“降維類比”：由三角函數(shù)余弦和角公式聯(lián)想到二面角大小

周如俊

求解二面角大小問題是高考的熱點問題.傳統(tǒng)解題方法主要有定義法、三垂線法、垂面法、異面直線的距離法、法向量法.因此其求解中作圖思維與推理具有一定難度.本文運用“降維類比法”，在三角函數(shù)余弦和角公式基礎(chǔ)上類比出的二面角大小求解的“通用”公式，把空間形體轉(zhuǎn)化為平面圖形有關(guān)角的計算，能給予學(xué)生一定的解題思維程序，降低題目難度與思維難度，具有直觀、簡捷、套用明快的優(yōu)點.

1問題提出

有關(guān)三面角公式求解二面角大小問題，一些文獻(xiàn)作了探究，但是所推出的公式形式不一，也難以記憶【1】【2】【3】.筆者備課中研究發(fā)現(xiàn)，兩角和與差的余弦公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ也是求二面角大小的“計算公式”（“三線四角”公式）的一種特例.這種由三角函數(shù)余弦和角公式“降維類比”（即三維空間的對象降到二維（或一維）空間中的對象）出二面角大小計算“通用”公式，只需計算出同一頂點發(fā)出的三個線線間角，即可快速求出二面角大小.

圖1

三角函數(shù)余弦和角公式如圖1，OA、OB、OC是一平面內(nèi)共端點的三條射線，記∠AOB=θ1，∠COB=θ2，∠AOC=θ，直線EF與OB垂直（垂足為H），且直線EF分別與射線OA、OC相交于E、F兩點.則由三角函數(shù)和角公式有：

cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2-sinθ1·sinθ2.

考慮到直線EHF，∠EHF=180°，則有：

cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cos180°

即：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cos∠EHF（*）

圖2

三面角余弦定理如圖2，將圖1中射線OA、OC分別圍繞OB旋轉(zhuǎn)到任意位置，形成“三線四角”（共點三條射線兩兩所成的面角以及它們所構(gòu)成的一個二面角）.類比公式（*），可得二面角A-OB-C（記二面角大小為α）的一個“通用”計算公式（簡稱“三線四角”公式）.此公式又稱為三面角余弦定理.

cosθ=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cosα（**）

略證在△EOF中，由余弦定理得：cos∠AOC=OE2+OF2-EF22OE·OF.

在△EHF中，由余弦定理得：

EF2=EH2+FH2-2EH·FHcos∠EHF.

所以有：

cos∠AOC=OE2+OF2-EH2-FH2+2EH·FHcos∠EHF2OE·OF=（OE2-EH2）+（OF2-FH2）2OE·OF+EH·FHOE·OFcos∠EHF

=2OH22OE·OF+EH·FHOE·OFcos∠EHF=cos∠AOB·cos∠BOC+sin∠AOB·sin∠BOC·cos∠EHF

即：cosθ=cosθ1·cosθ2+sinθ1·sinθ2·cosα（**）

cosα=cosθ-cosθ1·cosθ2sinθ1·sinθ2（***）

即三面角余弦定理內(nèi)涵表述：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所對面角的余弦減去另兩個面角的余弦之積，再除以這兩個面角的正弦之積.

同樣可推出三面角正弦定理：

三面角正弦定理三面角中面角的正弦的比等于所對二面角的正弦的比.

如圖2，二面角A-OB-C大小記為α，二面角A-OC-B大小記為β，二面角B-OA-C大小記為γ，則有sinαsinθ=sinβsinθ1=sinγsinθ2.

實際解決有關(guān)高考試題二面角問題時，只要把求二面角的問題轉(zhuǎn)化為考慮三個三角形中角的三角函數(shù)問題求解即可.（***）公式方向明確，方法簡單.

通過公式（**），也可速證最小角定理.圖3

最小角定理如圖3，設(shè)A為平面α上一點，過A的直線AO在平面α上的射影為AB，AC為平面α上的一條直線，則∠OAC=θ，∠BAC=θ2，∠OAB=θ1，三角的余弦關(guān)系為：cosθ=cosθ1·cosθ2.此式又叫最小角定理（爪子定理），主要用于求平面斜線與平面內(nèi)直線成的最小角.

略證因O-AB-C二面角α=90°，由（**）即得：cosθ=cosθ1·cosθ2.

2公式運用

“三線四角”公式，將三維空間的對象降到二維（或一維）空間思考，它以最簡約、最概括的方式呈現(xiàn).不僅促進學(xué)生對原有“二面角”知識透徹的理解，還可以幫助學(xué)生更快捷地獲取與弄清二面角概念及其計算公式的內(nèi)涵和外延，理解結(jié)論的由來與適用范圍，達(dá)到二面角知識學(xué)習(xí)的精練化、條理化、網(wǎng)絡(luò)化，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識.

應(yīng)用公式求二面角大小時，只需在棱上任找一點，分別在兩個半平面內(nèi)各引一條射線，使之與棱形成共點三線，由此共點三線兩兩所成面角.計算三個面角的三角函數(shù)值，即可通過公式快速求出相應(yīng)二面角大小，從而減少作輔助線求解二面角的推理難度.

2.1求兩相交直線的夾角大小此類題一般條件是已知一個二面角大小及“三線”的二個面角，通過“三線四角”公式求解，求其另一個面角.解題時三面角頂點的確定是關(guān)鍵，應(yīng)在所求二面角的交線上.有時也可依據(jù)三面角正弦定理直接求解.

例1（2017年新課標(biāo)Ⅲ卷理第16題）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；

②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最大值為60°；

其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的編號）

圖4

解析如圖4.由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點B，作BD∥a，交底面圓C于點D.BE為底面圓直徑，連結(jié)DE，則DE⊥BD，DE∥b.連結(jié)AD，等腰ΔABD中，不妨設(shè)AB=AD=2.

（1）當(dāng)直線AB與a成60°角時，∠ABD=60°，故BD=2.

又在Rt△BDE中，BE=2，DE=2，故cos∠FBC=cos∠DEC=22，

因二面角F-BC-A大小α=90°，由（**）即得：

cos∠ABF=cos∠ABC·cos∠FBC=22.22=12，∠ABF=60°，即AB與b成60°角.故②正確，①錯誤.

（2）因A-BC-D二面角大小α=90°，由（**）即得：

cos∠ABD=cos∠ABC·cos∠DBC=22cos∠DBC，

當(dāng)∠DBC=0°，cos∠ABDmax=22·1=22，（∠ABD）min=45°，

即直線AB與a所稱角的最小值為45°，故③正確.

∠DBC=90°，cos∠ABDmin=0，（∠ABD）max=90°，

即直線AB與a所成角的最大值為90°，故④錯誤.

因此正確的說法為②③.

2.2求異面直線的夾角大小此類題一般條件是通過直線平移，轉(zhuǎn)化為已知一個二面角大小及“三線”間二個面角，從而轉(zhuǎn)化為“求兩相交直線的夾角大小”類型，再通過“三線四角”公式求解.有時也可借助異面直線的距離公式d=l2-m2-n2±2mncosθ求異面直線的夾角θ大?。ㄆ渲蠥C和BD互為異面直線，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=d，CD=l，AC=m，BD=n）.

例2（2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理第10題）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）.

A.V=32

B.155 C.105 D.33

圖5

解析如圖5，設(shè)異面直線AB1與BC所成角記為θ（θ∈（0°，90°]），只要將直線AB1平移過點B（此時平移后直線為A2B）即可.此時二面角A2-BB1-C1大小α=120°.

cos∠AB1B=15，sin∠AB1B=25，

cos（180°-∠C1BB1）=-cos∠C1BB1=-12，sin（180°-∠C1BB1）=12，

由公式（**）得：

cosθ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosα=cos∠AB1Bcos（180°-∠C1BB1）+sin∠AB1Bsin（180°-∠C1BB1）·cos120°=-[SX（]1[][KF（]5[KF）][SX）]·[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]+[SX（]2[][KF（]5[KF）][SX）]·[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]（-[SX（]1[]2[SX）]）=-[SX（][KF（]10[KF）][]5[SX）].

即cosθ=105.

因此正確答案為C.2.3求二面角的夾角大小“三線四角”公式求解二面角大小，一般比“作角求角法”與“法向量法”顯得更簡潔.此類題一般條件是已知三面角的“三線”的三個面角，求其中二面角的大小.解題識別關(guān)鍵是通過三角函數(shù)關(guān)系求出三個面角大小，直接代入“三線四角”公式求解即可.有時證明兩平面垂直關(guān)系也可轉(zhuǎn)換成通過“三線四角”公式求平面二面角的夾角大小為90°即可，并且省去推理證明過程的麻煩.

例3（2017年新課標(biāo)Ⅰ卷文第18題）如圖6，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

圖6

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

解析

（1）設(shè)二面角B-AP-D大小為α.

因為∠BAP=∠CDP=90°，AB∥CD，

所以AB⊥AP，CD⊥DP，AB⊥DP，

由公式（***）得：

cosα=cos∠BAD-cos∠BAP·cos∠DAPsin∠BAP·sin∠DAP

=cos90°-cos90°·cos∠DAPsin90°·sin∠DAP=0，α=90°，

即平面PAB⊥平面PAD.

（2）設(shè)二面角A-PB-C大小為α.

由（1）知，四邊形ABCD為矩形.

設(shè)PA=PD=AB=DC=1，則易得

PB=PC=AD=BC=2，

由公式（***）得：

cosα=cos∠ABC-cos∠ABP·cos∠CBPsin∠ABP·sin∠CBP=0-22·120-22·32

=-33.

參考文獻(xiàn)

[1]熊福州.從2017年全國高考題看公式法求空間角的意義[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師范大學(xué)），2017（12）：27-29.

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