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      高中數(shù)學(xué)排列組合問題的常見解法

      2018-10-20 10:29林萍
      關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)

      林萍

      [摘 要]排列組合是組合學(xué)最基本的概念,也是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)板塊之一. 雖然排列組合不是高中數(shù)學(xué)最難理解的知識(shí)板塊,但卻是高中數(shù)學(xué)最容易出錯(cuò)的板塊之一.想要簡單、準(zhǔn)確地解決排列組合問題,就要掌握排列組合問題的解題方法和技巧.高中數(shù)學(xué)排列組合問題的常見解法有“特殊元素特殊安排”法、捆綁法和畫圖法.

      [關(guān)鍵詞]排列組合問題;常見解法;高中數(shù)學(xué)

      [中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058(2018)20-0011-02

      排列組合是組合學(xué)最基本的概念,也是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)板塊之一.排列組合問題因題型多變,隱含條件復(fù)雜,導(dǎo)致學(xué)生在計(jì)算上容易出現(xiàn)偏誤.掌握有效的解題方法是學(xué)習(xí)排列組合的捷徑.本文主要?dú)w納總結(jié)高中數(shù)學(xué)排列組合問題的常見解法,以期能幫助學(xué)生有效解決排列組合問題.

      一、特殊元素特殊安排

      在高中數(shù)學(xué)排列組合題中,有一些較為特殊的隱含條件,它們構(gòu)成了特殊元素和特殊位置.在解題的過程中,應(yīng)挖掘和轉(zhuǎn)化隱含條件,優(yōu)先安排特殊元素和特殊位置,從而使題目化繁為簡.

      [例1]0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)?

      這道題看似容易,實(shí)際蘊(yùn)含了三個(gè)隱含條件,首先是“五位數(shù)”,也就是說我們只考慮從6個(gè)數(shù)中選擇5個(gè)數(shù)的情況,六位數(shù)、四位數(shù)都不在考慮的范圍內(nèi).其次是“沒有重復(fù)”,這意味著選擇的過程中可用的數(shù)是逐次遞減的,屬于組合問題.最后是“奇數(shù)”,這意味著個(gè)位數(shù)只能從1、3和5這三個(gè)數(shù)中進(jìn)行選擇.因此在解決這道題時(shí),首先個(gè)位的限制條件是最多的,因此優(yōu)先安排個(gè)位,那么個(gè)位只能從1、3、5三個(gè)數(shù)中任選一個(gè),那么就有C[13] 種情況;其次含有特殊位置的是首位,雖然首位沒有限定條件,但是由于題目說了必須是五位數(shù),因此首位不可以是0,故只有C[14] 種情況.在安排完特殊位置后,可以再來考慮中間沒有特殊要求的三位數(shù),中間三位數(shù)應(yīng)在剩下的4個(gè)數(shù)中選取3個(gè),同時(shí)是有順序的,因此需要用排列,共有A[34]種情況.因此這道題目的答案是C[14] C[13] A[34]=288(個(gè)).其實(shí)這道題還可以進(jìn)行延伸,如將題目結(jié)論改為“可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)?”或是“可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)?”,難度就大大增加了.因此在實(shí)際教學(xué)中教師若常常為學(xué)生示范例題,然后再通過改變條件讓學(xué)生進(jìn)行拓展訓(xùn)練,就能收到顯著的教學(xué)效果.

      二、利用“捆綁法”解決相鄰元素問題

      在排列組合題中,時(shí)常會(huì)出現(xiàn)“相鄰”這一條件,而“相鄰”這一條件不止涉及一個(gè)特殊元素或者位置,更多的時(shí)候會(huì)涉及兩個(gè)或者多個(gè)特殊元素或位置,運(yùn)用上文所闡述的解題方法并不實(shí)用.因此在實(shí)際教學(xué)中可以運(yùn)用“捆綁法”來解決相鄰元素的問題.

      [例2]7個(gè)人站成一排,要求甲、乙兩人相鄰?fù)瑫r(shí)丙、丁兩人也相鄰,問共有多少種不同的排法?

      在解決這類問題時(shí),可以運(yùn)用捆綁法.首先由于甲和乙必須相鄰,丙和丁必須相鄰,因此我們可以把甲和乙看作一個(gè)整體,丙和丁看作一個(gè)整體,在滿足甲、乙相鄰、丙丁相鄰的條件下一共有多少種排法.這時(shí)甲和乙看作一個(gè)整體,丙和丁看作一個(gè)整體,相當(dāng)于一共就5個(gè)人,那么排列方式就是A[55].但是我們不能忽略雖然把甲和乙看作一個(gè)整體,丙和丁看作一個(gè)整體,但是這兩個(gè)捆綁元素內(nèi)部仍可以進(jìn)行自由排列,因此這道題最后的答案是A[55] A[22] A[22]=480(種).在解決這類題目時(shí),首先需要找到特殊元素和特殊位置,然后用捆綁法將它們視為一個(gè)整體,最后進(jìn)行排列,排列完后一定不能忘記捆綁組合內(nèi)部的排列方式.其實(shí)這道題目還可以進(jìn)行變式,就是將“相鄰問題”轉(zhuǎn)化為“不相鄰問題”,如將題目中的“甲、乙相鄰”改為“甲、乙不相鄰”,那么這道題就有兩種解題方式,一是算出總排列種類再減去相鄰的種類就是不相鄰的種類;二是將“捆綁”變?yōu)椤安蹇铡?,可以把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì),再把不相鄰的元素插入兩者之間.當(dāng)然這道題目運(yùn)用相減的方式較為簡單,但是如果題目再進(jìn)行變化,不相鄰的元素增多,那么只有用“插空”的方法才是最簡便的.

      三、應(yīng)用“畫圖法”正確理解已知條件

      在排列組合題目中,有一類題目看似與常見的題目相同,但是如果按照常見題目的解法進(jìn)行計(jì)算就會(huì)得到錯(cuò)誤的答案.因此在實(shí)際計(jì)算時(shí)當(dāng)發(fā)現(xiàn)條件與常見題目有偏差時(shí),可以采用畫圖的方式,更加生動(dòng)直觀地展示出題目的含義.

      [例3]8個(gè)人在8人席的圓桌上就座,問共有多少種坐法?

      如果這道題不進(jìn)行畫圖,認(rèn)為與普通的直線排列是一樣的,按照常規(guī)的算法計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.其實(shí)由于圍成了圓形,所以就沒有了首尾之分.因此在計(jì)算這道題時(shí)可以采用畫圖的方法將具體內(nèi)容展示出來.如下圖,將8人用A、B、C、D、E、F、G、H分別表示出來,然后假設(shè)從A的位置進(jìn)行平面展開,那么展開后形成的圖像A在首尾兩處都存在,也就是沒有首尾之分.因此這道題的答案不是“8!”,而是“7!”.因此通過畫圖可以幫助學(xué)生梳理知識(shí):一般而言,n個(gè)不同的元素作為圓形進(jìn)行排列,共有(n-1)種排列方式.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作為圓形排列,則共有[1n]A[mn] 種方式.

      四、合理分類與分步解決問題

      分步與分類是解決排列組合問題的兩種不同的計(jì)算方式.我們都知道,分步對應(yīng)著乘法原理,分類對應(yīng)著加法原理.在排列組合題目中,有的需要運(yùn)用加法原理,有的需要運(yùn)用乘法原理,有的需要兩種原理搭配使用.因此在實(shí)際教學(xué)中需要合理運(yùn)用分類與分步對應(yīng)的原理解決相應(yīng)問題.

      [例4]在一次聯(lián)歡會(huì)上一共有10名演員,其中8人會(huì)唱歌,5人會(huì)跳舞.現(xiàn)在需要出演一個(gè)2人唱歌,2人跳舞的節(jié)目,請問有多少種選法?

      其實(shí)這道題就是含有約束條件的排列組合問題.通過已知條件,我們知道10名演員中8人會(huì)唱歌,5人會(huì)跳舞,那就說明有(8+5)-10=3名演員,既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞.因此可以重新梳理一下題意,就變成了10名演員中,2人只會(huì)跳舞,5人只會(huì)唱歌,3人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞.因此這時(shí)候可以按照元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按照實(shí)踐發(fā)生的過程分步.其實(shí)通過條件發(fā)現(xiàn)一共有三大類,一類是會(huì)唱歌的5人中沒有人選上,第二類是會(huì)唱歌的人中有一人選上,第三類是會(huì)唱歌的人中有兩人選上,這三類數(shù)學(xué)分類,運(yùn)用加法原則.因此第一類有C[23] C[23]種方式,第二類有C[15] C[13] C[24]種方式,第三類有C[25] C[25]種方式.而最后的結(jié)果就是將這三類相加,共有C[23] C[23]+C[15] C[13] C[24]+C[25] C[25]種方式.因此在解決帶有約束條件的排列組合問題時(shí),我們可以明確隱含條件中的層級(jí)關(guān)系,運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行分類或者分步,從而讓解題水到渠成.類似這樣的題目還有很多,看似復(fù)雜無從下手,但是只要找對了方法,解題便如抽絲剝繭般容易.

      綜上所述,排列組合雖然只是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),但是排列組合的題型千變?nèi)f化,解題方法也是各有千秋.本文只是從上述幾個(gè)方面對排列組合問題的解題技巧進(jìn)行了分析.排列組合是高考數(shù)學(xué)的考點(diǎn)之一,雖然難度不大,但是容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的現(xiàn)象.因此作為教師,需要不斷研討,不斷總結(jié),歸納出排列組合問題的解題方法,為學(xué)生引導(dǎo)靈活的思維和便捷的解題方式.同時(shí),希望本文可以起到拋磚引玉的效果,通過與廣大教育工作者的交流,推進(jìn)高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)的精進(jìn).

      [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

      [1] 于水青.排列組合問題的求解方法與技巧[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014(S2):15-17.

      [2] 湯蕾.能力在有效教學(xué)中升華:淺談新課改下高中數(shù)學(xué)有效性教學(xué)中能力素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].文理導(dǎo)航(下旬), 2011(11):9.

      [3] 劉明君.高中生排列組合認(rèn)知水平研究[D].蘭州:西北師范大學(xué),2016.

      [4] 石偉娜.高二理科生運(yùn)算能力的調(diào)查研究:以圓錐曲線教學(xué)為例[D].石家莊:河北師范大學(xué),2016.

      (責(zé)任編輯 黃春香)

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