自由度并聯(lián)腿機構(gòu)運動學(xué)分析

王曉蕓 李 磊 崔 培

（石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河北石家莊 050041）

1 引言

近年來，少自由度并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單緊湊、承載能力大、累計誤差小、造價低、運動慣性力小等優(yōu)點，逐漸成為國際上機器人技術(shù)中研究的新熱點，在工業(yè)設(shè)計制造生產(chǎn)及其相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)具都有非常廣闊的應(yīng)用前景。但是，由于大多數(shù)少自由度并聯(lián)機構(gòu)中存在過約束和自由度耦合等現(xiàn)象，所以這類并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)分析較復(fù)雜，運動規(guī)律難以直觀判別[1]。因此，提出了一種新型的2自由度并聯(lián)腿機構(gòu)，即 2-UPS+U 并聯(lián)腿機構(gòu)，該機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，支鏈無耦合，剛度大，承載能力高。

圖1 機構(gòu)簡圖

2 并聯(lián)腿機構(gòu)模型建立

（2-UPS+U）并聯(lián)腿機構(gòu)，由三條支鏈構(gòu)成，分別是一條U支鏈和兩條UPS支鏈。其中，U支鏈為動桿，具有2個轉(zhuǎn)動自由度，它上部通過虎克鉸鏈與機架相連接；UPS支鏈上部通過虎克鉸鉸鏈與機架連接，下部通過球副與U支鏈的動桿相連接；與機架連接的3個虎克鉸鏈中心布置在等腰直角三角形的三個頂點處，并且保證U支鏈的虎克鉸鏈中心位于該三角形的直角頂點處。該機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，無耦合，可以將2-UPS分支的驅(qū)動器放置在機架上，減小整個并聯(lián)腿機構(gòu)運動部分的質(zhì)量。圖1是并聯(lián)腿的機構(gòu)簡圖。建立固結(jié)在三角形機架上的固定坐標(biāo)系O0-XYZ，其原點在直角頂點處A1，其X軸平行于機架的直角邊A1A2方向，Z軸垂直于機架向下，Y軸的方向由右手法則確定。分別在3個虎克鉸鏈中心A1、A2，A3建立動坐標(biāo)系{1}、{2}、{3}。

3 并聯(lián)腿機構(gòu)運動學(xué)分析

3.1 機構(gòu)自由度求解

在（2-UPS+U）并聯(lián)腿機構(gòu)中，U支鏈的反螺旋[2]可以表示為：

并聯(lián)腿機構(gòu)中UPS支鏈的反螺旋可以表示為：

由上述反螺旋公式可以看出，反約束力$14r和$22r對限制該并聯(lián)腿機構(gòu)沿Z軸移動所起的作用是相同的，反約束力$12r和$21r對限制該并聯(lián)腿機構(gòu)沿X軸所起的作用是相同，因此，該并聯(lián)腿機構(gòu)中存在兩個冗余的虛約束。

考慮了冗余約束的 Grübler- Kutzbach公式[3]為：

式（3）中d為并聯(lián)腿機構(gòu)的階數(shù)，λ為并聯(lián)腿機構(gòu)的公共約束數(shù)目，則d=6-λ；n為機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)；g為機構(gòu)的運動副數(shù)目；∑fi為第i個運動副的自由度；?為虛約束的數(shù)目；q為機構(gòu)的局部自由度[3]。

由上述并聯(lián)腿機構(gòu)的分析可知：λ=0；d=6；n=6；g=8；∑fi=13；?=2；q=0，將其代入可得該并聯(lián)腿機構(gòu)的自由度為：

3.2 位置反解

機構(gòu)的位置反解就是機構(gòu)末端的位置和姿態(tài)角，求解機構(gòu)中各個驅(qū)動副的輸入。對該并聯(lián)腿機構(gòu)而言，就是已知該并聯(lián)腿末端點O1相對固定坐標(biāo)系的位置P與姿態(tài)角（α，β，γ），求解并聯(lián)腿機構(gòu)中UPS支鏈中移動副的兩個輸入?yún)?shù)l2，l3[4]。

采用XYX歐拉角，設(shè)并聯(lián)腿機構(gòu)的運動坐標(biāo)系{1}相對于固定坐標(biāo)系{0}的位姿變換矩陣位，則為：

式中

其中，cα=cosα，sα=sinα。

給定機器人并聯(lián)腿機構(gòu)動桿末端相對于固定坐標(biāo)系的位姿矩陣為：

運動坐標(biāo)系中的點在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可由以下公式求得可得：

又因坐標(biāo)系{1}相對于坐標(biāo)系{0}的姿態(tài)是通過旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)，由此可以構(gòu)造得到：R1⊥R2，R2⊥l1，R2∥o， l1∥a，其中R1是U支鏈的第一個旋轉(zhuǎn)軸，R2是U支鏈的第二個旋轉(zhuǎn)軸，l1為U支鏈的方向向量，o為坐標(biāo)系{1}的Y向量，a為坐標(biāo)系{1}的Z向量。

由以上關(guān)系可得：sβsγ=0，γ=0，

化簡得：

故支鏈移動副輸入為：

因此，若給出機器人并聯(lián)腿機構(gòu)動桿末端點的位置坐標(biāo)和姿態(tài)角，即可求出并聯(lián)腿機構(gòu)各移動副的輸入。

3.3 位置正解

給定機構(gòu)的各輸入?yún)?shù)求解動平臺的位姿參數(shù)是并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)位置正解問題。采用數(shù)值法求解該機構(gòu)運動學(xué)正解，就是已知U支鏈移動副輸入l2，l3，求解動桿末端點O1相對固定坐標(biāo)系，的位置P與姿態(tài)角（α，β，γ）。運動坐標(biāo)系{1}相對于固定坐標(biāo)系{0}的位姿變換矩陣位為：

由運動學(xué)反解求解得到的關(guān)系可求得：

以上五個式子中，含有px，py，pz，α，β五個未知數(shù)，用最小二乘法可求其解，其目標(biāo)函數(shù)為：

即可求得其并聯(lián)腿機構(gòu)末端O1的位置坐標(biāo)和姿態(tài)角。

4 工作空間

4.1 工作空間分析

由（2-UPS+U）并聯(lián)腿機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點可知：工作空間主要由兩條UPS支鏈中移動副的桿長、三條支鏈的干涉情況、以及并聯(lián)腿機構(gòu)中虎克鉸鏈與球鉸鏈及轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角限制共同確定[5][6]。

（1）并聯(lián)腿機構(gòu)兩個UPS支鏈中連接桿具有長度限制，故各兩條支鏈的長度變化范圍為：

式（16）中，limin為UPS支鏈的最小長度；limax為UPS支鏈的最大長度。

（2）(2-UPS+U)并聯(lián)腿機構(gòu)中的球鉸鏈能夠?qū)崿F(xiàn)的轉(zhuǎn)角范圍存在一定的限制。q3為球鉸鏈座與動桿固聯(lián)的單位法向量，l3為UPS支鏈的方向向量，球鉸鏈的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角η3為：

若η3max為球鉸鏈所能達到的最大轉(zhuǎn)角，則球鉸鏈轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動條件為：

（3）并聯(lián)腿機構(gòu)中的虎克鉸鏈轉(zhuǎn)動時在一個倒三角錐內(nèi)任意擺動，ψmax為倒三角錐的錐頂角，由虎克鉸鏈結(jié)構(gòu)限制。因此，支鏈向量與倒三角錐軸線之間的夾角為ψi應(yīng)滿足：

（4）(2-UPS+U)并聯(lián)腿機構(gòu)各桿件選用均勻截面圓桿，因此，相鄰支鏈的桿件之間可能發(fā)生干涉，假定各桿件之間的最短距離為dij(i，j=1，2，3)且i ≠ j，d為桿件直徑，則桿件需滿足：

4.2 工作空間求解

并聯(lián)腿機構(gòu)的工作空間是指并聯(lián)腿機構(gòu)末端所有可以到達的點的集臺，即為O1點。采用數(shù)值法對該機構(gòu)進行定姿態(tài)工作空間分析，就是給并聯(lián)腿機構(gòu)末端的姿態(tài)方位角(α，β，γ)，求解滿足結(jié)構(gòu)約束的條件下參考點O1點位置坐標(biāo)的集合，即用極坐標(biāo)搜索法逐個搜索參考點能達到的所有空間點[7]。機構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 機構(gòu)參數(shù)

當(dāng)姿態(tài)角α=β=γ=0時，其工作空間邊界三維實體如圖2所示：由圖可見，該機器人腿部結(jié)構(gòu)的工作空間較大、連續(xù)性好、空間對稱性好。

5 結(jié)語

提出了一種新型的2自由度（2-UPS+U）并聯(lián)腿機構(gòu)模型。該機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，支鏈無耦合，剛度大，承載能力高，可用作機器人的腿部機構(gòu)。利用螺旋理論對該并聯(lián)腿機構(gòu)進行了運動學(xué)分析，計算出其自由度，推導(dǎo)出了該并聯(lián)腿機構(gòu)的位置反解方程和位置正解方程，并進行了工作空間分析，利用MatLab軟件繪制出了并聯(lián)腿機構(gòu)末端的工作空間三維圖，為后期并聯(lián)腿機構(gòu)及整個步行機器人的的運動規(guī)劃以及控制奠定了理論基礎(chǔ)。

圖2 并聯(lián)腿機構(gòu)工作空間