基于改進(jìn)空間平滑算法的復(fù)雜多信號測向技術(shù)研究

林 彬

（中國船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所 揚(yáng)州 225001）

1 引言

空間譜估計(jì)是陣列信號處理的重要研究方向之一，其以空間多傳感器陣列為基礎(chǔ)，通過先進(jìn)的數(shù)字信號處理手段對空間信號的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。由于其優(yōu)越的波達(dá)角估計(jì)（DOA）性能，因而在雷達(dá)、電子偵察、聲納、通信等相關(guān)領(lǐng)域中都有著廣泛應(yīng)用［1～4］。

到目前為止，涌現(xiàn)出大量的DOA估計(jì)算法，如多重信號分類（MUSIC）法［5～6］、信號參數(shù)估計(jì)方法（ESPRIT）［7-9］等。這些算法在DOA 估計(jì)上有著非常高的測向分辨率，但這些算法都是建立在信號不相干假設(shè)的基礎(chǔ)上，因此無法適用于相干的信號環(huán)境。而對于低角測向跟蹤的艦載或地基雷達(dá)/電子偵察設(shè)備，經(jīng)常會面臨來自多路徑效應(yīng)帶來的干擾信號，這些多徑干擾信號與直達(dá)回波是相干的。盡管目前有人提出基于空間平滑算法的解決辦法，但是該算法只適用于高斯白噪聲環(huán)境，但在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中，這樣的假設(shè)并不總是成立的，大量色噪聲的存在會使得該算法的性能急劇下降。此外，該算法要完成對N個(gè)相干信號源的測向，至少需要2N個(gè)陣元，并且在低信噪比條件下該算法的性能較差［10～12］。

針對空間平滑算法無法在有限陣元數(shù)目下實(shí)現(xiàn)多相干信號源的測向等問題，本文提出一種基于改進(jìn)的空間平滑算法，該算法通過在前后向平滑算法中引入傳播算子（PM）算法，一方面可以在色噪聲環(huán)境獲得優(yōu)異的測向性能，另外該算法可以降低對陣元數(shù)目的要求，并且還適用于非相干、相干和混合信號源等的復(fù)雜多信號環(huán)境。

2 空間平滑MUSIC算法的基本理論

MUSIC是最經(jīng)典的超分辨譜估計(jì)算法，它是首先對陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，把對應(yīng)的特征矢量分成信號子空間和噪聲子空間，利用兩個(gè)子空間的正交性，對信號進(jìn)行譜估計(jì)。

對于M元各向同性均勻線陣，陣源間距為d，當(dāng)位于θk(k=1,2,...P)處有P個(gè)窄帶點(diǎn)源。則各陣列接收的快拍數(shù)據(jù)為

式中 X(t)為 M×1快拍數(shù)據(jù)矢量，X(t)=[x1(t),......xM(t)]T。 N(t)為M×1陣列陣元噪聲矢量，且是與信號源不相關(guān)的高斯白噪聲，均值為 0，方差為，N(t)=[n1(t),......nM(t)]T。 S(t)為輸入信號矢量S(t)=[s1(t),......sM(t)]T。 A(θ)為陣列的導(dǎo)向矢量矩陣，為

當(dāng)空間信源互不相干時(shí)，對協(xié)方差矩陣R進(jìn)行特征分解，構(gòu)造信號子空間和噪聲子空間，令其特征值分解

由于MUSIC算法是基于信號不相干的前提，因此無法完成對相干信號的DOA估計(jì)，為了解決這一難題，可以先通過空間平滑算法對信號進(jìn)行去相干處理。具體為將天線陣列分成相互交錯(cuò)的P個(gè)子陣，每個(gè)子陣包含的陣元數(shù)為m個(gè)，即滿足M＝p+m-1。信號源數(shù)為N。

圖1 空間平滑算法的原理圖

如圖1所示，取第一個(gè)子陣（最左邊的子陣）為參考子陣，那么各個(gè)子陣的輸出矢量分別為

對于第k個(gè)子陣有：

其中：

那么該子陣的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為

其中，Am是一個(gè)m×p的參考子陣（通常取第一個(gè)子陣）的導(dǎo)向矢量矩陣。

Rs為信號的協(xié)方差矩陣，Rs=E{ssH}。

前向平滑修正的協(xié)方差矩陣為

同理可得后向空間平滑修正的數(shù)據(jù)矩陣Rb，取前向平滑和后向平滑數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的平均，即前后向空間平滑的數(shù)據(jù)矩陣，即

圖2為天線陣元為8，相干信號源數(shù)目分別為3和5下，經(jīng)典MUSIC和前后向空間平滑MUSIC算法的DOA估計(jì)功率譜。

圖2 DOA估計(jì)的功率譜

由圖2可以看出，在相干信號源的情況下，經(jīng)典MUSIC無法形成正確的功率峰，在相干信號源數(shù)目為3時(shí)，前后向空間平滑MUSIC算法能給出了精確的DOA估計(jì)，但當(dāng)相干信號源為5時(shí)，前后向空間平滑MUSIC算法DOA估計(jì)的性能急劇下降，估計(jì)的角度只有兩個(gè)正確，其他均出現(xiàn)偏差，這是由于該算法要完成對N個(gè)相干信號源的測向，至少需要2N個(gè)陣元。

3 改進(jìn)空間平滑MUSIC算法的基本理論

在色噪聲環(huán)境下，式（1）的協(xié)方差矩陣可以寫為

式中Q為噪聲的協(xié)方差矩陣，Rs為信源的協(xié)方差矩陣。

陣列接收到的所有信號協(xié)方差矩陣的估計(jì)值為

當(dāng)R滿足正定矩陣矩陣，也即式（14）成立：

式中J為變換矩陣，它的反對角線對應(yīng)數(shù)值為1，其他數(shù)值為0，*為復(fù)共軛。

在這里我們?nèi)匀谎赜们昂笙蚩臻g平滑算法，這樣子處理主要是將快拍數(shù)據(jù)量加倍和去相關(guān)，此時(shí)前后向空間平滑處理后的協(xié)方差矩陣為

對于協(xié)方差為對稱Toeplitz矩陣的噪聲，前后向協(xié)方差矩陣RFB與后向協(xié)方差矩陣的厄米矩陣之差為

將式（12）、式（15）代入上式整理可得：

引入傳播算子（PM）算法，可以將式（17）寫為以下形式：

其中G和H分別代表ΔR的前K和后M-K列：

因此存在線性算子F使得下式成立：

因此，有：

其中，G#為廣義逆矩陣，G#=(GHG)-1GH。

此時(shí)存在M×（M-K）矩陣E：

使得

其中I(M-K)為M-K維單位矩陣。

陣列的導(dǎo)向矢量矩陣可以寫成：

最終可以得到信號的功率譜為［14～15］

上式中E不是在傳統(tǒng)的子空間方法中使用的噪聲子空間的任何特征向量，因此，所提出的方法不需要任何特征分解，其復(fù)雜度小于子空間方法。

4 改進(jìn)空間平滑MUSIC算法的數(shù)值仿真

為了對比分析改進(jìn)空間平滑MUSIC算法和前后向空間平滑MUSIC算法的性能，下面對天線陣元為8，信號源數(shù)目為6，針對色噪聲環(huán)境下全為非相干信號、全為相干信號、非相干和相干混合信號等三種情況進(jìn)行仿真，其中6個(gè)信號源的空間位置分別為［20°、30°、40°、50°、60°、70°］。

1）非相干信號源的仿真

圖3為6個(gè)信號源相互獨(dú)立，非相干情況下，信噪比分別為-10dB和15dB下DOA估計(jì)的功率譜。

圖3 非相干信號源下的DOA估計(jì)功率譜

由圖可以看出，改進(jìn)空間平滑MUSIC算法對六個(gè)非相干信號源都能給出了精確的DOA估計(jì)，在 20°、30°、40°、50°、60°和70°上形成六個(gè)尖銳的峰，并且在信噪比較低時(shí)也能獲得非常好的檢測性能。而前后向空間平滑MUSIC算法只能在信噪比為15dB時(shí)才能檢測六個(gè)信號源，譜峰不夠尖銳，當(dāng)信噪比降低到-10dB時(shí)，該算法無法檢測到目標(biāo)正確位置，這是由于低信噪比和陣列數(shù)量不足導(dǎo)致的。

2）相干信號源的仿真

圖4為6個(gè)信號源為相干信號源，這種情形在多徑反射時(shí)經(jīng)常存在，其信噪比分別為-10dB和15dB下DOA估計(jì)的功率譜。

圖4 相干信號源下的DOA估計(jì)功率譜

由圖可以看出，改進(jìn)空間平滑MUSIC算法對六個(gè)相干信號源都能給出了精確的DOA估計(jì)，在20°、30°、40°、50°、60°和70°上形成六個(gè)尖銳的峰，并且在信噪比較低時(shí)也能獲得非常好的檢測性能。而前后向空間平滑MUSIC算法只能在信噪比為15dB時(shí)才能檢測六個(gè)信號源，譜峰不夠尖銳，當(dāng)信噪比降低到-10dB時(shí)，該算法無法檢測到信號源正確位置，這是由于低信噪比和陣列數(shù)量不足導(dǎo)致的。

3）混合信號源的仿真

圖5為6個(gè)信號源為混合信號源，其中2、3、4、5為相干信號源，1和6與之不相干且互不相干的信號源，為這種情形在實(shí)際環(huán)境中也經(jīng)常存在，其信噪比分別為-10dB和15dB下DOA估計(jì)的功率譜。

由圖可以看出，改進(jìn)空間平滑MUSIC算法對六個(gè)混合信號源都能給出了精確的DOA估計(jì)，在20°、30°、40°、50°、60°和70°上形成六個(gè)尖銳的峰，并且在信噪比較低時(shí)也能獲得非常好的檢測性能。而前后向空間平滑MUSIC算法在混合信號源的情況下，在信噪比為15dB時(shí)，也無法形成正確的功率峰，即在混合信號源下該算法無法檢測到目標(biāo)正確位置。

圖5 相干信號源下的DOA估計(jì)功率譜

5 結(jié)語

本文針對空間平滑算法無法在有限陣元數(shù)目下實(shí)現(xiàn)多相干信號源的測向等問題，提出一種基于PM的改進(jìn)空間平滑MUSIC算法，該算法降低DOA估計(jì)對陣元數(shù)目的依賴，仿真結(jié)果表明該改進(jìn)算法可以適用于非相干、相干和混合信號源等的復(fù)雜多信號環(huán)境。