前緣曲率變化對平板邊界層感受性問題的影響?

沈露予 陸昌根

(南京信息工程大學(xué)海洋科學(xué)學(xué)院,南京 210044)

1 引 言

邊界層內(nèi)層流向湍流轉(zhuǎn)捩的過程是自然界中普遍存在的物理現(xiàn)象,同時(shí)也是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的物理過程,它受到自由來流湍流、前緣曲率、壁面粗糙以及聲波擾動(dòng)等各種因素的影響.其中,感受性階段是層流向湍流轉(zhuǎn)捩的起始階段,誘導(dǎo)產(chǎn)生的不穩(wěn)定擾動(dòng)波的幅值、相位、色散關(guān)系以及形狀函數(shù)等初始條件[1]是邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測與控制的關(guān)鍵參數(shù);這些參數(shù)對飛行器、船舶以及車輛等工程設(shè)計(jì)至關(guān)重要.邊界層感受性問題一般可分為前緣感受性和當(dāng)?shù)馗惺苄訹2,3].前緣感受性是由于平板前緣附近區(qū)域非平行性與外界擾動(dòng)作用在邊界層內(nèi)被激發(fā)出不穩(wěn)定擾動(dòng)波的物理過程;當(dāng)?shù)馗惺苄詣t是由自由來流擾動(dòng)與壁面局部粗糙或吹吸相互作用激發(fā)邊界層內(nèi)被誘導(dǎo)不穩(wěn)定擾動(dòng)波的感受性過程.Goldstein[4]和Ruban[5]基于三層結(jié)構(gòu)漸近理論在聲波擾動(dòng)與壁面局部粗糙相互作用下驗(yàn)證了邊界層當(dāng)?shù)馗惺苄詸C(jī)制是存在的.隨后,在Goldstein[4]和Ruban[5]漸近理論的基礎(chǔ)上,Crouch[6],Choudhari和Streett[7]采用有限雷諾數(shù)方法研究聲波擾動(dòng)與壁面局部吹吸、粗糙作用下在Blasius邊界層內(nèi)激發(fā)不穩(wěn)定Tollmien-Schlichting(T-S)波的感受性機(jī)制,并且發(fā)現(xiàn)激發(fā)產(chǎn)生的TS波幅值與自由來流聲波幅值和壁面粗糙高度都呈線性關(guān)系;Bertolotti[8]同樣采用拋物化穩(wěn)定性方程證實(shí)二維和三維渦擾動(dòng)與壁面局部粗糙相互作用下Blasius邊界層內(nèi)當(dāng)?shù)馗惺苄詸C(jī)制是存在的.

Goldstein等[9,10]對前緣感受性問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究,采用高雷諾數(shù)方法來揭示聲波擾動(dòng)作用下無限薄平板邊界層前緣感受性機(jī)制,計(jì)算獲得了相應(yīng)的前緣感受性系數(shù).Goldstein和Wundrow[11]采用漸近分析法研究了渦擾動(dòng)作用下有限厚度平板邊界層前緣感受性問題.Heinrich和Kerschen[12]研究發(fā)現(xiàn)具有一定入射角的聲波擾動(dòng)所激發(fā)邊界層內(nèi)被誘導(dǎo)的前緣感受性系數(shù)要大于平行于流動(dòng)方向的聲波擾動(dòng)所激發(fā)邊界層內(nèi)被誘導(dǎo)的前緣感受性系數(shù).我們之前也研究了自由來流湍流作用下無限薄平板邊界層前緣感受性問題,獲得了一些有意義的結(jié)果[13].

隨后,人們發(fā)現(xiàn)平板前緣幾何形狀對邊界層前緣感受性具有明顯的影響,并展開了大量的研究工作.Hammerton和Kerschen[14,15]采用漸近分析法和數(shù)值模擬研究斜聲波擾動(dòng)作用下拋物形前緣機(jī)翼表面邊界層感受性問題時(shí)發(fā)現(xiàn),隨著攻角的不斷增大,機(jī)翼上表面邊界層內(nèi)被誘導(dǎo)的感受性強(qiáng)度逐漸減弱,但機(jī)翼下表面邊界層內(nèi)被誘導(dǎo)的感受性強(qiáng)度則逐漸增強(qiáng);當(dāng)達(dá)到臨界攻角以后,則會(huì)出現(xiàn)完全相反的結(jié)論.Lin等[16]研究了橢圓形前緣平板邊界層聲波感受性問題,發(fā)現(xiàn)當(dāng)前緣橢球比逐漸增大時(shí),邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的幅值將逐漸減小;反之,邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的幅值將逐漸增大.采用與Lin等[16]相同的物理模型,Fuciarelli等[17]計(jì)算了邊界層中性曲線下支附近聲波感受性問題,數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)在聲波入射角為15?時(shí)邊界層內(nèi)被誘導(dǎo)的前緣感受性系數(shù)大約是聲波入射角為0?時(shí)的四倍.Wanderley和Corke[18]也做了類似的研究,并發(fā)現(xiàn)邊界層中性曲線下支附近T-S波的幅值隨著前緣橢球比的增加而逐漸減少等結(jié)論.Buter和Reed[19]采用與Lin等[16]相同的方法,數(shù)值模擬了渦擾動(dòng)作用下邊界層前緣感受性過程,發(fā)現(xiàn)邊界層內(nèi)被激發(fā)產(chǎn)生T-S波的幅值與自由來流渦擾動(dòng)的幅值呈線性關(guān)系.2010年,Schrader等[20]采用直接數(shù)值模擬(DNS)方法,研究了不同類型渦擾動(dòng)作用下具有橢圓形前緣平板邊界層感受性問題,也獲得了一些有意義的結(jié)論.

2 控制方程和數(shù)值方法

2.1 控制方程

選取橢圓形前緣的短軸長度b、無窮遠(yuǎn)來流速度U∞以及流體密度ρ為特征量,經(jīng)無量綱處理獲得無量綱的二維不可壓縮Navier-Stokes方程:

其中速度為V=U+V′,V′={u,v}T為擾動(dòng)速度,U為基本流速度;p為壓力;雷諾數(shù)為Re=(U∞b)/υ,υ為流體的運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù).通過雅克比行列式變換

將曲線坐標(biāo)系(x,y)化為直角坐標(biāo)系(ξ,η)問題進(jìn)行數(shù)值計(jì)算[21].控制方程的離散方法為:時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)采用修正后的四階Runge-Kutta格式;空間偏導(dǎo)數(shù)則采用緊致有限差分格式,即對流項(xiàng)為五階精度迎風(fēng)緊致有限差分格式,壓力梯度項(xiàng)為六階精度緊致有限差分;黏性項(xiàng)為六階精度緊致有限差分格式;壓力方程利用四階精度的有限差分格式迭代求解[22].

2.2 自由來流湍流模型

在自由來流中的擾動(dòng)主要有以下幾種形式:聲波擾動(dòng)、渦波擾動(dòng)、自由來流湍流以及熵?cái)_動(dòng).聲波擾動(dòng)以壓力脈動(dòng)的形式來激發(fā)感受性機(jī)制,渦波擾動(dòng)以單波擾動(dòng)的形式來激發(fā)感受性過程以及自由來流湍流是以一群渦波擾動(dòng)來激發(fā)感受性的物理現(xiàn)象;熵波一般以溫度擾動(dòng)的形式來激發(fā)邊界層感受性機(jī)制.在自然界和工程技術(shù)實(shí)踐中,自由來流湍流是普遍存在的,通過構(gòu)造一組單波擾動(dòng)組成的波群來模擬自由來流湍流模型,使研究課題更加接近于真實(shí)的物理問題.本文依據(jù)文獻(xiàn)[23]的概念,推導(dǎo)建立自由來流湍流模型,其表達(dá)式為

2.3 計(jì)算區(qū)域和網(wǎng)格生成

圖1為本文研究具有不同橢圓形前緣平板邊界層感受性問題的計(jì)算區(qū)域:其中a為橢圓形前緣的長軸,b為橢圓形前緣的短軸,且橢圓形前緣橢球比定義為AR=a/b;橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率為K=a/b2;流向區(qū)域x∈[?50,800],且平板前緣的流向位置位于x=0;法向區(qū)域y∈[?11,11];為便于比較,采用與Lin等[16]以及Schrader等[20]研究前緣感受性問題相同的參數(shù),其雷諾數(shù)為Re=2400;采用泊松方程法[21]

生成橢圓形前緣平板邊界層感受性問題的貼體網(wǎng)格,詳細(xì)見圖2所示.(4)式是通過源項(xiàng)函數(shù)P和Q控制網(wǎng)格在壁面處保持正交,并在平板前緣駐點(diǎn)以及壁面附近加密網(wǎng)格,以確保數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性,計(jì)算網(wǎng)格數(shù)為1000×200.

壁面釆用無滑移條件:壁面上的速度u=v=0,法向壓力梯度?p/?n=0.

隨著農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平不斷的提升，農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量成為人們普遍關(guān)注的話題。在農(nóng)業(yè)的實(shí)際生產(chǎn)過程當(dāng)中，由于受到諸多因素所影響，導(dǎo)致農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量偏低。因此，如何提高農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量，成為當(dāng)前農(nóng)業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域共同研究的課題。本文主要對目前我區(qū)土壤肥料工作中存在的問題作出論述，并分析了提高農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量中我區(qū)土壤肥料工作的主要發(fā)展趨勢。

無窮遠(yuǎn)邊界條件:速度由自由來流湍流模型(2)確定;p=0.

出流邊界條件:?p/?x=0;速度采用無反射條件.

圖1 計(jì)算區(qū)域示意圖Fig.1.Computational domain.

圖2 網(wǎng)格生成的示意圖(AR=4)Fig.2.Generated mesh(AR=4).

3 數(shù)值結(jié)果與分析

首先,研究在自由來流湍流作用下激發(fā)具有不同橢圓形前緣平板邊界層感受性問題的物理機(jī)制,通過時(shí)間快速傅里葉分析和流動(dòng)穩(wěn)定性理論,證明在自由來流湍流作用下激發(fā)具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被誘導(dǎo)出T-S波模態(tài)的感受性機(jī)制是真實(shí)存在的,具體過程與文獻(xiàn)[13]相同,這里不再贅述.本文重點(diǎn)關(guān)注橢圓形前緣曲率變化對平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包的感受性過程以及波包向前傳播的群速度的影響機(jī)理;建立T-S波的幅值、色散關(guān)系、增長率、相速度以及形狀函數(shù)與前緣曲率之間的內(nèi)在關(guān)系;綜合分析前緣曲率在平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波模態(tài)的感受性過程中的作用等.為方便比較計(jì)算結(jié)果,定義無量綱頻率為數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn),當(dāng)y>6時(shí)邊界層外緣的擾動(dòng)速度均方根值經(jīng)長時(shí)間計(jì)算趨于穩(wěn)定值.在這里,定義邊界層外緣的穩(wěn)定值為自由來流湍流度AFST,

研究了在自由來流湍流作用下具有不同橢圓形前緣曲率對平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出的T-S波波包向下游演化的作用或影響,如圖3所示.圖3給出了前緣橢球比AR分別為4和20情況下,邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包沿流向或x方向的演化規(guī)律.從圖3可知,橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率較小(前緣橢球比AR=4)時(shí)邊界層內(nèi)激發(fā)出T-S波波包的幅值要明顯大于橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率較大(前緣橢球比AR=20)時(shí)邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包的幅值.但是,在不同橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率情況下,邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包序列結(jié)構(gòu)具有相似性.此外,通過近似計(jì)算方法[11]獲得了不同橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率對平板邊界內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包向前傳播群速度影響的定量結(jié)果,如表1所列.從表1可知,不同橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率變化對平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包向下游傳播群速度的影響很小,依然保持在自由來流速度三分之一左右,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符[24].

圖3 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出的T-S波波包沿流向的演化(y=1.3,t=2400)Fig.3.Streamwise evolutions of the excited T-S wave packets in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(y=1.3,t=2400).

表1 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包向下傳播的群速度Table 1.Group speeds of the excited T-S wave packets in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges.

數(shù)值計(jì)算了不同前緣橢球比情況下平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包最大的幅值A(chǔ)TSP,其數(shù)學(xué)表達(dá)式定義為

圖4 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包最大的幅值與前緣橢球比AR之間的關(guān)系(y=1.3)Fig.4.The relation between the maximum amplitude of the excited T-S wave packets and the leading-edge aspect ratio in the flat-plate boundary layer(y=1.3).

圖5 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出的T-S波沿流向的演化(y=1.3,t=2400)Fig.5.Streamwise evolutions of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(y=1.3,t=2400).

隨后,通過時(shí)間快速傅里葉分析方法,從圖3中分別提取獲得不同頻率的T-S波.圖5分別給出了頻率F=60和90情況下,不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出的T-S波沿流向的演化規(guī)律.圖5顯示,無論是提取獲得頻率F=60的不穩(wěn)定T-S波還是頻率F=90的穩(wěn)定T-S波,橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率越小(即橢球比越小),平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的幅值就越大;反之,橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率越大(即橢球比越大),平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的幅值就越小.

再依據(jù)圖5所示平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的演化規(guī)律,可以近似計(jì)算出不同前緣橢球比情況下,平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的色散關(guān)系和相速度的大小,具體見表2和表3所列.表2和表3數(shù)據(jù)顯示,橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率(或橢球比)變化對平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出不同頻率的T-S波的色散關(guān)系和相速度的影響很小,它們之間產(chǎn)生的最大誤差大約為5‰.

圖6和圖7分別給出了具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的幅值和增長率沿流向的演化規(guī)律和無限薄平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的幅值和增長率沿流向的演化.其中T-S波的幅值A(chǔ)TS定義為

表2 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的平均波數(shù)αr(Reδ?=1000)Table 2.Average wave numbers of the excited T-S waves αrin the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(Reδ? =1000).

表3 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的平均相速度(Reδ?=1000)Table 3. Average phase speeds of the excited T-S waves αrin the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges(Reδ? =1000).

圖6 具有不同橢圓形前緣平板層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的幅值沿流向的演化Fig.6.Streamwise evolutions of amplitudes of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges.

圖7 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的增長率沿流向的演化Fig.7.Streamwise evolutions of growth rates of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges.

圖8 具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的形狀函數(shù)沿y向的分布 (a)幅值;(b)相位Fig.8.The y-direction distributions of the shape functions of the excited T-S waves in the flat-plate boundary layer with various elliptic leading edges:(a)Amplitudes;(b)phases.

最后,給出具有不同橢圓形前緣平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的形狀函數(shù)隨y向的分布規(guī)律(形狀函數(shù)被平板邊界層內(nèi)誘導(dǎo)出T-S波的流向擾動(dòng)速度的最大值|u|max歸一化),詳細(xì)見圖8所示.從圖8可以看出,不同橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率(即不同橢球比)情況下,平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的形狀函數(shù)沿y向的分布規(guī)律幾乎完全重合.這說明無論橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率如何變化,平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波的形狀函數(shù)沿y向的分布規(guī)律是相同的.

4 結(jié) 論

本文在前緣橢球比AR>2的情況下,研究橢圓形前緣曲率變化對平板邊界層感受性問題的影響,其數(shù)值結(jié)果如下.

1)當(dāng)橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率越小(即前緣橢球比越小)時(shí),邊界層內(nèi)被激發(fā)出的感受性現(xiàn)象就越強(qiáng);反之,橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率相對越大(即前緣橢球比越大)時(shí),平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出的感受性現(xiàn)象就相對較弱;但是,當(dāng)橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率大到某一閾值(即前緣橢球比AR=40)后,邊界層內(nèi)被激發(fā)出的感受性強(qiáng)度漸漸趨向于穩(wěn)定狀態(tài).

2)無論橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率如何變化,在自由來流湍流作用下平板邊界層內(nèi)都能被激發(fā)出T-S波波包序列的演化規(guī)律,它們之間的空間分布具有完全相似性和對稱性特性;其次,橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率的改變對邊界層內(nèi)被激發(fā)出T-S波波包向下游傳播的群速度幾乎沒有影響,其群速度的大小近似等于自由流速度三分之一的實(shí)驗(yàn)值.

3)無論橢圓形前緣頂點(diǎn)曲率如何變化,對平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出不同頻率T-S波的色散關(guān)系、相速度、增長率以及形狀函數(shù)的影響很小或者幾乎不變,僅對平板邊界層內(nèi)被激發(fā)出不同頻率T-S波的幅值產(chǎn)生顯著的影響,即當(dāng)橢球比越小時(shí)邊界層內(nèi)被激發(fā)出的不同頻率的T-S波的幅值越大,反之邊界層內(nèi)被激發(fā)出的不同頻率的T-S波的幅值就越小.