侯香妮

摘 要： 本實(shí)驗(yàn)所建立的非線性電路包括有源非線性負(fù)阻、LC振蕩器和RC移相器三部分；采用物理實(shí)驗(yàn)方法研究LC振蕩器產(chǎn)生的正弦波與經(jīng)過RC移相器移相的正弦波合成的相圖（李薩如圖），觀測振動周期發(fā)生的分岔及混沌現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞： 電子元件；混沌實(shí)驗(yàn)；非線性負(fù)阻

【中圖分類號】 0415.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A【文章編號】 2236-1879（2018）14-0196-02

引言

混沌實(shí)驗(yàn)研究起源于1963年美國氣象學(xué)家洛倫茨（E.lorenz）研究天氣預(yù)報(bào)時(shí)用到的三個(gè)動力學(xué)方程，后來他在《確定論非周期流》一文中，給出了描述大氣湍流的洛倫茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效應(yīng)”，從而揭開了對非線性科學(xué)深入研究的序幕?；煦鐏碜苑蔷€性，是非線性系統(tǒng)中存在的一種普遍現(xiàn)象。無論是復(fù)雜系統(tǒng)，如氣象系統(tǒng)、太陽系、還是簡單系統(tǒng)，如鐘擺、滴水龍頭等，皆因存在著內(nèi)在隨機(jī)性而出現(xiàn)類似無軌、但實(shí)際是非周期有序運(yùn)動，即混沌現(xiàn)象。

由于電學(xué)量（如電壓、電流）易于觀察和顯示，因此非線性電路逐漸成為混沌及混沌同步應(yīng)用的重要途徑，其中最典型的電路是美國加州大學(xué)伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏電路（Chuas Circuit）。就實(shí)驗(yàn)而言，可用示波器觀察到電路混沌產(chǎn)生的全過程，并能得到雙渦卷混沌吸引子。

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

觀測振動周期發(fā)生的分岔及混沌現(xiàn)象；測量非線性單元電路的電流—電壓特性；了解非線性電路混沌現(xiàn)象的本質(zhì)；學(xué)會自己制作和測量一個(gè)使用帶鐵磁材料介質(zhì)的電感器以及測量非線性器件伏安特性的方法。

二、實(shí)驗(yàn)儀器

非線性電路混沌實(shí)驗(yàn)儀由四位半電壓表（量程0～20，分辨率1）；-15～0～+15穩(wěn)壓電源和非線性電路混沌實(shí)驗(yàn)線路板三部分組成。觀察倍周期分岔和混沌實(shí)驗(yàn)線路板三部分組成。觀察倍周期分岔和混沌現(xiàn)象用雙蹤示波器。

'FD-NCE-II非線性電路混沌實(shí)驗(yàn)儀，YB4325雙蹤示波器，電阻箱等。

三、實(shí)驗(yàn)原理

利用李雅普諾夫指數(shù)λ，相空間內(nèi)初始時(shí)刻的兩點(diǎn)距離將隨時(shí)間（迭代次數(shù)）作指數(shù)分離：

在一維映射中只有一個(gè)λ值，而在多位相空間情況下一般就有多個(gè)λ，而且沿著相空間的不同方向，λ值一般也不同。

設(shè)ε0為多維相空間中兩點(diǎn)的初始距離，經(jīng)過n次迭代以后兩點(diǎn)間的距離為：

式中指數(shù)λi可正可負(fù)，當(dāng)其為正時(shí)表示沿該方向擴(kuò)展，為負(fù)數(shù)時(shí)表示沿

該方向收縮。在經(jīng)過一段時(shí)間（數(shù)次迭代）以后，兩個(gè)不同李雅普諾夫指數(shù)將使相空間中原來的圓演變?yōu)闄E圓。

穩(wěn)定體系的相軌線相應(yīng)于趨向某個(gè)平衡點(diǎn)，如果出現(xiàn)越來越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)只要有一個(gè)正直就會出現(xiàn)混沌運(yùn)動。

判斷一個(gè)非線性體統(tǒng)是否存在混沌運(yùn)動時(shí)，需要檢查它的李雅普諾夫指數(shù)λ是否為正值。

在高維相空間中大于零的李雅普諾夫指數(shù)可能不止一個(gè)，這樣體系的運(yùn)動將更為復(fù)雜。人們稱高維相空間中有多個(gè)正值指數(shù)的混沌為超混沌。

1.非線性電路與非線性動力學(xué)。

實(shí)驗(yàn)電路，只有一個(gè)非線性元件，它是一個(gè)有源非線性負(fù)阻器件。電感器L和電容C2組成一個(gè)損耗可以忽略的諧振回路；可變電阻V和電容器C1串聯(lián)將振蕩器產(chǎn)生的正弦信號移相輸出。本實(shí)驗(yàn)中所用的非線性元件是一個(gè)三段分段線性元件。圖2所示的是該電阻的伏安特性曲線，從特性曲線顯示中加在此非線性元件上電壓與通過它的電流極性是相反的。由于加在此元件上的電壓增加時(shí)，通過它的電流卻減小，因而將此元件稱為非線性負(fù)阻元件。

2.有源非線性負(fù)阻元件的實(shí)現(xiàn)。

有源非線性負(fù)阻元件實(shí)現(xiàn)的方法有多種，這里使用的是一種較簡單的電路，采用兩個(gè)運(yùn)算放大器（一個(gè)雙運(yùn)放TL082）和六個(gè)配置電阻來實(shí)現(xiàn)其電路如圖4所示，實(shí)驗(yàn)所要研究的是該非線性元件對整個(gè)電路的影響，而非線性負(fù)阻元件的作用是使振動周期產(chǎn)生分岔和混沌等一系列非線性現(xiàn)象。

四、實(shí)驗(yàn)步驟

測量一個(gè)鐵氧體電感器的電感量，觀測倍周期分岔和混沌現(xiàn)象。

1.電感器由實(shí)驗(yàn)者用漆包銅線手工纏繞。可在線框上繞70-75圈，然后裝上鐵氧體磁心，并把引出漆包線端點(diǎn)上的絕緣漆用刀片刮去，使兩端點(diǎn)導(dǎo)電性能良好。也可以用儀器附帶的鐵氧體電感器。

2.串聯(lián)諧振法測電感器電感量。把自制電感器、電阻箱（取30.00Ω）串聯(lián)，并與低頻信號發(fā)生器連接。用示波器測量電阻兩端的電壓，調(diào)節(jié)低頻信號發(fā)生器正弦波頻率，使電阻兩端電壓達(dá)到最大值。同時(shí)測量通過電阻的電流值I。要求測量通過電阻的電流值I=5mA（有效值）時(shí)電感器電感量。

3.把自制電感器接入電路中，調(diào)節(jié)1+2阻值。在示波器CH1-地和CH2-地調(diào)節(jié)1+2電阻值由大到小時(shí)，描繪相圖周期的分岔及混沌現(xiàn)象。將一個(gè)環(huán)形相圖的周期定為P，那么，要求觀測并記錄2、4、陣發(fā)混沌、3、單吸引子（混沌）、雙吸引子（混沌）共六個(gè)相圖和相應(yīng)的CH1-地和CH2-地兩個(gè)輸出波形。

五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

混沌現(xiàn)象的本質(zhì)：

混沌是一種確定系統(tǒng)中出現(xiàn)的貌似不規(guī)則的有序運(yùn)動。這種有序是亂中有序，是有序與無序的結(jié)合，是非線性序———混沌序。變是混沌的本性。分岔是進(jìn)入混沌的途徑。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)在不斷變化。當(dāng)控制參量λ（λ=0對應(yīng)于平衡態(tài)）由小到大變化時(shí)，系統(tǒng)由穩(wěn)定有序逐漸失穩(wěn)，開始分岔，隨著分岔按幾何級數(shù)的不斷增長，系統(tǒng)由有序到無序。當(dāng)控制參量達(dá)到一個(gè)臨界值時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌區(qū)，當(dāng)再增大時(shí)又會遇到一個(gè)個(gè)的周期窗口，一個(gè)個(gè)混沌區(qū)……當(dāng)控制參量不斷減少時(shí)系統(tǒng)又會由混沌逐漸向有序演化?，F(xiàn)已知道在倍周期分岔進(jìn)入混沌的過程中存在一個(gè)普適常數(shù)———費(fèi)根鮑姆常數(shù)（Feigenbaum contant）， 即

上式中λn是第n次分岔出現(xiàn)的參數(shù)值，δ是相繼分岔的間距之比的極限，是一個(gè)類似π、e和普朗克常數(shù)的無理數(shù)。這是美國物理學(xué)家費(fèi)根鮑姆利用計(jì)算機(jī)在1978年計(jì)算發(fā)現(xiàn)的?，F(xiàn)已有數(shù)學(xué)家用泛函方法得到證明。費(fèi)根鮑姆常數(shù)的存在反映了混沌演化過程中的有序性。

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