巧用數(shù)軸解決行程問(wèn)題

陳伯卿

第一次接觸數(shù)軸，知道了數(shù)軸的三個(gè)要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度；明白了數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系.有些題目只要畫出數(shù)軸就一目了然，這種解題方法就是數(shù)形結(jié)合.

問(wèn)題1 已知數(shù)軸上有順次三點(diǎn)A、B、C.其中A點(diǎn)坐標(biāo)為-20，C點(diǎn)坐標(biāo)為40，一只電子螞蟻甲從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向左移動(dòng).

（1）當(dāng)電子螞蟻甲走到BC的中點(diǎn)D處時(shí)，它離A、B兩處的距離之和是多少？

（2）這只電子螞蟻甲由D點(diǎn)走到BA的中點(diǎn)E處時(shí)，需要幾秒鐘？

初讀這個(gè)題目我覺(jué)得非常復(fù)雜，螞蟻的移動(dòng)方向是向左，又有線段的中點(diǎn)，腦袋都快炸了.但是我畫完數(shù)軸仔細(xì)一分析，這不就是一個(gè)行程問(wèn)題嘛！放在數(shù)軸的問(wèn)題背景下，無(wú)非就是增加了一個(gè)負(fù)方向而已，不妨用線段的長(zhǎng)度來(lái)表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.

解：（1）因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以DB=DC，DA+DB=DA+DC.因?yàn)锳C=[-20]+[40]=60，所以DA+DB=60，即電子螞蟻甲離A、B的距離之和是60.

（2）因?yàn)镋、D分別是AB、BC的中點(diǎn)，所以EB=[12]AB，BD=[12]BC，所以BD+EB=[12]（AB+BC）=30，30÷2=15（秒）.

問(wèn)題2 已知數(shù)軸有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，其中A點(diǎn)表示的數(shù)為20，B點(diǎn)表示的數(shù)為80，C點(diǎn)表示的數(shù)為90.點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿OC方向以1單位/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)在線段CO上向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P、Q分別運(yùn)動(dòng)到C、O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).

（1）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度為3單位/s，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)的時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相距70？

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AB上時(shí)，分別取OP和AB的中點(diǎn)E、F，試問(wèn)[OB-APEF]的值是否發(fā)生變化？若變化求范圍，若不變化求其值.

題（1）點(diǎn)P、Q相距70，有可能出現(xiàn)在相遇前或者相遇后，在上述行程問(wèn)題的基礎(chǔ)上，還需要進(jìn)行分類討論，情況更為復(fù)雜；（2）P的位置也可能出現(xiàn)在點(diǎn)F的兩側(cè)，要注意畫圖觀察是否有區(qū)別.

解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則t+3t=90±70，t=5或40.因?yàn)辄c(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q最多運(yùn)動(dòng)30s.當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)PQ=OP=30cm，之后點(diǎn)P再運(yùn)動(dòng)40s時(shí)PQ=OP=70，此時(shí)t=70s.故經(jīng)過(guò)5s或70sP、Q兩點(diǎn)相距70cm.

（2）如圖：

設(shè)OP=acm，點(diǎn)P在線段AB上，20≤a≤80，OB-AP=80-（a-20）=100-a，EF=OF-OE=（OA+[12]AB）-OE=（20+30）-[a2]=50-[a2]，所以[OB-APEF]=（100-a）÷（50-[a2]）=2.

數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法，廣泛應(yīng)用于“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，但這里的“形”不局限于幾何圖形，比如數(shù)軸，在這里就是有效工具.小作者將與之相關(guān)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題聯(lián)想到了行程問(wèn)題，然后給數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)線段賦值，直觀地闡明了題目中的數(shù)量關(guān)系，從而解決問(wèn)題.這種面對(duì)問(wèn)題無(wú)懼干擾、究其本質(zhì)的方法，值得同學(xué)們借鑒. （指導(dǎo)教師：黃荷燕）