張益明?┒≠晃?

摘 要：采用HPM視角來(lái)設(shè)計(jì)“兩角和與差的余弦公式”的教學(xué)：利用阿里斯塔克斯解決天文測(cè)量問(wèn)題和托勒密制作弦表的史實(shí)來(lái)引入，讓學(xué)生感受兩角和與差的正、余弦公式產(chǎn)生的必要性；利用帕普斯模型引導(dǎo)學(xué)生證明公式，并對(duì)帕普斯模型做適當(dāng)改進(jìn)；通過(guò)微視頻介紹麥克肖恩方法的歷史背景，再讓學(xué)生閱讀教材學(xué)習(xí)這一證明方法并談?wù)劯形?，體會(huì)麥克肖恩當(dāng)時(shí)的想法。課后反饋表明，這樣的教學(xué)溝通了歷史和現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)和人文，體現(xiàn)了“知識(shí)之諧”“探究之樂(lè)”“方法之美”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。

關(guān)鍵詞：HPM 價(jià)值 證明 兩角和與差的余弦公式

“兩角和與差的余弦公式”是滬教版高中數(shù)學(xué)一年級(jí)第二學(xué)期第5章《三角比》中重要的三角恒等式之一。教材在引入部分指出，在三角比的計(jì)算和化簡(jiǎn)中常用角α和角β的三角比來(lái)表示角α+β或角α-β的三角比，由此引入兩角和與差的正、余弦公式。這里，教材并未清晰地揭示知識(shí)產(chǎn)生的必要性，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。此外，教材在建立部分利用單位圓，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)出兩角差的余弦公式（蘇教版教材也給出了這一方法）。這一方法雖然簡(jiǎn)潔明了，學(xué)生容易掌握，但是不夠自然，學(xué)生很難想到。因此許多教師都嘗試對(duì)“兩角和與差的余弦公式”的教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)，然而很少有人從數(shù)學(xué)史的視角來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)。

美國(guó)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育家史密斯（D.E.Smith，1860～1944）認(rèn)為，數(shù)學(xué)史展現(xiàn)了不同方法的成敗得失，因而今人可以從中汲取思想養(yǎng)料，少走彎路，獲取最佳教學(xué)方法。因此少數(shù)教師也嘗試從數(shù)學(xué)史的視角來(lái)設(shè)計(jì)兩角和與差的余弦公式的教學(xué)，然而在這些教學(xué)設(shè)計(jì)中，數(shù)學(xué)史的價(jià)值沒(méi)有得到充分的體現(xiàn)。

有鑒于此，我們采用HPM視角來(lái)設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)，擬定如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）正確運(yùn)用兩角和與差的余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)和求值；（2）經(jīng)歷兩角和與差的余弦公式的產(chǎn)生和推導(dǎo)過(guò)程，理解兩角和與差的余弦公式的產(chǎn)生背景和兩種推導(dǎo)方法；（3）進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、代換轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；（4）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)中的人文精神。

一、歷史過(guò)程梳理與材料選用

兩角和與差的正、余弦公式被稱為平面三角學(xué)的基本公式，伴隨著三角學(xué)的誕生而誕生，有關(guān)的歷史素材豐富多彩。我們梳理了兩角和與差的正、余弦公式的產(chǎn)生與發(fā)展歷史過(guò)程，從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，選取有關(guān)其價(jià)值和證明的素材，運(yùn)用多種方式將這些素材融入教學(xué)中。

（一）從天文測(cè)量到弦表制作

三角學(xué)起源于天文學(xué)中的測(cè)量問(wèn)題。公元前3世紀(jì)，古希臘著名天文學(xué)家阿里斯塔克斯（Aristarchus，前315～前230）觀測(cè)得到：在月亮半圓時(shí)，日、地、月的中心S、E、M恰好為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且∠SEM=87°，如圖1所示。阿里斯塔克斯想知道的是，地日距離（ES）是地月距離（EM）的幾倍。當(dāng)時(shí)，人們還不知道87°角的余弦或正弦值，阿里斯塔克斯通過(guò)冗長(zhǎng)的幾何推理，才得出這個(gè)倍數(shù)在18和20之間的結(jié)果。

解決天文學(xué)中的測(cè)量問(wèn)題，需要計(jì)算任意角的三角函數(shù)值。2世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家托勒密（C.Ptolemy，約100～170）利用基于托勒密定理（圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積）得到的相當(dāng)于兩角和與差的正、余弦公式的結(jié)果，制作了現(xiàn)存最早的弦表（從0°到90°每隔半度比較精確的正弦函數(shù)值）。

這一過(guò)程體現(xiàn)了兩角和與差的正、余弦公式的起源和作用。因此，本節(jié)課利用阿里斯塔克斯解決天文測(cè)量問(wèn)題和托勒密制作弦表的史實(shí)來(lái)引入，讓學(xué)生感受兩角和與差的正、余弦公式產(chǎn)生的必要性。這是順應(yīng)式使用數(shù)學(xué)史。

（二）帕普斯模型成為主流

3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯（Pappus）在《數(shù)學(xué)匯編》中提出一個(gè)幾何命題，其中蘊(yùn)含了豐富的三角學(xué)知識(shí)，為三角公式的證明提供了幾何模型。如圖2所示，設(shè)∠AOB=α，∠BOC=β（0<β<α<π，0<α+β<π），OA=OB=OC=1；過(guò)C作CD⊥OA于D，作CH⊥OB于H，交半圓于E；過(guò)H作HG⊥OA于G，作HM⊥CD于M；過(guò)E作EF⊥OA于F，作EN⊥HG于N。于是有OD=cos（α+β），OF=cos（α-β），OH=cos β，CH=HE=sin β，OG=cos αcos β，DG=MH=sin αsin β，GF=NE=sin αsin β。由OD=OG-DG，OF=OG+GF，得cos（α+β）=cos αcos β-sin αsin β，cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β。該模型的核心思想是用線段的長(zhǎng)度去表示兩角和與差的正、余弦公式中的三角比的值，進(jìn)

而得到銳角情形下的兩角和與差的正、余弦公式。

20世紀(jì)中葉以前，絕大多數(shù)西方教材都采用帕普斯的幾何模型來(lái)推導(dǎo)銳角情形下的兩角和與差的正、余弦公式，再利用誘導(dǎo)公式得出任意角情形下的兩角和與差的正、余弦公式。

這一模型符合三角學(xué)的歷史發(fā)展，也符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程：三角公式脫胎于幾何命題，學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)是從直角三角形中的邊長(zhǎng)比（初中）和單位圓中的三角函數(shù)線（高中）開始的。因此，本節(jié)課利用帕普斯模型引導(dǎo)學(xué)生證明公式。當(dāng)然，帕普斯模型中角的始邊并不都在x軸的正半軸上，這一點(diǎn)與學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)有沖突。于是，我們對(duì)帕普斯模型做了三點(diǎn)改進(jìn)：第一，讓學(xué)生在猜測(cè)公式的基礎(chǔ)上自然地利用三角函數(shù)線表達(dá)三角比的值，避免刻意地給出帕普斯模型；第二，將兩個(gè)角的始邊同時(shí)與x軸的正半軸重合，從兩角差的余弦公式入手降低認(rèn)知難度；第三，利用該模型得到兩角差的余弦公式后再利用三角代換得到其他公式，突出三角代換的重要性。這是重構(gòu)式使用數(shù)學(xué)史。

（三）從多種方法到麥克肖恩方法

18～19世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡諾里（A.Cagnoil，1743～1816）、美國(guó)數(shù)學(xué)家伍德豪斯（R.Woodhouse，1773～1827）、瑞士數(shù)學(xué)家哈斯勒（F.R.Hassler，1770～1843）、英國(guó)數(shù)學(xué)家克雷斯維爾（D.Cresswell，1776～1844）、法國(guó)數(shù)學(xué)家薩呂斯（P.F.Sarrus，1798～1866）相繼給出了各自的證明。

和基于托勒密定理的證明方法一樣，這些證明方法對(duì)于平面幾何的變換技巧要求比較高，而且有些用到了學(xué)生還沒(méi)學(xué)到的正、余弦定理。考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，本節(jié)課通過(guò)微視頻簡(jiǎn)單介紹這些證明方法。這是附加式使用數(shù)學(xué)史。

1941年，美國(guó)數(shù)學(xué)家麥克肖恩（E.J.Mcshane，1904～1989）又對(duì)薩呂斯的證明做了改進(jìn)。他在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上發(fā)表論文，避開弦長(zhǎng)公式，重新推導(dǎo)了兩角差的余弦公式。如圖3所示，在單位圓O中（限于篇幅，只畫半圓）構(gòu)造∠AOB=α，∠AOC=β，將△BOC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得OC與OA重合，OB與OD重合，由AD=CB，利用兩點(diǎn)間的距離公式即得cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β。

這一證明方法就是教材給出的方法，它適用于任意角的情形。因此，本節(jié)課通過(guò)微視頻介紹麥克肖恩方法的歷史背景，再讓學(xué)生閱讀教材學(xué)習(xí)這一證明方法并談?wù)劯形?，體會(huì)麥克肖恩當(dāng)時(shí)的想法。這是復(fù)制式使用數(shù)學(xué)史。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）問(wèn)題引入，猜想公式

教師利用阿里斯塔克斯解決天文測(cè)量問(wèn)題和托勒密制作弦表的史實(shí)來(lái)引入，然后指出：“顯然，如果能算出cos 87°的值，就能知道準(zhǔn)確的倍數(shù)了?？梢?jiàn)，僅知道初中里學(xué)過(guò)的特殊角（30°、45°、60°、90°）的三角比是不夠的，還需要計(jì)算任意角的三角比。古希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家在制作弦表（計(jì)算任意角的三角比）時(shí)，采用了一個(gè)新的方法，用今天的話來(lái)說(shuō)，就是根據(jù)已知角的正、余弦值來(lái)求未知角的正、余弦值。這便是我們今天要研究的課題?！?/p>

接著，教師讓學(xué)生利用同角三角比的關(guān)系，由cos 30°求sin 30°和tan 30°，再利用誘導(dǎo)公式，由cos 30°求cos 150°和cos 390°，進(jìn)而提問(wèn)：“能否用45°和30°的正、余弦來(lái)求cos 15°？”

根據(jù)計(jì)算器上讀出的結(jié)果，學(xué)生猜測(cè)cos 15°=6+24=32×22+12×22=

cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°或sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°。由此，教師進(jìn)一步提問(wèn)：“對(duì)于任意角α和β，cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β或cos（α-β）=sin αcos β+cos αsin β是否成立？究竟哪一個(gè)等式成立？”

（二）模型建立，證明公式

師 假設(shè)α、β為銳角。（出示圖4）如圖所示，兩個(gè)角的終邊與單位圓分別交于點(diǎn)A和B，請(qǐng)你在圖上找出與cos α、cos β、sin α、sin β相等的線段。

生 （出示圖5）分別過(guò)點(diǎn)A和B作x軸的垂線，交點(diǎn)分別為M和P，則AM=

sin α，OM=cos α，BP=sin β，OP=cos β。

師 嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，正弦線是MA而不是AM，但是我們有個(gè)前提，即α是銳角，所以問(wèn)題不大。三角函數(shù)線的作用就是利用有向線段的長(zhǎng)度來(lái)表示三角比。我們今天也利用這種方法來(lái)證明兩角差的余弦公式。請(qǐng)同學(xué)們?cè)趫D中找到一條線段，使其長(zhǎng)度等于cos（α-β）。

生 （出示圖6）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OB，垂足為N，因?yàn)镺A=1，所以O(shè)N=cos（α-β）。

師 請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)他的方法用一條線段表示cos αcos β、sin αsin β。

生 把cos α看成斜邊，以β為一個(gè)內(nèi)角構(gòu)造直角三角形；把sin α看成斜邊，以β為一個(gè)內(nèi)角構(gòu)造直角三角形。（出示圖7）過(guò)點(diǎn)M作OB的垂線，垂足為H，則在Rt△OMH中，OH=cos αcos β；不難發(fā)現(xiàn)∠MAN=β，所以過(guò)點(diǎn)M作AN的垂線，垂足為Q，則在

Rt△AMQ中，MQ=sin αsin β。

師 由此，你能證明兩角差的余弦公式嗎？

生 通過(guò)ON=OH+HN，HN=MQ可以得到cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β。

師 沒(méi)錯(cuò)，關(guān)鍵就是ON=OH+HN。我們回頭看證明過(guò)程，證明的思想是用線段的長(zhǎng)度表示三角比。當(dāng)然，我們的證明有個(gè)前提：α、β為銳角。那么，如果角的范圍變化了，結(jié)論還成立嗎？比如，設(shè)α∈2π，52π，β為銳角，請(qǐng)問(wèn)：如何計(jì)算cos（α-β）？

生 由cos（α-β）=cos（α-2π-β），再展開，即可得到公式。我們發(fā)現(xiàn)，公式也成立。因此，當(dāng)α、β在其他范圍內(nèi)時(shí)，可以利用誘導(dǎo)公式證明公式成立。

師 這里，我們用到了一種思想，即用α-2π去代換α。代換思想在三角學(xué)研究中非常重要。請(qǐng)同學(xué)們利用這種思想計(jì)算cos（α+β）。

生 cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cos αcos β-sin αsin β。

師 這樣，我們就得到了兩角和的余弦公式。今天，我們也學(xué)會(huì)了一種解決問(wèn)題的方法：先猜想，再證明。

（播放時(shí)長(zhǎng)4分鐘的微視頻：由兩角和與差的余弦公式引入，指出公式本身呈現(xiàn)出對(duì)稱之美，而歷代數(shù)學(xué)家不遺余力地去證明它，更是體現(xiàn)了他們對(duì)方法之美的追求；接著追溯兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)的歷史。）

師 （視頻播放到介紹完帕普斯模型時(shí)，暫停）同學(xué)們的思想和數(shù)學(xué)家們的思想差不多。可見(jiàn)，只要在數(shù)學(xué)中付出更多的努力，就能在數(shù)學(xué)上取得更大的成就。

（學(xué)生興奮。）

師 （視頻播放到介紹完麥克肖恩方法時(shí)，結(jié)束）他的方法就是課本給出的方法?，F(xiàn)在請(qǐng)大家看一下課本上的證明。

（學(xué)生閱讀。）

師 麥克肖恩為什么會(huì)想到將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)？

生 將角α-β的始邊旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸上。

師 非常好！這個(gè)也是我們將角推廣到任意角的常見(jiàn)方法。那么，他又是怎樣想到用線段長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算的呢？旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形位置發(fā)生變化，也有一些不變的量，是什么？

生 角與線段長(zhǎng)度不變。

生 利用|AB|=|A′B′|，再利用兩點(diǎn)間的距離公式展開，即可得到公式。

（三）練習(xí)鞏固，深化認(rèn)識(shí)

首先，利用例1所示的具體求值問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)單應(yīng)用公式。其次，通過(guò)例2所示的一般證明問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生熟練運(yùn)用公式，并體會(huì)三角的代換思想。

例1 利用兩角和與差的余弦公式求值：（1）cos 75°；（2）cosπ12。

例2 證明下列恒等式：（1）cosπ2-α=sin α；（2）sinπ2-α=cos α。

（四）回顧總結(jié)，盤點(diǎn)收獲

首先，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課主要運(yùn)用的兩種推導(dǎo)兩角和與差的正、余弦公式的方法：帕普斯模型方法的核心思想是利用三角函數(shù)線去表示三角比的值，而麥克肖恩的方法是利用圖形的旋轉(zhuǎn)以及兩點(diǎn)間的距離公式。

其次，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課主要學(xué)到的重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、代換轉(zhuǎn)化等。

最后，引導(dǎo)學(xué)生感悟：歷史上數(shù)學(xué)家們孜孜不倦地改進(jìn)兩角和與差的正、余弦公式的證明方法，反映了他們對(duì)于真善美的不懈追求，體現(xiàn)了他們的創(chuàng)新精神；只要我們深入思考，努力探究，我們也能想數(shù)學(xué)家之所想，在不知不覺(jué)中成為課堂上的“小小數(shù)學(xué)家”。

三、學(xué)生反饋

課后，我們收集了全班40名學(xué)生對(duì)于本節(jié)課的反饋信息。

對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，全部學(xué)生都表示聽(tīng)懂了，其中70%的學(xué)生表示完全聽(tīng)懂了。

對(duì)于數(shù)學(xué)史融入課堂的教學(xué)方式，95%以上的學(xué)生表示喜歡。

對(duì)于兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)，喜歡帕普斯模型的學(xué)生給出的理由如下：直觀、清晰；由銳角的情形推廣到任意角的情形，可以對(duì)公式理解得更深刻一些；與初中知識(shí)結(jié)合，更容易想到；有引導(dǎo)性，能帶動(dòng)大家的思考，可以培養(yǎng)思維。喜歡麥克肖恩方法的學(xué)生給出的理由如下：巧妙運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)、兩點(diǎn)間的距離公式等常見(jiàn)數(shù)學(xué)方法和知識(shí)，通俗易懂且適用于任意角；建立在眾多前人的證明方法的基礎(chǔ)上，達(dá)到了完美的地步。

對(duì)于兩角和與差的余弦公式的運(yùn)用，絕大多數(shù)學(xué)生都是正確的。

對(duì)于本節(jié)課所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，大部分學(xué)生提到了數(shù)形結(jié)合、代換、化歸等數(shù)學(xué)思想，另外還有學(xué)生提到了“學(xué)貴有疑”的一般思想。

對(duì)于本節(jié)課中印象最深的內(nèi)容，大部分學(xué)生提到了數(shù)學(xué)文化，例如：讓人愉悅的小視頻追溯了公式的歷程，其中推導(dǎo)方法由繁至簡(jiǎn)，讓我對(duì)公式來(lái)源有了一定的了解，并從中找到了自己喜歡的證法；比較深入地引入了數(shù)學(xué)史作為公式理解的輔助，讓我比較直觀地了解了兩角和與差的余弦公式的精神；數(shù)學(xué)家們勇于質(zhì)疑、不斷改進(jìn)的精神，實(shí)現(xiàn)了從難以理解的方法到通俗易懂的方法的轉(zhuǎn)變；兩角和與差的余弦公式十分整齊且有對(duì)稱美。

四、教學(xué)反思

任何數(shù)學(xué)公式都不是憑空產(chǎn)生的，其背后都有漫長(zhǎng)的歷史，都蘊(yùn)含著精彩的思想方法和豐富的人文元素。如果僅僅讓學(xué)生機(jī)械地記憶公式，那么，公式就是靜態(tài)的、冰冷的、枯燥的、無(wú)生命的。從歷史的視角來(lái)呈現(xiàn)公式，可賦予公式以鮮活的生命。本節(jié)課讓學(xué)生“穿越時(shí)空，與數(shù)學(xué)家對(duì)話”，既溝通了歷史和現(xiàn)實(shí)，也溝通了數(shù)學(xué)和人文。

本節(jié)課中，借鑒歷史，從猜想到證明、從幾何到三角、從銳角到任意角的過(guò)程，實(shí)際上再現(xiàn)了兩角和與差的余弦公式自然發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，體現(xiàn)了“知識(shí)之諧”；而在知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程中，教師給予學(xué)生探究機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們解決問(wèn)題，從而獲得成功的體驗(yàn)，體現(xiàn)了“探究之樂(lè)”；除了帕普斯模型的證明方法，微視頻還展現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上豐富多彩的證明方法，并利用麥克肖恩的證明來(lái)銜接教材上的證明，體現(xiàn)了“方法之美”；而帕普斯模型彰顯了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及表征轉(zhuǎn)化能力，體現(xiàn)了“能力之助”；兩角和與差的余弦公式的起源揭示了數(shù)學(xué)與天文學(xué)之間的聯(lián)系，不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家對(duì)兩角和與差的余弦公式給出的不同的證明方法揭示了數(shù)學(xué)文化的多元性以及數(shù)學(xué)家追求真善美的人文精神，體現(xiàn)了“文化之魅”；而引導(dǎo)學(xué)生穿越時(shí)空，走進(jìn)數(shù)學(xué)家的心靈之中，親近數(shù)學(xué)，建立自信，體現(xiàn)了“德育之效”。

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[6] 李杰平.讓課堂生成變得更高效——以“兩角差余弦公式”的教學(xué)為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2013（12）.

[7] 高洪武.基于學(xué)情、關(guān)注學(xué)法的數(shù)學(xué)公式課設(shè)計(jì)——“兩角差的余弦公式”的教學(xué)及反思[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（5）.

[8] 魏韌.追求自然樸實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)——以兩角和與差的余弦公式教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（11）.

[9] 呂兆勇.追求自然、發(fā)展的探究式教學(xué)——以“兩角和與差的余弦”教學(xué)為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2015（4）.

[10] 戴圩章.“以生為本”從新課導(dǎo)入開始——以兩角和與差的余弦公式教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（9）.

[11] 汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[12] 張小明.兩角和差的三角公式推導(dǎo)——數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)例研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2007（2）.

[13] 張海強(qiáng).基于數(shù)學(xué)史的“兩角和與差的余弦”的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（6）.

[14] 陳清華，徐章韜.既基于歷史，又與時(shí)俱進(jìn)——高觀點(diǎn)下的“兩角和與差的正、余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（9）.

[15] 汪曉勤.20世紀(jì)中葉以前西方三角學(xué)文獻(xiàn)中的和角公式[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（6）.