裂項
- 例析數(shù)列不等式放縮的處理途徑
(函數(shù)法)放縮、裂項放縮、對偶放縮、分類放縮、二項式定理放縮、等比放縮等.1 積分放縮2 函數(shù)放縮評注函數(shù)法即構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性進行放縮.記住基本結(jié)論:lnx≤x-1?ln(1+x)≤x.3 對偶放縮①②4 裂項放縮4.1 分母整式型裂項4.2 分母根式型裂項5 等比放縮6 分類放縮當(dāng)n為偶數(shù)時,不妨設(shè)n=2k,k∈N*,則當(dāng)n為奇數(shù)時,不妨設(shè)n=2k+1,k∈N*,同理可證.7 二項式定理放縮評注基本結(jié)論:①2n>2n+1(n≥3);②2n>n2+
數(shù)理化解題研究 2023年31期2023-12-08
- 關(guān)注“裂項”新動態(tài)
中近幾年出現(xiàn)的“裂項求和”為例,通過幾個典型的問題,展示試題裂項的創(chuàng)新點,反思復(fù)習(xí)備考的實施路徑及基本策略.2 創(chuàng)新體例評析2.1 指數(shù)式裂項例1已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,a1＝1,且nan－Sn＝n2－n(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;點評由于數(shù)列{bn}為分式結(jié)構(gòu)形式,分母為相鄰兩項之積,自然想到裂項相消求和,但此過程利用到了22n＋1＝4×22n－1這一獨特性質(zhì),前面提取即可成功裂項.從以往高考試題可以看出,指數(shù)式裂項還會出現(xiàn)新
高中數(shù)理化 2023年15期2023-09-28
- 體會本質(zhì),以不變應(yīng)萬變
——理解裂項求和的基本方法
100) 張廣民裂項求和是學(xué)生們非常熟悉的一種數(shù)列求和的基本方法,但是很多學(xué)生都是以記住了一些能夠裂項的數(shù)列的結(jié)論,在解題的過程中套用這樣的結(jié)論.但是遇到一些新的情景,就會出現(xiàn)問題.而實際上,裂項求和有著及其重要和豐富的內(nèi)涵,對于理解數(shù)列的變化規(guī)律也有著重要的作用.本文通過對這個問題背景的探索,幫助學(xué)生理解裂項求和的本質(zhì),從根源理解裂項求和,淡化特殊技巧和結(jié)論.在裂項求和的教學(xué)過程中,教師往往會強調(diào)一個常見的模型:若{an}是等差數(shù)列,且公差d ?=0,則
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2023年5期2023-09-11
- 基于數(shù)學(xué)抽象的“裂項法”教學(xué)設(shè)計探析*
新問題．下面以“裂項法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對于這個問題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項法求和的思維起點是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問題情境來讓學(xué)生自然地接受這一裂項求和的過程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，那么數(shù)列{an}的通項an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項d與數(shù)列{an}的通
中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2022年7期2022-12-04
- 基于數(shù)學(xué)抽象的“裂項法”教學(xué)設(shè)計探析*
新問題．下面以“裂項法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對于這個問題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項法求和的思維起點是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問題情境來讓學(xué)生自然地接受這一裂項求和的過程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，那么數(shù)列{an}的通項an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項d與數(shù)列{an}的通
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年7期2022-12-04
- 基于數(shù)學(xué)抽象的“裂項法”教學(xué)設(shè)計探析*
新問題．下面以“裂項法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對于這個問題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項法求和的思維起點是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問題情境來讓學(xué)生自然地接受這一裂項求和的過程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，那么數(shù)列{an}的通項an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項d與數(shù)列{an}的通
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年7期2022-12-04
- 基于數(shù)學(xué)抽象的“裂項法”教學(xué)設(shè)計探析*
新問題．下面以“裂項法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對于這個問題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項法求和的思維起點是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問題情境來讓學(xué)生自然地接受這一裂項求和的過程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，那么數(shù)列{an}的通項an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項d與數(shù)列{an}的通
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年7期2022-12-04
- 基于數(shù)學(xué)抽象的“裂項法”教學(xué)設(shè)計探析*
新問題．下面以“裂項法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．對于這個問題，多數(shù)教師采用如下解法：那么裂項法求和的思維起點是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問題情境來讓學(xué)生自然地接受這一裂項求和的過程呢？1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項”背景情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，那么數(shù)列{an}的通項an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項之間存在什么樣的聯(lián)系？情境2 等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項d與數(shù)列{an}的通
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年7期2022-12-04
- 數(shù)列求和之裂項相消法
數(shù)列求和問題中，裂項相消法占有舉足輕重的地位.本文對裂項相消法的多種類型進行梳理和歸納.所以an=n.推廣類似地，我們還可以求出通項公式為或en=n·n!=(n+1)!-n!的數(shù)列的前n項和.所以f(x)=2x+1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解析(1)an=3n-1(過程略).例4(2014年山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1,S2,S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解析(1)因為{an}的公差為2,所以Sn=
數(shù)理化解題研究 2022年28期2022-11-03
- 談數(shù)列求和的“一分為二”與“合二為一”
法、倒序相加法、裂項相消法、錯位相減法、并項轉(zhuǎn)化法等[1]. 其中裂項相消法與并項轉(zhuǎn)化法因類型多、難度大,看似簡單實則容易出錯丟分,筆者現(xiàn)將這兩類問題整理成文,與讀者學(xué)習(xí)交流.1 裂項相消法的“一分為二”2 并項轉(zhuǎn)化法的“合二為一”并項轉(zhuǎn)化求和就是按照一定的規(guī)則,將原數(shù)列的一些項求和作為新的數(shù)列的項,出現(xiàn)“合二為一”的形式,轉(zhuǎn)化為新數(shù)列的求和問題.2.1 等距并項轉(zhuǎn)化求和2.2 非等距并項轉(zhuǎn)化求和例6 記Sn= [log21]+[log22]+···+[l
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年15期2022-08-30
- 例談求數(shù)列前n項和的三種思路
的前n項和．三、裂項相消運用裂項相消法求和，關(guān)鍵有兩步：第一步，裂項，即將數(shù)列的通項公式裂為兩項之差的形式；第二步，消項．通過正負(fù)相消，消除絕對值相等，符號相反的項．在裂項的過程中，有的時候需要調(diào)整通項公式前面的系數(shù)，使拆得的兩項的結(jié)構(gòu)保持一致，常見的裂項方式有通過對上述例題的分析，可以看出，上述三種思路各有特色，且其適用范圍各不相同．同學(xué)們在求和時，只要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)列中各項的規(guī)律，改變原數(shù)列的形式、結(jié)構(gòu)，進行合理的裂項、分組，靈活運用等差、等比數(shù)列的前n項
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2022年10期2022-05-30
- 談?wù)勄蠼塘泻偷膬煞N方法
方法有很多種，如裂項相消法、錯位相減法、分組求和法、倒序相加法等，其中，裂項相消法和錯位相減法較為常用，且比較靈活，下面重點談一談這兩種求數(shù)列和的方法及其應(yīng)用技巧，一、裂項相消法運用裂項相消法求數(shù)列的和，需將所求數(shù)列的每一項分別拆成兩項之差的形式，這兩項必須一正一負(fù)，這樣在將所有的項相加時，絕對值相等、符號相反的項便會相互抵消，從而把數(shù)列前n項的和化為一個簡單的式子，得到數(shù)列的前n項和，常見的裂項方式有：總之，裂項相消法和錯位相減法均是求數(shù)列和的有效方法，
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年10期2022-05-30
- 巧裂項,妙求和
求和問題.在運用裂項相消法求數(shù)列的和時，通常要先將數(shù)列的通項公式裂為兩項之差的形式，這樣，數(shù)列中的前后項或前后幾項能夠相互抵消，化簡和式，求得數(shù)列的前n項和.運用裂項相消法求數(shù)列的和的關(guān)鍵在于對數(shù)列的通項公式進行合理的裂項.下面結(jié)合實例來談一談如何巧妙裂項，運用裂項相消法求數(shù)列的和.例1.已知數(shù)列{a}中， a，=1 ，前n項和為S.，且lgs，lgn，lg為等差數(shù)列，令6n=n，求數(shù)列的前n項和Tn.解：對于形如（a- 1）a n=an+l—an的
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年3期2022-05-21
- 淡淡型數(shù)列不等式的證法
）時，往往可采用裂項放縮法，即將數(shù)列{an}中的項an放大為bn，構(gòu)造出數(shù)列{bn}，再利用裂項相消法求得數(shù)列{bn}的和 k，然后即可證得 k ≤ n
裂項求和;（2）使所證不等式的右邊精準(zhǔn)地出現(xiàn)常數(shù) m .下面通過對實例的分析，進一步探究在一定條件下運用裂項放縮法證明“ 語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年2期2022-04-09
- 求數(shù)列和的兩種常用技巧
種，如錯位相減、裂項相消、分組求和、倒序相加等.每種求和方法的特點、適用情形都不相同.本文重點談一談求數(shù)列的和的兩種技巧：錯位相減、裂項相消.一、錯位相減若一個數(shù)列的通項公式為一個等差數(shù)列、一個等比數(shù)列通項公式的乘積，則可采用錯位相減的方法來求數(shù)列的和.在解題時，需首先寫出數(shù)列的和式，設(shè)其為 Sn ，然后在和式的左右同時乘以等比數(shù)列的公比 q，再將兩式作差，得 Sn - qSn，化簡所得的結(jié)果，即可求得數(shù)列的和.在作差時，需將其中一個和式錯開一位，以便使q
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年2期2022-04-09
- 妙用導(dǎo)數(shù)解決一類數(shù)列求和問題
列;錯位相減法;裂項;導(dǎo)數(shù);二項展開式參考文獻：[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程研究開發(fā)中心，普通高中教科書，數(shù)學(xué)：選擇性必修 第二冊 A版.北京：人民教育出版社，2020.[2] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程研究開發(fā)中心，普通高中教科書，數(shù)學(xué)：選擇性必修 第三冊 A版.北京：人民教育出版社，2020.[3] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程研究開發(fā)中心，普通高中教科書，數(shù)學(xué)：必修 第一冊 A版.北京：人民教
學(xué)習(xí)與科普 2022年13期2022-02-23
- 例談數(shù)列前n項和的求法
采用錯位相減法與裂項相消法來求和.這兩種求和方法都是根據(jù)數(shù)列的規(guī)律來進行變式與轉(zhuǎn)化，以達到求和的目的.下面我們結(jié)合實例來進行說明.一、錯位相減法若一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積構(gòu)成的，那么一般用錯位相減法來求數(shù)列的前n項和.首先寫出數(shù)列的和式，然后在和式的左右同時乘以等比數(shù)列的公比，再錯開一位將兩式相減，通過化簡便可求得數(shù)列的和.若等比數(shù)列的公比不確定，還需分別討論當(dāng)公比為l和不為1的情況.例1.已知an=n·2 n，求{an}的前
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2021年4期2021-11-24
- 另類角度看數(shù)列中的“裂項”
余鐵青 唐軍偉裂項是高中數(shù)列求和中常見且?？嫉念}型之一,該類問題具有一定巧妙性,很好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)美,很好的考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.在常規(guī)的教學(xué)中,大部分學(xué)生往往僅僅掌握一些常見的裂項的形式,并未清楚其背后的數(shù)學(xué)模型與潛在本質(zhì).因此,當(dāng)題目稍有變化,學(xué)生就可能不知所措.據(jù)此,筆者嘗試從更多角度來剖析裂項,力求揭示裂項的數(shù)學(xué)本質(zhì),并以此得出更多的非常規(guī)的裂項形式.一、常見的裂項形式高中階段,學(xué)生常見的裂項形式有(以下約定n ∈N+):4.公式型:也就是運
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2021年9期2021-06-08
- 科學(xué)備考新方向:宋紀(jì)龍
合命題，通?？疾?span id="j5i0abt0b" class="hl">裂項法、錯位相減法、分組及并項等形式的求和問題，綜合考查考生的運算求解能力和等價轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題，難度適中，多以解答題為主。題型一：并項法求和題型三：裂項相消法求和裂項相消法就是把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和。點評：裂項相消法求和的實質(zhì)是將數(shù)列中的通項進行分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項和消項。裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被
中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2021年1期2021-02-22
- 對于“裂項相消求和法”的若干思考
0)處理“數(shù)列的裂項求和”問題有兩個焦點:其一是如果沒有告訴學(xué)生裂項相消求和,學(xué)生能否想到去裂項?其二是如何引導(dǎo)學(xué)生對一些復(fù)雜數(shù)列通項公式準(zhǔn)確得到分解形式?即“何時用”、“如何用”?筆者為此有一些思考,遂將自己的淺薄的想法與各位讀者交流.一、“裂項相消求和法”的應(yīng)用情境2.利用有理分式分拆技巧進行裂項3.利用分母有理化進行裂項二、“裂項相消求和法”的思維本質(zhì)例6已知an=(n+1)2n,求數(shù)列{an}的前項和Sn.分析除了采用常規(guī)的“錯位相減法”求其前項和
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2020年23期2020-12-28
- 數(shù)列裂項求和的“源”與“流”
行等價變形，利用裂項求和的方法來求解.下面先探究可以利用裂項求和的數(shù)列類型.一、裂項求和的“源”1.學(xué)生在裂項中常見的問題2.裂項求和的模型模型1若數(shù)列an=f(n+k)-f(n)(k∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和為Sn=f(n+k)+…+f(n+2)+f(n+1)-f(1)-f(2)-…-f(k).3.裂項求和模型的特點通過模型1可以發(fā)現(xiàn)裂項求和的結(jié)果是對稱的，主要表現(xiàn)在：①前后剩余個數(shù)相同，均為k個；②前面k個數(shù)的符號與后面k個數(shù)的符號相反；③前后
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2020年2期2020-11-15
- “另類” 的裂項相消法
了考查上述常見的裂項相消，還出現(xiàn)了不少“另類”的裂項相消，體現(xiàn)了命題老師的一種創(chuàng)新.而對于學(xué)生來說，創(chuàng)新制造了不小的麻煩，對學(xué)生的思維能力和應(yīng)變能力要求較高.實際上在利用裂項相消法時，關(guān)鍵要抓住通過裂項達到相消求和的目的.下面舉例說明，以期拋磚引玉.分析將分母由兩個因式改為三個因式，但裂項時仍然將一項裂開為兩項，注意正負(fù)號和系數(shù)，達到相互抵消的目的.解由分析知于是當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，變式求數(shù)列{n·n!}的前n項和Sn.解由n·n!=(n+1)!-
數(shù)理化解題研究 2020年25期2020-10-11
- 裂項相消求和法的應(yīng)用技巧和注意事項
式及前n項的和。裂項相消法是一種常見的數(shù)列求和方法，它的實質(zhì)是將數(shù)列中的每一項（或通項公式）分解，然后重新組合，通過相互抵消消去一些項，最后只保留有限的一些項，從而達到求和的目的。本文總結(jié)了裂項相消法的應(yīng)用技巧以及注意事項，以期能給大家提供一些幫助。一、裂項相消求和法的應(yīng)用技巧1.差型裂項這個數(shù)列的通項公式可以裂為兩項之和的形式，但是因為相鄰兩項異號，所以仍然可以用裂項相消求和法。由于最后一項的符號無法確定，所以我們需要對n的奇偶性進行討論。運用裂項相消求
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2020年4期2020-09-10
- 巧用“裂項”構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義求不定式極限
應(yīng)用價值.通過“裂項”構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義，對近年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的求“不定式”極限試題進行解析與評注.關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);不定式極限;導(dǎo)數(shù)定義;裂項中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0002-03一、導(dǎo)數(shù)定義與不定式極限簡介導(dǎo)數(shù)是高中重要的知識模塊，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點.目前，大部分高中數(shù)學(xué)教師并不重視對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，正如章建躍先生所講：“當(dāng)下的概念課教學(xué)多是一種走‘形式化’的過程，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比
數(shù)理化解題研究·高中版 2020年8期2020-09-10
- 如何求數(shù)列的和
，如分組求和法、裂項相消法、錯位相減法求和、累加法、累乘法等.而數(shù)列求和問題種類繁多，絕大多數(shù)數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，不能直接用公式來求解.那怎樣才能快速地求出數(shù)列的和呢？下面重點談一談求數(shù)列和的三種辦法：分組求和法、裂項相消法、錯位相減法。一、分組求和法如果一個數(shù)列的通項公式是由幾個等差數(shù)列、等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成的，那么我們可以運用分組求和法來求該數(shù)列的和.在求和時，我們首先要從數(shù)列的通項入手，將其轉(zhuǎn)化為幾個等差數(shù)列、等比數(shù)列、可求和數(shù)列的和
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2020年10期2020-09-10
- 淺談裂項相消的本質(zhì)
的非錯位相減法、裂項相消法莫屬，本文主要從裂項的本質(zhì)來看裂項相消的。對常見的裂項相消，無非通項公式是分式型或者根式型，對通項公式是分式結(jié)構(gòu)的式子，一般處理方法是直接撕開，然后再通分回去，多了就除掉，少了就乘上;對根式型通項公式，我們的處理方法是乘上相應(yīng)的對偶式，構(gòu)造平方差公式即可，式子結(jié)構(gòu)雖有差異，但是其核心是不變的。我們來看幾道例題以上幾種情況是筆者對裂項相消法的整理，這幾種類型的題目都反映了一個核心的問題，那就是對通項公式是分式類型或者根式型求和問題，
文理導(dǎo)航·教育研究與實踐 2020年1期2020-02-28
- 一類特殊數(shù)列前n項和的求法探究
比數(shù)列，往往通過裂項、并項、錯位相減、倒序相加等方法。由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)相乘得到的數(shù)列，我們常用錯位相減法來進行求前n項和，但這一重要方法運算過程復(fù)雜且運算量大。就這一題型，下面介紹另外三種解法。一、構(gòu)造等比數(shù)列法若數(shù)列{an}的通項公式為=bn-bn-1(q≠1)，則數(shù)列{qnbn+An+B}是一個公比為q的等比數(shù)列。例1求數(shù)列的前n項和。解：此問題可以轉(zhuǎn)化為：已知b1=1，bn-，求bn。由得A=1，B=2。所以數(shù)列{3nbn+n+2}是
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高考理化) 2019年11期2019-11-30
- 對“錯位相減法”的重新認(rèn)識
雜的錯位相減法，裂項相消法，都是日常教學(xué)中的基本方法.近十年的教學(xué)一直是按照這樣的步驟和方法進行.但在今年的這一屆學(xué)生中有學(xué)生對錯位相減法提出新的建議.那是一張很平常的練習(xí)題，里面有一個填空題，是關(guān)于一個通項是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的求和即.按照平常思維就按照錯位相減法去解決.但因為當(dāng)天講了關(guān)于裂項相消法的專題，“分式結(jié)構(gòu)”引起了他的思考.于是，他嘗試也去將分成兩項，他成功了.但因為怕這是一個偶然，于是把常見的錯位相減的題目用兩種方法一起做進行比較.發(fā)現(xiàn)這是
中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究 2019年23期2019-09-20
- 裂項相消法的解題策略
。 下面我們針對裂項相消法來研究解題策略。1 裂項相消法解題策略裂項相消法是數(shù)列求和的重要方法之一， 下面我們將研究如下兩個問題。問題1：如何裂項，需要注意哪些事項？問題2：如何相消，最后剩下哪些項？裂項相消法實用范圍：若數(shù)列{an}具有特征an=bn-bn+k或an=bn+k-bn，求{an}的前n 項和，則選用裂項相消法。在實際的應(yīng)用中，所給數(shù)列{an}并不具備特征an=bn-bn-k或an=bn+k-bn，經(jīng)驗告訴我們：一般地，一個數(shù)列的通項如果是一
科技視界 2018年29期2018-12-28
- 談?wù)?span id="j5i0abt0b" class="hl">裂項求和常考題型
考查的重點內(nèi)容,裂項法是求和的重要方法之一,這里重點介紹幾種不常見的裂項求和題型,希望能幫助同學(xué)們深刻理解這種方法的思想。裂項相消法的實質(zhì)是:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差,在求和時一些正負(fù)項相互抵消,于是前n項的和變成首尾若干項之和。常用裂項形式有:例2 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2（an-1）（n∈N*）。（1）求數(shù)列{an}的通項公式;（2）設(shè)bn=ln an（n∈N*）,試求數(shù)列解析：（1）因為S
- 裂項相消法求數(shù)列的前n項和
法、錯位相減法、裂項相消法等是數(shù)列求和的通用解法，其中裂項相消法是數(shù)列求和中的非常重要的方法.裂項相消法主要是把數(shù)列中的每一項分裂為兩項或多項的形式，在后續(xù)的運算中相互抵消，從而實現(xiàn)數(shù)列求和.很多裂項相消的題目，數(shù)列通項會以分式的形式給出.在解題的過程中，需要根據(jù)具體的題目類型進行裂項，注意系數(shù)與計算最終的剩余項.一、分子、分母都是常數(shù)或者普通等差數(shù)列的分式類型這類問題最基本的裂項相消法求數(shù)列和，最簡單、最易理解，也是高中數(shù)學(xué)中最常出現(xiàn)的.通過例3的解決，
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2017年19期2018-01-02
- 裂項相消法在數(shù)列求和中的妙用
903班 孫靜楠裂項相消法在數(shù)列求和中的妙用■河南省鄭州市第一中學(xué)1903班 孫靜楠眾所周知,若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和時常用錯位相減法。但錯位相減法運算復(fù)雜,結(jié)果不易算對或不易化為最簡形式,為此,我們借助例題介紹用裂項相消法求這類數(shù)列的前n項和。分析：要想用裂項相消法求數(shù)列{an}的前n項和Sn,首先應(yīng)把an=(3n-1)×4n分解為另一數(shù)列相鄰兩項差的形式,即構(gòu)造新數(shù)列{bn},使an=b
- 高考熱點
——裂項求和與錯位相減求和評析
偉高考熱點 ——裂項求和與錯位相減求和評析■山東省濟南市章丘第一中學(xué)高二(5)班 王志偉我在學(xué)習(xí)之余發(fā)現(xiàn),每年的各地高考試題中都有一道數(shù)列主觀綜合題,其設(shè)置一般為二到三問,但是最后一問基本就是數(shù)列求和問題。而考查的數(shù)列求和方式主要有兩種:裂項求和與錯位相減求和。裂項求和與錯位相減求和在解答思路上都各有自身顯著的特點與思維模式,只要明確這些特點與思維模式,解答數(shù)列求和問題就不是難事。例1 已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,an＞0且an≠1,若數(shù)列{bn}滿足bn
- 例談裂項相消法的創(chuàng)新運用
[摘 要] 拓展裂項相消法的運用范圍，引導(dǎo)學(xué)生運用裂項相消法證明等差、等比數(shù)列的前n項和公式，解決數(shù)列求和中的一些基本問題.[關(guān)鍵詞] 裂項；創(chuàng)新；運用；舉例裂項相消法是數(shù)列求和中的一種重要方法，但教材和流行資料中僅在一些典型題目中運用. 筆者抓住裂項相消法的本質(zhì)特征，嘗試用這種方法解決數(shù)列求和中的一些基本問題，發(fā)現(xiàn)了裂項相消法創(chuàng)新運用的一些例子，現(xiàn)整理如下：例1：已知數(shù)列{an}的通項an=a1+（n-1）d，求證：數(shù)列{an}的前n項和Sn=na1+
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版 2017年6期2017-07-11
- 數(shù)列求和裂項相消問題 臨高考前答學(xué)生問
第一中學(xué)數(shù)列求和裂項相消問題 臨高考前答學(xué)生問武增明 (郵編：653100)云南省玉溪第一中學(xué)距離高考僅有一個半月，一位高三的學(xué)生焦急地問筆者這樣一個問題：“老師，我對數(shù)列求和裂項相消問題不熟，有些生疏，有沒有考前臨時抱佛腳的方法.”這是一個很棘手的問題，作為老師的我不能在臨近高考之時打擊學(xué)生的信心.筆者第二天給了學(xué)生如下文章，不是很全面，也許不妥當(dāng)，權(quán)當(dāng)臨時抱佛腳.現(xiàn)送給每一位考生，希望能夠撫平焦慮的考生.1 積累基本裂項模型(18)n·n!=(n+1)
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2017年2期2017-04-24
- 對裂項相消法求和命題形式的歸納
學(xué)高三(1)班對裂項相消法求和命題形式的歸納■天津市武清區(qū)梅廠中學(xué)高三(1)班李博文裂項相消法求和就是把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和。裂項相消法求和是歷年高考的重點,命題角度凸顯靈活多變,在解題中要善于利用裂項相消的基本思想,變換數(shù)列{an}的通項公式,達到求解目的。利用裂項相消法求和的注意事項:(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項;(2)將通項裂項后,有時需要調(diào)整前面的系數(shù)
- 例說“裂項相消法”求和
4000）例說“裂項相消法”求和林嘉慧（龍巖市高級中學(xué)，福建龍巖364000）通過實例對數(shù)列中常用的“裂項相消法”進行如下分類解說：利用分式的基本性質(zhì)裂項；利用分母有理化的方法裂項；利用排列數(shù)與組合數(shù)的性質(zhì)裂項；利用指數(shù)冪與對數(shù)的運算法則裂項；利用三角公式進行裂項；利用抽象函數(shù)的定義裂項。數(shù)列；裂項；相消有些數(shù)列的前n項和，可以從通項出發(fā)，把數(shù)列的各項分裂為兩項的差的形式，使得相加后抵消絕對值相等而符號相反的項，從而達到求和的目的，這種方法叫裂項相消法。裂
福建基礎(chǔ)教育研究 2016年2期2016-11-14
- 聚焦數(shù)列求和之裂項相消法
祥聚焦數(shù)列求和之裂項相消法安徽省和縣三中 范世祥數(shù)列求和問題因其綜合性強、解法靈活等特點成為高考考查的重點。其中通項公式拆分的方法，即裂項相消法在高中數(shù)列求和中有著廣泛的應(yīng)用，是數(shù)列求和的常用方法之一。此方法能夠很好地考查分析問題、解決問題的能力，歷年來在高考和自主招生考試以及競賽試題中不斷出現(xiàn)，且形式各異。本文分類列舉幾題，與大家共同探討。一、常見的裂項問題二、先變形，后裂項評注與例1相比，本題中的通項公式的分母雖然不是等差數(shù)列的相鄰兩項乘積的形式，但是
青蘋果 2016年5期2016-11-09
- 淺析數(shù)列求和方法
相減、直接求和、裂項相消以及分組轉(zhuǎn)化五類方法，本文的研究成果將為簡化數(shù)列求和、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供有益幫助。關(guān)鍵詞：倒序；錯位；直接；裂項；分組轉(zhuǎn)化一、倒序相加法二、錯位相減法錯位相減法不僅是進行等比數(shù)列推導(dǎo)前n項和公式時常用的重要方法，同時也是求通項公式為等差的一次函數(shù)乘以等比數(shù)列形式的和的重要方法，即錯位相減法適用于數(shù)列{an·bn}的前n項和的求解，其中{an}、{bn}分別為等差與等比數(shù)列。一般地，在已知的和式的兩邊同時乘以此數(shù)列組成中的等比數(shù)列的公比
亞太教育 2016年5期2016-10-21
- 高招、自招、競賽中的裂項相消法
很多解決的辦法，裂項相消法就是其中一種，其實質(zhì)是將求和式子中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.它是分解與組合思想在求和中的具體應(yīng)用.是最常見，最好用，也是最難掌握的方法.筆者就在高招、自主招生、及競賽中遇到的問題來談?wù)?span id="j5i0abt0b" class="hl">裂項相消法的形成思路、解題技法、出題規(guī)律，以饗讀者.1等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式的裂項法推導(dǎo)例1已知數(shù)列{an}是公差為d（d≠0），首項為a1的等差數(shù)列，求其前n項和Sn.解析an=12d（anan+1
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版) 2016年4期2016-07-27
- 巧用待定系數(shù)法裂項求和
濘敏[摘 要] 裂項相消法是解決數(shù)列求和的一種重要方法，但隨著課改的深入，裂項相消法的形式和類型也在傳統(tǒng)的等差型、等比型、無理型等基礎(chǔ)上不斷創(chuàng)新，本文將通過幾例介紹幾種特殊的用待定系數(shù)法進行裂項求和的類型，幫助學(xué)生準(zhǔn)確地將通項裂項相消，以達到求和的目的.[關(guān)鍵詞] 待定系數(shù)法；裂項求和
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版 2016年4期2016-05-27
- “裂項相消”是數(shù)列求和的方法之源
的數(shù)列求和），“裂項相消法”、“錯位相減法”等一系列的方法.筆者經(jīng)過探討an=（an+b）+c·qn發(fā)現(xiàn)，其實這些問題均可以通過“裂項相消法”予以解決. 本文對此加以解釋說明，僅供參考！一、等差數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)教材中對于等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)，采用的是“倒序相加法”，其實也可以利用“裂項相消法”求和來推導(dǎo).問題1若數(shù)列{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解析等差數(shù)列{an}的通項公式為an=a1-d+dn，只
理科考試研究·高中 2016年6期2016-05-14
- 高考中一道“裂項求和”問題課本探源
海波高考中一道“裂項求和”問題課本探源☉廣東省興寧市第一中學(xué) 賴海波“裂項求和法”是數(shù)列求和問題中重要的一種方法，多次出現(xiàn)在全國各省市的高考命題中，其本質(zhì)是“裂項相消”，即把數(shù)列的每一項裂分成兩項之差求和，正負(fù)相消之后剩下首尾若干項.本文以2014年高考山東卷中數(shù)列解答題為例，就裂項法在數(shù)列求和中的應(yīng)用進行探究.題目（2014年山東卷）已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；由題意得（2
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年2期2015-07-01
- 裂項法的常見技巧
姚晶裂項法是高考數(shù)列題的一種常見的解題方法，學(xué)生往往把握不好裂項的本質(zhì)，在本文中筆者擬從裂項的本質(zhì)入手探討裂項法的常見技巧。裂項法是將數(shù)列中的每一項（通項）分解，然后重新組合，總之，裂項法作為求和的一個重要手段，掌握好這個手段對我們解決求和問題有著重要作用，而掌握的關(guān)鍵就是把握裂項的實質(zhì)。endprint裂項法是高考數(shù)列題的一種常見的解題方法，學(xué)生往往把握不好裂項的本質(zhì)，在本文中筆者擬從裂項的本質(zhì)入手探討裂項法的常見技巧。裂項法是將數(shù)列中的每一項（通項）分
試題與研究·教學(xué)論壇 2014年2期2014-06-06
- 裂項法的常見應(yīng)用類型
蘇立標(biāo)裂項相消法是數(shù)列求和中一種常用的方法，它能把一個龐大繁雜的求和式子變成簡單易求的問題.下面我們就來談?wù)?span id="j5i0abt0b" class="hl">裂項相消法的幾個常見應(yīng)用類型.自然型自然型是跟自然數(shù)有關(guān)的一類分式求和的問題，是裂項相消法涉及的最基本的類型，我們要加以熟練掌握.常見的裂項形式有（n∈N*）：=-；=-，k≠0；=-；=-.例1 正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，n∈N*.（1） 求數(shù)列{an}的通項公式；（2） 令bn=，數(shù)列{bn}的
中學(xué)生天地·高中學(xué)習(xí)版 2014年3期2014-03-10
- 數(shù)列中裂項相消的常見策略
4000)數(shù)列中裂項相消的常見策略●馬杰(宿州學(xué)院附屬實驗中學(xué) 安徽宿州 234000)裂項相消是數(shù)列中常見的求解策略，裂項的本質(zhì)是把數(shù)列中的乘積形式變成2項差的形式.近幾年的數(shù)學(xué)高考試題頻頻用到此類方法，本文就解決這類問題的策略結(jié)合常見的試題給予概括總結(jié),以供參考.1 利用分式的通分進行裂項分析因為所以例2已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn.(1)求a4及Sn；(2010年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)分析(1)略.
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2012年1期2012-11-06