沒(méi)有定“型” 分“類”討論

顧云霞

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)“軸對(duì)稱圖形”這章時(shí)，常遇到計(jì)算線段長(zhǎng)的問(wèn)題.但因題目中的相關(guān)量沒(méi)有定“型”，我們常常會(huì)由于考慮不全面而漏解或錯(cuò)解.下面從三種典型錯(cuò)誤出發(fā)，通過(guò)錯(cuò)因剖析和正確解答，希望對(duì)同學(xué)們有所啟示.

一、沒(méi)有定“角色”——討論邊長(zhǎng)“角色”

【例1】等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5、8，則它的周長(zhǎng)為（ ）.

A.13 B.18

C.21 D.18或21

【錯(cuò)解】選B；或選C.

【錯(cuò)因剖析】此題因沒(méi)有對(duì)5、8兩邊長(zhǎng)在等腰三角形中的“角色”進(jìn)行討論，而出現(xiàn)漏解；但有些問(wèn)題若只考慮邊的“角色”，遺忘了用三角形的三邊關(guān)系來(lái)判斷能否圍成三角形，又會(huì)出現(xiàn)多解，導(dǎo)致出錯(cuò).故涉及等腰三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，既要考慮到邊長(zhǎng)“角色”，還要顧及三邊關(guān)系，考慮問(wèn)題要周到全面.

【正解】選D.若5為腰長(zhǎng)，且三條長(zhǎng)為5、5、8的線段能構(gòu)成三角形，所以周長(zhǎng)為5+5+8=18；同理，若8為腰長(zhǎng)，也能構(gòu)成三角形，則周長(zhǎng)為5+8+8=21.

【變式】一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4、8，則它的周長(zhǎng)為（ ）.

A.12 B.16 C.20 D.16或20

（正確答案：C）

二、沒(méi)有定位置——討論交點(diǎn)位置

【例2】在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分線與AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E,且DE=4，則AD+AE的長(zhǎng)度為_(kāi)____________.

【錯(cuò)解】根據(jù)題意畫(huà)草圖，如圖1所示，AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6.

圖1

【錯(cuò)因剖析】由于沒(méi)圖，不少同學(xué)常畫(huà)如圖1所示的圖形，故漏解.因?yàn)閮蓷l垂直平分線與BC交點(diǎn)D、E的相對(duì)位置沒(méi)有確定，故要討論交點(diǎn)D、E的位置，分兩種情況作答.

圖2

【正解】根據(jù)題意，除了圖1情形，還存在如圖2所示的情況，此時(shí)AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14.故此題答案為6或14.

三、沒(méi)有定圖形——討論圖形形狀

【例3】（2016·內(nèi)蒙古通遼）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為_(kāi)_________.

【錯(cuò)解】如圖3，由題意可知，∠ABD=48°，∠ADB=90°，所以∠A=42°，所以底角∠C=（180°-42°）÷2=69°.

圖3

【錯(cuò)因剖析】此題同樣需要畫(huà)圖分析、很多同學(xué)習(xí)慣了畫(huà)頂角是銳角的等腰三角形，腰上的高自然在形內(nèi)，卻忽略了頂角是鈍角的等腰三角形腰上的高線在形外的情況，故此題要分頂角是銳角的等腰三角形與頂角是鈍角的等腰三角形兩種形狀討論.

【正解】除了圖3以外，還有圖4，∵∠ABD=48°，∠ADB=90°，∴∠DAB=42°，∴21°.故此題答案為69°或21°.

圖4

【變式】等腰三角形一邊上的高與一腰的夾角為48°，則該等腰三角形底角的度數(shù)為_(kāi)_________.（正確答案：42°；69°或21°）

總之，我們需要仔細(xì)審題.如果由已知條件無(wú)法確定相關(guān)元素的“角色”、圖形位置、形狀等，那么同學(xué)們就要小心謹(jǐn)慎，結(jié)合基本概念、基本圖形，找準(zhǔn)不確定元素的類別，分情況討論，從而逐步培養(yǎng)自己縝密細(xì)致的思維習(xí)慣.