展 銘， 郭勤濤， 岳 林， 張保強

(1.南京航空航天大學(xué)機電學(xué)院 南京，210016) (2.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院 廈門，361005)

引 言

在機械、土木、航空航天以及武器裝備等領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)設(shè)計和研發(fā)過程中，建模和仿真分析已經(jīng)成為了一種重要的手段[1]。隨著結(jié)構(gòu)設(shè)計對仿真分析的重視，仿真模型的精度越來越受到人們的關(guān)注。在建立結(jié)構(gòu)有限元模型時，模型中的參數(shù)大多是建模者根據(jù)相關(guān)手冊或是自身的經(jīng)驗設(shè)定，這必然會導(dǎo)致所建模型與真實模型的響應(yīng)存在一定的誤差，從而使得基于模型的結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測偏離結(jié)構(gòu)的真實響應(yīng)。模型修正是根據(jù)結(jié)構(gòu)試驗信息對仿真模型中的參數(shù)進行校準，從而達到縮小仿真分析和試驗測試之間誤差的目的的過程。

有限元模型修正可以分為矩陣型和參數(shù)型兩大類。矩陣型方法[2]直接對結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進行修改，修正后的矩陣往往不具備帶狀稀疏性，使得其物理意義不明確，因此該方法的應(yīng)用較少。參數(shù)型方法將模型中的幾何、材料屬性、連接剛度等參數(shù)作為待修正變量，通過構(gòu)造優(yōu)化問題并采用靈敏度分析方法或優(yōu)化設(shè)計方法，獲得使仿真分析和試驗測試誤差最小的參數(shù)組合，從而達到修正的目的[3]。近年來，有限元模型修正吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注。在修正參數(shù)選擇方面，姜東等[4]從結(jié)構(gòu)固有頻率的能量法出發(fā)，研究了模型修正中參數(shù)選擇的方法。Calvello等[5]采用逆分析方法選擇模型修正中誤差的敏感參數(shù)。在修正的響應(yīng)量選取方面，張保強等[6]用模態(tài)頻率和有效模態(tài)質(zhì)量誤差的殘差，基于遺傳算法實現(xiàn)了梁結(jié)構(gòu)的修正。Sanayei等[7]采用靜態(tài)和模態(tài)試驗數(shù)據(jù)修正橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度。Guo等[8]基于應(yīng)變頻響函數(shù)的相關(guān)性實現(xiàn)了有限元模型修正。在修正策略方面，針對復(fù)雜連接結(jié)構(gòu)，朱躍等[9]采用分層思想將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分成多個子結(jié)構(gòu)，分別對子結(jié)構(gòu)進行修正，并將修正后子結(jié)構(gòu)參數(shù)帶入到整體結(jié)構(gòu)中，實現(xiàn)了整體結(jié)構(gòu)的修正?；诩s束子結(jié)構(gòu)思想，楊秋偉等[10]實現(xiàn)了基于局部子結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)修正的約束子結(jié)構(gòu)法。Xiao等[11]提出了Bayes-Kriging的修正方法。大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的模型修正過程往往計算成本較大，Ren等[12]用響應(yīng)面代替有限元模型，實現(xiàn)了基于靜態(tài)響應(yīng)的模型修正。方劍光等[13]基于代理模型，實現(xiàn)了汽車懸架的多體動力學(xué)模型修正。Li等[14]結(jié)合模型降階技術(shù)提出了一種新的模型修正迭代方法。關(guān)于模型修正更好的理解可以參閱文獻[15]。

上述文獻多數(shù)是使用振動響應(yīng)，如模態(tài)頻率、加速度、位移等進行修正。在工程實踐中會出現(xiàn)響應(yīng)對局部狀態(tài)參數(shù)不敏感的情況，從而導(dǎo)致修正過程無法得到合理的應(yīng)力分布準確模型。此外，在多數(shù)情況下修正后的模型用于強度分析或結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，選擇一種能夠同時反映結(jié)構(gòu)全局特征和局部狀態(tài)的響應(yīng)對于有限元模型修正至關(guān)重要。應(yīng)變模態(tài)包含結(jié)構(gòu)全局的頻率信息和能夠表征結(jié)構(gòu)局部狀態(tài)的應(yīng)變振型信息，可以將其作為有限元模型修正的目標響應(yīng)。

筆者以應(yīng)變模態(tài)為目標響應(yīng)量，采用仿真和 “試驗?zāi)Ｐ汀钡膽?yīng)變模態(tài)頻率誤差及模態(tài)置信度誤差，構(gòu)造待修正的目標函數(shù)。采用遺傳算法，搜索目標函數(shù)的最小值，獲得穩(wěn)定收斂的待修正參數(shù)組合，并對修正結(jié)果進行了驗證。

1 應(yīng)變模態(tài)

1.1 應(yīng)變模態(tài)推導(dǎo)

在有限元中，單元節(jié)點的位移向量和單元內(nèi)任一點的位移向量存在如下關(guān)系

(1)

根據(jù)應(yīng)變是位移的一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系可知，單元n內(nèi)任意一點的應(yīng)變εn可表示為

(2)

其中：Bn為單元應(yīng)變矩陣，描述位移與應(yīng)變之間的變換關(guān)系。

對于結(jié)構(gòu)整體而言，式(2)可寫為

ε=Bφe

(3)

其中：ε為結(jié)構(gòu)中所有點的應(yīng)變值；B為結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變矩陣；φe為結(jié)構(gòu)所有單元的節(jié)點位移。

記總體坐標中節(jié)點位移向量為φs，局部坐標和總體坐標系之間的轉(zhuǎn)換矩陣為T，則存在如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系

φe=Tφs

(4)

將式(4)代入式(3)中可得

ε=BTφs

(5)

多自由度系統(tǒng)的振動方程為

(6)

其中：M，C，K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；f為外載荷。

令f=Fejωt，則φs=Usejωt，代入到式(6)中可得

(-ω2M+jωC+K)Us=F

(7)

由模態(tài)疊加法可知，式(7)的解為

(8)

其中：φ=diag(φ1,φ2,…,φk)為結(jié)構(gòu)的位移模態(tài)振型；Y=diag(Y1,Y2,…,Yk)，且Yi=(-ω2mi+jωci+ki)-1。

將式(8)結(jié)合φs=Usejωt代入式(5)中可得

ε=BTφYφTFejω t=ψεYφTFejω t=

(9)

1.2 應(yīng)變模態(tài)置信度

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)可知，結(jié)構(gòu)的位移模態(tài)振型以及應(yīng)變模態(tài)振型均具有正交性。但是，由于仿真分析中的參數(shù)設(shè)置以及試驗測試中的傳感器配置、噪聲干擾等因素的存在，導(dǎo)致仿真分析的應(yīng)變模態(tài)和試驗測試的應(yīng)變模態(tài)振型之間可能存在差異。Allemang[16]等提出了一種評價位移模態(tài)相關(guān)性的方法，即位移模態(tài)置信度(displacement modal assurance criterion,簡稱DMAC)，借鑒該方法筆者采用應(yīng)變模態(tài)置信度(strain modal assurance criterion,簡稱SMAC)評價仿真分析和試驗應(yīng)變模態(tài)振型的相關(guān)性，其計算方法如下

(10)

模態(tài)置信度矩陣的對角線元素越接近于1且非對角線元素越接近于0，表明仿真分析和試驗測試的應(yīng)變模態(tài)振型相關(guān)性越高。在工程實踐中，要求模態(tài)置信度矩陣對角線元素大于0.7，且非對角線元素小于0.2。

2 結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型修正基本理論

2.1 模型修正方法

有限元模型修正屬于典型的動力學(xué)反問題，可以歸結(jié)為如下的優(yōu)化形式

(11)

其中：x為待修正參數(shù)；lb和ub分別為x的下限和上限；R(x)代表待修正的目標，常為仿真模型和試驗測試對應(yīng)的特征量殘差的函數(shù)。

結(jié)構(gòu)前m階應(yīng)變模態(tài)的頻率相對誤差為

(12)

結(jié)構(gòu)前n階應(yīng)變模態(tài)置信度相對誤差為

(13)

2.2 遺傳算法

隨著學(xué)科交叉融合，研究者受自然規(guī)律等的啟發(fā)，設(shè)計了多種智能優(yōu)化算法。遺傳算法是根據(jù)生物進化論和遺傳規(guī)律提出，其實現(xiàn)過程不需要求解目標函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息，具有搜索目標函數(shù)全局最優(yōu)解的能力，基本實現(xiàn)步驟如下：

1) 數(shù)碼轉(zhuǎn)換，即在優(yōu)化前將可行域按照一定的原則轉(zhuǎn)換到遺傳算法能夠識別和計算的數(shù)碼形式，完成優(yōu)化后再將其轉(zhuǎn)換成十進制編碼的可行解;

2) 適應(yīng)度評價，即根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)判斷變量更新時種群中某一個體相對于其他個體的優(yōu)劣程度;

3) 遺傳操作，指模仿生物進化過程對變量個體基因進行的變換，包含選擇、交叉和變異3種方式。

圖1 加筋壁板有限元模型Fig.1 Finite element model of stiffened wall plate

3 算 例

加筋壁板結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天、機械工程等領(lǐng)域，主要包括底板、夾持邊以及加強筋三部分，夾持邊和加強筋通過機械連接與底板相連。在Nastran中建立某加筋壁板結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖1所示。模型中底板、夾持邊以及加強筋采用二維四邊形單元描述，連接部分采用bush單元描述，且夾持邊、加強筋與底板的連接剛度分別設(shè)為兩組不同的參數(shù)。

將加筋壁板有限元模型中的材料彈性模量、夾持邊與底板連接的法向和切向剛度、以及加強筋與底板連接的法向和切向剛度作為待修正參數(shù)。本研究使用應(yīng)變模態(tài)作為響應(yīng)的模型修正方法，通過改變模型中待修正參數(shù)值并在對應(yīng)模型計算的應(yīng)變模態(tài)振型中加入5%的高斯白噪聲模擬試驗測試及模態(tài)識別過程中的誤差，構(gòu)造用于修正的“試驗?zāi)Ｐ汀?。采用結(jié)構(gòu)的前6階模態(tài)作為修正的目標響應(yīng)，根據(jù)第2節(jié)中應(yīng)變模態(tài)頻率誤差及應(yīng)變模態(tài)置信度誤差的定義，采用兩種誤差的加權(quán)和作為待修正的目標函數(shù)，即

f(x)=W1Eω+W2Esmac

(14)

其中：f(x)為用于修正的目標函數(shù)；Eω，Esmac分別為應(yīng)變模態(tài)頻率誤差和應(yīng)變模態(tài)置信度誤差；W1，W2分別為應(yīng)變模態(tài)頻率誤差和應(yīng)變模態(tài)置信度誤差的權(quán)重，在文中兩權(quán)重值均取為1。

模型修正最基本的要求是復(fù)現(xiàn)用于修正的響應(yīng)特征，更重要的是對于其他響應(yīng)特征量的預(yù)測。將修正后的待修正參數(shù)值代入加筋壁板有限元模型中，并采用結(jié)構(gòu)的第7～10階應(yīng)變模態(tài)驗證修正后模型的精度。有限元模型修正前后，加筋壁板的前10階頻率及誤差如表1所示。

表1 修正前后結(jié)構(gòu)頻率及誤差

從表1所示的頻率誤差可以看出，經(jīng)過有限元模型修正，在修正頻段內(nèi)應(yīng)變模態(tài)頻率最大誤差從15.78%降為9.29×10-2%，頻率絕對平均誤差從8.35%減小到3.42×10-2%。在修正頻段外，結(jié)構(gòu)預(yù)測的頻率最大誤差從8.93%降為2.96×10-2%，預(yù)測頻率的絕對平均誤差從4.48%減小到1.85×10-2%。表明修正過程有效降低了有限元模型仿真頻率誤差，修正后有限元模型不僅能夠復(fù)現(xiàn)修正頻段內(nèi)的應(yīng)變模態(tài)，同時也具有一定的外推預(yù)測能力。

有限元模型修正前后，加筋壁板的前10階位移模態(tài)置信度DMAC以及應(yīng)變模態(tài)置信度SMAC矩陣對角線值如表2所示。

表2 修正前后結(jié)構(gòu)模態(tài)置信度

從表2所示的應(yīng)變模態(tài)MAC值可知，經(jīng)過修正后仿真分析和“試驗?zāi)Ｐ汀敝g的位移振型和應(yīng)變振型置信度均有顯著提高，修正后的模型接近“試驗?zāi)Ｐ汀?。此外，?中的模態(tài)置信度顯示，用于修正的6階模態(tài)中有4階位移模態(tài)置信度大于0.95，而應(yīng)變模態(tài)置信度相對于位移模態(tài)整體偏低。上述數(shù)據(jù)表明，待修正參數(shù)改變會引起應(yīng)變模態(tài)置信度值發(fā)生更大的改變，即應(yīng)變模態(tài)置信度相對于位移模態(tài)置信度對結(jié)構(gòu)參數(shù)改變更為敏感。

4 結(jié)束語

筆者將應(yīng)變模態(tài)置信度作為有限元模型修正的目標響應(yīng)量，采用應(yīng)變模態(tài)頻率和應(yīng)變模態(tài)振型相關(guān)性誤差構(gòu)造目標函數(shù)，基于遺傳算法實現(xiàn)了一種有限元模型修正方法。以某加筋壁板結(jié)構(gòu)為研究對象，對結(jié)構(gòu)中的參數(shù)進行了修正，驗證了所提方法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)有限元模型修正的正確性和可行性,并得到如下結(jié)論：a.模態(tài)置信度不僅可以用于評價兩個模型對應(yīng)模態(tài)振型的相關(guān)性，同時也是有限元模型修正中的實用性很強的一類綜合響應(yīng)特征，并且應(yīng)變模態(tài)置信度比位移模態(tài)置信度對結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變更為敏感；b.在修正頻段內(nèi)，所提方法降低了初始模型和“試驗?zāi)Ｐ汀敝g的誤差，有效復(fù)現(xiàn)了修正頻段內(nèi)的應(yīng)變響應(yīng)；c.修正后的有限元模型具有一定的外推預(yù)測能力，能夠較準確地預(yù)測修正頻段外的結(jié)構(gòu)應(yīng)變響應(yīng)。