焦 健，吳 迎，于開平

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

高分辨率對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星在諸多民用及軍事領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，對(duì)國(guó)家安全具有重大的戰(zhàn)略意義，也是我國(guó)衛(wèi)星工程發(fā)展的重要方向，而制約有效載荷分辨率提高的重要因素之一就是衛(wèi)星振動(dòng)[1]。因此，為獲得高分辨率所需的極端安靜的環(huán)境，必須對(duì)振動(dòng)進(jìn)行控制[2]。

針對(duì)振動(dòng)控制提出的各種方案中，Stewart并聯(lián)平臺(tái)[3]，作為目前最典型、應(yīng)用最廣并且隔振效果相對(duì)最好的并聯(lián)隔振機(jī)構(gòu)，具有能夠?qū)崿F(xiàn)多自由度隔振，且承載能力高、剛度大、在無(wú)外界能源輸入時(shí)可以保持穩(wěn)定以及對(duì)操作的誤差不敏感等顯著優(yōu)勢(shì)，目前已經(jīng)成為一種常用的平臺(tái)設(shè)計(jì)方案[4–11]。但由于其動(dòng)力學(xué)模型復(fù)雜且運(yùn)動(dòng)學(xué)正解較難得到，使其理論結(jié)果難以在實(shí)際工程中廣泛應(yīng)用。

隨著虛擬樣機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，聯(lián)合仿真成為了目前機(jī)電一體化研究中的熱門方法之一。同傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)方法相比，其優(yōu)勢(shì)在于不必消耗大量的人力物力財(cái)力[12]，可以大大減少研發(fā)成本[13]，縮短設(shè)計(jì)周期，提高設(shè)計(jì)質(zhì)量，尤其是對(duì)于復(fù)雜的機(jī)電控制系統(tǒng)而言其優(yōu)勢(shì)更加明顯。

本文提出一種Stewart并聯(lián)平臺(tái)構(gòu)型，并對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)模型的建立，推導(dǎo)出了其最終的動(dòng)力學(xué)方程的矩陣表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上通過(guò)ADAMS機(jī)械動(dòng)力學(xué)分析軟件對(duì)其進(jìn)行虛擬樣機(jī)模型的建立，然后將建立的輸入與輸出變化量導(dǎo)入到MATLAB/Simulink中，并在Simulink中建立了控制系統(tǒng)模型，最終實(shí)現(xiàn)Stewart并聯(lián)平臺(tái)的振動(dòng)控制聯(lián)合仿真。結(jié)果表明所建動(dòng)力學(xué)模型準(zhǔn)確，并且Stewart并聯(lián)平臺(tái)具有良好的隔振性能。研究成果對(duì)于Stewart并聯(lián)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及實(shí)際的物理樣機(jī)的制造具有理論指導(dǎo)意義，并為調(diào)試合理的控制算法提供了便利的方法。

1 Stewart平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程

Stewart平臺(tái)幾何構(gòu)型是由基礎(chǔ)平臺(tái)、載荷和6個(gè)連接基礎(chǔ)平臺(tái)和載荷的可伸縮的支腿組成，如圖1所示。

圖1 平臺(tái)的模型

本文假設(shè)所有物體均是剛性的，并且所有支腿沒有差異性。為了描述Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，在此引入6組坐標(biāo)系。分別是慣性坐標(biāo)系O；局部坐標(biāo)系P和B以及支腿上3個(gè)局部坐標(biāo)系。其中，P和B的原點(diǎn)分別位于載荷和基礎(chǔ)平臺(tái)的幾何中心，坐標(biāo)系O、P和B的坐標(biāo)軸相互平行。因此，P和B到O的變換矩陣為

支腿的計(jì)算示意圖如圖2所示。每條支腿是由上半部分si、下半部分ci和電磁作動(dòng)器組成。

支腿向量的表達(dá)式為

支腿長(zhǎng)度可表示為

圖2 支腿的計(jì)算示意圖

因此支腿的單位向量表示為

通過(guò)對(duì)支腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可以得到上半部分si和下半部分ci質(zhì)心處的速度和加速度表達(dá)式為

再求出其偏速度和偏角速度，即可通過(guò)Kane方程[14]來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，最終的矩陣表達(dá)式為[15]

2 ADAMS虛擬樣機(jī)模型

Stewart并聯(lián)平臺(tái)的虛擬樣機(jī)模型包括1個(gè)基礎(chǔ)平臺(tái)，6條上半支腿，6條下半支腿和1個(gè)載荷圓板；連接鉸鏈包括6個(gè)移動(dòng)副和12個(gè)球鉸副。圖3是根據(jù)Stewart并聯(lián)平臺(tái)幾何尺寸參數(shù)在ADAMS中建立的虛擬樣機(jī)模型。

ADAMS與MATLAB/Simulink之間的數(shù)據(jù)交換是通過(guò)狀態(tài)變量來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而非設(shè)計(jì)變量。在計(jì)算過(guò)程中，狀態(tài)變量是一個(gè)數(shù)組，包含一系列數(shù)值。而設(shè)計(jì)變量不能保存變值，只是一個(gè)常值。在定義輸入量和輸出量之前，需要先定義相應(yīng)的狀態(tài)變量。

用于輸入和輸出的狀態(tài)變量一般是系統(tǒng)模型元素的函數(shù)，其中輸入變量是系統(tǒng)被控制的量，而輸出變量是系統(tǒng)輸入到Simulink中的變量，它的值經(jīng)過(guò)預(yù)先設(shè)計(jì)好的控制方案后，返回到輸入變量，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的交換從而達(dá)到聯(lián)合仿真的效果[16]。針對(duì)本文中的Stewart并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)，以6條上支腿質(zhì)心處的加速度響應(yīng)作為輸出變量，以施加在6個(gè)支腿移動(dòng)副上的驅(qū)動(dòng)力（模擬電磁作動(dòng)器的出力）作為輸入變量。然后通過(guò)ADAMS/Control接口與MATLAB/Simulink進(jìn)行連接，如圖4所示。

表1 動(dòng)力學(xué)模型的參數(shù)

圖3 Stewart平臺(tái)虛擬樣機(jī)

在MATLAB/Simulink中生成模塊文件，如圖5所示。

3 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)的準(zhǔn)確性，把在ADAMS中建立的虛擬樣機(jī)模型和試驗(yàn)樣機(jī)模型分別進(jìn)行了模態(tài)計(jì)算，并對(duì)比分析兩者的計(jì)算結(jié)果。

ADAMS計(jì)算得到的模態(tài)分析結(jié)果如圖3所示；另外根據(jù)模型參數(shù)建立了Stewart平臺(tái)的實(shí)物樣機(jī)，如圖6所示。

并進(jìn)行了模態(tài)試驗(yàn)。將兩者的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行整理得到表2。

圖4 ADAMS/Control接口

圖5 ADAMS_sub模塊

圖6 平臺(tái)樣機(jī)實(shí)物圖

表2 固有頻率對(duì)比/Hz

從表中可以看出兩者的計(jì)算結(jié)果基本一致，誤差很小，因此可以證明所建立的仿真模型是正確的。

4 控制系統(tǒng)

本文采用經(jīng)典的PID控制方法對(duì)Stewart平臺(tái)進(jìn)行聯(lián)合仿真驗(yàn)證，通過(guò)計(jì)算載荷的減振效果來(lái)分析控制算法對(duì)于平臺(tái)模型的有效性。

PID控制器，由比例單元P、積分單元I和微分單元D組成。通過(guò)Kp，Ki和Kd三個(gè)參數(shù)設(shè)定。PID控制器主要適用于基本線性和動(dòng)態(tài)特性不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)。由于其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便的優(yōu)點(diǎn)，已成為工程實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的控制規(guī)律[17]．Stewart并聯(lián)平臺(tái)中PID控制系統(tǒng)Simulink模型的原理如圖7所示。

5 Stewart并聯(lián)平臺(tái)聯(lián)合仿真及試驗(yàn)

這部分將對(duì)Stewart并聯(lián)平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)的仿真分析，模型即為之前建立的動(dòng)力學(xué)模型，在基礎(chǔ)平臺(tái)的質(zhì)心處施加一個(gè)加速度幅值恒為1 m/s2、頻率帶為5 Hz～30 Hz的正弦掃頻信號(hào)，方向沿平臺(tái)的高度方向，即垂直于基礎(chǔ)平臺(tái)和載荷的方向，定義為Z方向，并采用對(duì)數(shù)掃頻的方式。仿真計(jì)算載荷質(zhì)心處Z方向的加速度響應(yīng)，因?yàn)槠渌麅蓚€(gè)方向X、Y方向不與Z方向耦合[18]，因此加速度響應(yīng)幾乎為零。

圖7 PID控制系統(tǒng)的Simulink流程圖

圖8 載荷加速度時(shí)域響應(yīng)

分別進(jìn)行了2組仿真計(jì)算，分別是開環(huán)無(wú)控和PID控制的情況下，時(shí)域仿真結(jié)果如圖8所示，頻域仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 載荷加速度頻域響應(yīng)

由時(shí)域仿真曲線可以看出，控制算法能顯著地降低載荷質(zhì)心處的Z方向加速度響應(yīng)，從開環(huán)時(shí)的7.892 m/s2降低到1 m/s2左右，降幅大約為18 dB。從頻域響應(yīng)曲線上可以得知，開環(huán)情況下響應(yīng)信號(hào)主要集中在10 Hz左右的頻帶內(nèi)，這和之前得到的系統(tǒng)固有頻率是吻合的。在PID控制情況下，響應(yīng)幅值在10 Hz頻帶內(nèi)較開環(huán)時(shí)有大幅度的降低，在20 Hz處稍有增加，這是引入控制系統(tǒng)導(dǎo)致的。仿真結(jié)果證明了針對(duì)本文提出的Stewart平臺(tái)所設(shè)計(jì)的PID控制算法的有效性。

此外還進(jìn)行了試驗(yàn)的驗(yàn)證，圖10所示即是控制前后載荷加速度響應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果曲線。

從試驗(yàn)結(jié)果可以看出，在開環(huán)情況下響應(yīng)峰值為8.141 m/s2，在PID控制后響應(yīng)峰值降為3.282 m/s2，降幅達(dá)7.9 dB，減振效果明顯，說(shuō)明Stewart主動(dòng)控制并聯(lián)平臺(tái)對(duì)于振動(dòng)抑制的有效性。

圖10 試驗(yàn)結(jié)果

6 結(jié)語(yǔ)

本文利用ADAMS軟件建立了Stewart并聯(lián)平臺(tái)的虛擬樣機(jī)模型，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。之后在MATLAB/Simulink環(huán)境下建立了控制系統(tǒng)模型，最終通過(guò)二者的接口實(shí)現(xiàn)了交互式聯(lián)合仿真。仿真結(jié)果表明，Stewart并聯(lián)平臺(tái)對(duì)于振動(dòng)的抑制作用效果明顯。

通過(guò)這種聯(lián)合仿真的方法，可以方便地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化以及性能的預(yù)測(cè)，不僅減少研發(fā)成本，縮短設(shè)計(jì)周期，提高設(shè)計(jì)質(zhì)量，而且對(duì)于Stewart并聯(lián)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及實(shí)際的物理樣機(jī)的制造具有理論指導(dǎo)意義，并為調(diào)試合理的控制算法提供了便利的方法。