(12)

考慮收縮：

(13)

由圖4可以看出，用式(12)～(13)計(jì)算得到的擬合值與模型輸出值吻合較好，忽略與考慮收縮時(shí)的相關(guān)系數(shù)[17]分別為0.999和0.994。

圖5所示為不同熱泵干燥條件下，采用M2模型得到的刺參內(nèi)部Deff隨t和X的變化。可以看出，在3種熱泵干燥溫度下，X從500%降至50%時(shí)，Deff分別由12.2×10-10、15.4×10-10、22.1×10-10m2/s降至6.9×10-10、8.7×10-10、13.7×10-10m2/s，均降低了約40%。說(shuō)明X越高，刺參內(nèi)部水分?jǐn)U散更快，反之越慢。在t影響方面，當(dāng)t從35 ℃升至45 ℃后，Deff增加了80%～93%，且X越低增加值越大。

圖5 熱泵干燥條件下，Deff隨干燥溫度和干基含水率的變化Fig.5 Variation of effective diffusivity with drying temperature and dry-based moisture content under heat pump drying

為了便于計(jì)算Deff，將上述模型輸出值擬合為修正Arrhenius公式：

忽略收縮：

(14)

考慮收縮：

(15)

由圖5可以看出，用修正Arrhenius公式(14)～(15)計(jì)算的Deff擬合值與M2模型輸出值之間吻合也較好，忽略與考慮收縮時(shí)的相關(guān)系數(shù)分別為0.993和0.999。

與圖4類(lèi)似，由圖5也可以看出考慮收縮比忽略收縮得到的Deff要小，相對(duì)偏差范圍為3.9%～14.6%。再次證明了模型中干燥收縮對(duì)Deff計(jì)算具有重要影響。

擬合得到描述Deff對(duì)t和X變化的公式(12)～(15)后，將其代入干燥數(shù)學(xué)模型，可得到不同情況下刺參X的動(dòng)態(tài)變化，如圖6～圖8所示?？梢钥闯?，不同Deff模型計(jì)算得到的刺參X均隨干燥進(jìn)行而逐漸下降，與實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)一致。但4種模型中，忽略收縮的Deff模擬得到的X與實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)偏差較大。如在(35±1) ℃干燥條件下，干燥初期模擬值明顯小于實(shí)驗(yàn)值而后期則高于實(shí)驗(yàn)值，而在(40±1) ℃和(45±1) ℃干燥條件時(shí)，刺參含水率擬合值均在干燥后半段明顯高于實(shí)驗(yàn)值，且在(40±1) ℃干燥條件時(shí)，高出實(shí)驗(yàn)值情況最嚴(yán)重。在上述3種干燥條件下，考慮收縮的Deff模型模擬得到的X與實(shí)驗(yàn)值吻合最好，尤其考慮Deff隨t和X變化時(shí)的模擬值與實(shí)驗(yàn)值一致性更好，相關(guān)系數(shù)分別為0.995、0.994、0.996。而只考慮Deff隨t變化時(shí)的模擬值與實(shí)驗(yàn)值的相關(guān)系數(shù)分別為0.993、0.991、0.994。由此可知，考慮收縮且Deff隨t和X變化時(shí)，模擬精度更高，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更吻合，在干燥研究中應(yīng)優(yōu)先推薦使用。

圖6 (35±1) ℃熱泵干燥下干基含水率的變化Fig.6 Variation of dry-based moisture content with drying time under heat pump drying (t=(35±1) ℃)

圖7 (40±1) ℃熱泵干燥下干基含水率的變化Fig.7 Variation of dry-based moisture content with drying time under heat pump drying (t=(40±1) ℃)

圖8 (45±1) ℃熱泵干燥下干基含水率的變化Fig.8 Variation of dry-based moisture content with drying time under heat pump drying (t=(45±1) ℃)

圖9所示為在(40±1) ℃熱泵干燥溫度下，不同時(shí)刻刺參內(nèi)部Deff的分布?？梢钥闯?，干燥進(jìn)行至1、5、15 h時(shí)，刺參內(nèi)部Deff范圍分別為8.2×10-10～14.6×10-10m2/s，8.1×10-10～12.6×10-10m2/s和8.0×10-10～8.9×10-10m2/s。刺參內(nèi)外Deff差值由6.4×10-10m2/s降至0.9×10-10m2/s。刺參內(nèi)部Deff由內(nèi)向外逐漸降低，靠近中心處由于X較高，對(duì)應(yīng)的Deff較大，而在刺參外表面處，由于X較低，Deff最小。由圖9還可以看出，隨著干燥的進(jìn)行，刺參外形尺寸逐漸減少，對(duì)應(yīng)上述3個(gè)干燥時(shí)刻的疣足尖部最大尺寸由1.8 cm依次縮小至1.6 cm和1.5 cm，最大縮小率達(dá)到16.7%，尺寸變化較大，說(shuō)明建模不能忽略收縮效應(yīng)，否則計(jì)算結(jié)果將產(chǎn)生較大偏差，圖4～圖8中兩種情況下的數(shù)值偏差也證明了上述觀點(diǎn)。

圖9 不同時(shí)刻刺參內(nèi)部擴(kuò)散系數(shù)的分布Fig.9 Effective diffusivity distribution inside the sea cucumber in different drying times

6 結(jié)論

本文探討了基于有限元模型確定擴(kuò)散系數(shù)Deff在刺參熱泵干燥研究中的應(yīng)用，實(shí)驗(yàn)測(cè)試了3種不同熱泵干燥溫度t下的刺參干基含水率X變化，建立了考慮收縮的刺參熱泵干燥模型和Deff模型，通過(guò)X模擬值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比優(yōu)化獲得Deff，并對(duì)比分析收縮變形、t和X因素對(duì)刺參Deff的影響。得到如下結(jié)論：

1)刺參的Deff隨t的增加而增加，t從35 ℃升至45 ℃后，Deff增加了1倍多。

2)X對(duì)Deff具有較大影響。在3種t下，Deff均隨著X的降低而降低，X由500%降至50%時(shí)，Deff降低40%左右。

3)Deff研究中應(yīng)考慮收縮變形的影響，且考慮收縮的Deff均低于忽略收縮情況，對(duì)應(yīng)M1模型的Deff相對(duì)偏差范圍為8.7%～14.5%，而M2模型的Deff相對(duì)偏差范圍為3.9%～14.6%。采用忽略收縮的干燥模型模擬得到的X與實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)偏差最大，而考慮收縮的干燥模型模擬得到的X與實(shí)驗(yàn)值吻合最好，尤其考慮Deff隨t和X變化時(shí)，模擬值精度更高，相關(guān)系數(shù)超過(guò)0.994。

4)在刺參內(nèi)部，Deff范圍隨干燥進(jìn)行逐漸減小，且按由內(nèi)向外逐漸降低的規(guī)律分布，越靠近中心Deff越大。從1 h至15 h，內(nèi)外Deff差值由6.4×10-10m2/s降至0.9×10-10m2/s，中心處Deff則由14.6×10-10m2/s降至8.9×10-10m2/s。

本文受山東省自然基金(ZR2014EL029)和天津市自然科學(xué)基金重點(diǎn)(16JCZDJC33900)項(xiàng)目資助。(The project was supported by Shandong Provincial Natural Science Foundation, China (No. ZR2014EL029) and Tianjin Provincial Key Natural Science Foundation of China (No. 16JCZDJC33900).)