級數(shù)求和方法的探討與總結(jié)

武 彩 霞

(大同師范高等?？茖W(xué)校，山西 大同 037000)

0 引 言

級數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析以及高等數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，也是專升本數(shù)學(xué)必考的一個內(nèi)容.收斂級數(shù)的求和在級數(shù)理論體系中占有很重要的位置，既是教學(xué)的重點，又是教學(xué)的難點.教材中對級數(shù)的斂散判別方法講述的比較多，但是對收斂級數(shù)的求和方法介紹的比較少，導(dǎo)致學(xué)生在遇到級數(shù)求和問題時，常常感到束手無策.級數(shù)求和需要用到大學(xué)數(shù)學(xué)中的許多理論知識和運算技巧，是個難度較大，技巧較高的綜合性問題，可采用的方法又是多種多樣的，只有選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，把級?shù)化歸為可求和的形式，才能使問題得到解決.為此，對級數(shù)的求和問題進行了探討與研究，探索級數(shù)求和的運算規(guī)律，總結(jié)出一些常用的級數(shù)求和的常規(guī)方法與特殊方法，并對每種方法的適用類型、應(yīng)用技巧、注意事項作了簡要分析.以期學(xué)習(xí)者對級數(shù)求和有一個較為全面的認(rèn)識，從而促進對級數(shù)求和問題的學(xué)習(xí)和理解，并能正確解答級數(shù)求和問題.

級數(shù)分為數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)兩類，其中，冪級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)中最簡單的一類，有的數(shù)項級數(shù)還可以看作與之相對應(yīng)的函數(shù)項級數(shù)在自變量取某個常數(shù)值而得到的.在冪級數(shù)中推導(dǎo)出的級數(shù)求和公式，可以直接用在數(shù)項級數(shù)的求和運算中，而某些數(shù)項級數(shù)也可以通過一些適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)來求和.因此，兩類級數(shù)的求和方法研究不是孤立的，而是相輔相成的.因此，根據(jù)級數(shù)的類型及特點，對于級數(shù)求和的常用方法，分別總結(jié)出四種常規(guī)方法，四種特殊方法.

1 級數(shù)求和的常規(guī)方法

對于簡單的級數(shù)，可以采用裂項相消法、公式法、拆項法、錯位相減法等，并借助于四則運算、變量代換、標(biāo)號代換等恒等變形，直接求出級數(shù)的和.

1.1 裂項相消法

若級數(shù)的通項為分式，且分母是因式之積的形式，則可將其通項拆成兩項之差，把差式關(guān)系代入級數(shù)的部分和中，在部分和的展開式中，一些正、負(fù)項相互抵消，只剩下有限個項，再通過求部分和數(shù)列的極限，得出原級數(shù)的和.

裂項相消法是利用級數(shù)收斂的定義來求和時經(jīng)常使用的方法，多用于數(shù)項級數(shù)的求和運算中.

解：由于部分和為

大多數(shù)函數(shù)項級數(shù)的求和比較困難，因為其部分和函數(shù)不易求出.如果函數(shù)項級數(shù)的通項為分式，且分母是因式之積，能夠拆成兩項之差，把差式關(guān)系代入級數(shù)的部分和函數(shù)中，在部分和函數(shù)的展開式中，一些正、負(fù)項可以相互抵消，也可以運用裂項相消法求和.

解：由于部分和函數(shù)為

以上兩個例題使用裂項相消法的共同目的，就是為了把Sn或Sn(x)化為有限個項，以便求出它們的極限，進而求出級數(shù)的和.

1.2 公式法

一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，可以作為冪級數(shù)求和公式來使用.仔細(xì)觀察級數(shù)的通項，與類似的已知級數(shù)求和公式相對照，將級數(shù)經(jīng)過提取變量、變量替換、拆分組合等方法，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的已知冪級數(shù)形式，代入冪級數(shù)求和公式即可求和.

例3(山西省2018年專升本試題)

1.3 拆項法

如果級數(shù)通項可拆分為有限和的形式，就可以將級數(shù)拆分成兩個(或幾個)簡單的收斂級數(shù)之和，結(jié)合公式法，分別計算各部分級數(shù)的和，再求出原級數(shù)的總和.

在冪級數(shù)求和運算中使用拆項法時，還要注意：既要分別求出拆分后的各個冪級數(shù)的收斂半徑，又要求出它們公共的收斂半徑，并且要求出和函數(shù)的收斂域.

則R=min{1,3}=1，該冪級數(shù)收斂域為x∈(-1,1)，

1.4 錯位相減法

錯位相減法，適用于通項為anbn型的級數(shù)求和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列.先將部分和Sn乘以公比q得到qSn，然后錯開一位，與原部分和Sn作差，使得部分和可用等比級數(shù)求和公式來計算，從而簡化級數(shù)求和問題.在計算中要注意：錯位相減后，等比數(shù)列求和部分的項數(shù)變成(n-1)項.

(1)

(2)

由(1)-(2)得

2 級數(shù)求和的特殊方法

對于復(fù)雜的級數(shù)，若采用以上幾種常規(guī)方法，并不能求出級數(shù)的和，則需要采用逐項求積、逐項求導(dǎo)、問題轉(zhuǎn)化、構(gòu)建微分方程等特殊方法，有時需要綜合運用以上幾種方法，間接求出級數(shù)的和.

2.1 逐項求積法

若冪級數(shù)通項系數(shù)的分子是自然數(shù)，或相鄰自然數(shù)相乘的形式，則采用先積后導(dǎo)的方法計算.先在收斂區(qū)間內(nèi)使用逐項求積法，約去分子上的自然數(shù)，求出新級數(shù)的和函數(shù)，再對此和函數(shù)求導(dǎo)，得出原級數(shù)的和函數(shù).

2.2 逐項求導(dǎo)法

分析：這是一個缺項冪級數(shù)，用比式判別法的極限形式時，要把通項整體代入，從而求出收斂半徑，

則收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(-1,1).

從而S(x)=xg(x)=xarctanx，x∈(-1,1)，

2.3 把數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)求和

有些數(shù)項級數(shù)的表達式比較復(fù)雜，無法直接用已知公式求和，可以根據(jù)級數(shù)中各項的變化規(guī)律，構(gòu)造一個容易求和的冪級數(shù)，使數(shù)項級數(shù)是此冪級數(shù)在某個收斂點x0處的值，求出冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)，代入x0，則S(x0)就是該數(shù)項級數(shù)的和.

由于S′(x)=1+x-x3-x4+x6+x7-x9-x10+…

=(1+x)-x3(1+x)+x6(1+x)-x9(1+x)+…

當(dāng)x=±1時，該級數(shù)收斂，其和函數(shù)S(x)在點x=-1處右連續(xù)，點x=1處左連續(xù)，

2.4 微分方程法

則R=+∞，收斂域為(-∞,+∞).

從而S′(x)=-S(x)+ex，

(3)

3 結(jié) 語

級數(shù)求和問題，是高等數(shù)學(xué)中的一個難度較大的問題，沒有一定之規(guī)可循.要解決一般的級數(shù)求和問題，需要掌握上述級數(shù)求和的八種常用方法，還要熟記一些常用的冪級數(shù)求和公式.對于更為復(fù)雜的級數(shù)求和問題，則需要綜合運用其中的幾種方法，或?qū)で笃渌椒ǎ拍苡行У亟鉀Q問題.