任曉崧， 鐘 源， 郭雪峰， 宗 剛

(1.同濟大學 土木工程學院結構工程與防災研究所，上海 200092；2. 林同棪國際工程咨詢中國有限公司，重慶 401121)

樓梯是現(xiàn)代建筑中最具功能性的要素之一，是建筑中與人接觸最普遍、最密切的建筑構件。與傳統(tǒng)的混凝土樓梯相比，鋼樓梯具有強度高、自重輕、施工速度快、抗震性能好和造型優(yōu)美等特點，而且便于安裝和拆卸，因此得到了廣泛的應用[1]。近年來為了滿足建筑設計要求，輕柔懸挑鋼樓梯在實際工程中的應用日益增多，但其結構設計多以靜力強度和變形量作為控制指標。事實上，這類鋼樓梯一般屬于空間受力體系，其本身輕柔阻尼小，人員通行時會產(chǎn)生較大振動。這類振動一方面引發(fā)舒適度問題，另一方面，在共振狀態(tài)下結構的動力反應亦需引起重視[2-4]。有限元數(shù)值分析是一種有效的結構設計輔助手段[5-6]，已有許多研究學者采用該方法對輕柔鋼樓梯的振動問題進行了分析，如文獻[1]中的朱前坤等采用ANSYS軟件對某梁式鋼樓梯在人致激勵下的振動舒適度進行了分析，王贊等[7]利用ANSYS軟件探討了某大跨旋轉(zhuǎn)鋼樓梯的結構設計問題，劉尚倫等[8]利用Midas Gen軟件對某超高層懸挑螺旋樓梯的舒適度進行了分析。

有限元分析雖然有諸多優(yōu)勢，但對這類結構進行振動驗算時，常需使用單個確定性荷載來模擬人行激勵，再通過動力分析獲得結構加速度反應。事實上，人行走時步頻、步長、自重和動力系數(shù)的隨機性特點決定了人行激勵的隨機性，因此確定的荷載模式分析難以反映隨機因素對分析結果可靠性的影響；同時在應用有限元軟件進行動力時程數(shù)值分析的過程中，不可避免地會遇到因物理工況改變而重新建模和計算等問題，不利于工程應用[9-10]。

本文以某公共建筑室內(nèi)懸挑鋼樓梯為工程背景，系統(tǒng)探討鋼樓梯加速度設計反應譜的計算與擬合過程，并以該樓梯的振動實測結果，驗證了采用加速度反應譜進行快速估算的適用性。分析結果表明，動力加速度反應譜方法可用于工程實踐中對鋼樓梯動力反應的快速估算；本文研究的分析過程也為建立一般鋼樓梯加速度設計反應譜工作提供了實用的方法論框架。

1 動力加速度反應譜的基本原理與計算

1.1 基本原理

反應譜法將動力問題簡化為靜力問題，因其簡單實用而被廣泛應用于工程實踐。借助于人行天橋、建筑樓板的相關研究成果[11-13]，本文提出了鋼樓梯動力反應計算中的反應譜法，與熟知的地震作用反應譜不同，因鋼樓梯所考慮的動力反應多與舒適度評價相關，故相應的反應譜以加速度幅值為指標[14]。

鋼樓梯在人行荷載作用下的動力反應假定為多自由度系統(tǒng)強迫振動問題。令結構上的外力為{P(t) }={p1(t),p2(t),…,pi(t),…,pn(t) }T，可得到結構的強迫振動反應方程，采用振型分解法可得到振型坐標解耦方程。由于樓梯上行人通行不產(chǎn)生非線性效應，故可首先考慮單人通行模式，將單個人員行走離散為與步頻一致的時間序列點集，則對應于某一時點(即某一人行踏步)的結構受力狀態(tài)可等效為只對結構體系的第r個質(zhì)點(與其時間點對應的行人空間位置對應)施加作用力，其它質(zhì)點無作用力，通過對振動質(zhì)量進行歸一化處理后可得到：

(1)

該式為標準激勵反應系統(tǒng)表達式。

1.2 計算基本流程

圖1 標準激勵系統(tǒng)均方根加速度反應譜計算流程Fig.1 Calculation procedures of RMSacceleration response spectrum in standard excitation system

1.3 標準步行荷載的確定

對于一般平地上的人行荷載模型，AISC(America Institute of Steel Construction)將人行荷載表示為如下Fourier級數(shù)：

P=P[1+∑αtcos(2πifstept+φi)]

(2)

式中：P為人的體重；αi為第i階簡諧荷載動力系數(shù)；i為諧波數(shù)；fstep為運動荷載頻率；t為時間；φi為簡諧荷載初始相位角，上述參數(shù)對應取值建議如表1所示[16-17]。

表1 荷載頻率和動力系數(shù)Tab.1 Forcing frequencies(fstep) and dynamic coefficients(αi)

對于樓梯上的人行激勵模式[18]，可由人體自重、動力系數(shù)、步頻和諧波相位角等參數(shù)確定。杜永峰等[19]提出了行人上、下通過樓梯時的動力荷載模型，并通過一系列試驗對模型中動力系數(shù)及相位角等參數(shù)的取值提出了建議。Gaile建議的荷載模型中豎向、橫向激勵分別如式(3)所示。

(3)

表2 豎向激勵動力系數(shù)和初相角Tab.2 Dynamic coefficients and initial phase of vertical load

表3 橫向激勵動力系數(shù)和初相角Tab.3 Dynamic coefficients and initial phase of transverse load

從步頻上來看，已有研究結果表明[21-22]，行人在平坦地面走動的基礎步頻(fz)在1.5～3.0 Hz之間，離散性較大；而與平地上走動不同，行人在上、下樓梯時因考慮最佳的行走舒適性及通行性要求，步頻變化范圍較小，當樓梯的使用性質(zhì)確定后，步頻一般相對穩(wěn)定。從幅值上來看，因上、下樓梯通行情況不同導致兩種情況的動力系數(shù)取值有所差異，并且與平地上人行荷載均有所不同，故為準確反映樓梯上的荷載情況，本文選用Gaile建議的荷載模型進行單人激勵下的結構動力計算。

為明確公共鋼樓梯的人行步頻范圍，本文選取不同教學樓、辦公樓內(nèi)共8部公共部位的鋼樓梯，對其行人上、下樓的步頻進行實測統(tǒng)計，每部樓梯的行人上、下通行測試組不少于20組，通行狀態(tài)為暢通?；诖?，將實測步頻統(tǒng)計結果示于表4中。根據(jù)式(3)及表4統(tǒng)計值可得到對應統(tǒng)計均值步頻的上、下樓梯單步荷載曲線分布圖，如圖2所示，圖中的3倍基礎頻率可近似為跑動狀態(tài)，2倍頻則近似為快走狀態(tài)。

表4 單人走動步頻統(tǒng)計表Tab.4 Pacing frequency for only one person

1.4 Monte Carlo隨機模擬

圖2 樓梯行走單步荷載曲線Fig.2 Load history for ascending

圖3 上樓梯標準激勵系統(tǒng)均方根加速度反應譜曲線(ξ=0.6%)Fig.3 RMS spectrum curves of standard excitation system while ascending (ξ=0.6%)

圖3中淺色曲線簇對應2.0 Hz步頻、系統(tǒng)阻尼比取0.6%時的1 500次隨機模擬結果集，而圖中粗實線即為90%保證率統(tǒng)計擬合曲線。

2 加速度反應設計反應譜

2.1 設計反應譜的擬合

由系統(tǒng)的加速度隨機反應曲線簇可以發(fā)現(xiàn)，卓越反應大多集中在基礎步頻及其倍頻附近，但考慮到實際結構設計的位移限值及基本的舒適度控制指標[24]，文獻[5]中指出實際樓梯結構基頻往往高于3.0 Hz，低頻段雖有卓越反應，但對絕大部分工程無實際意義，故在此亦僅對3.0 Hz以上反應頻帶進行設計譜分析。

豎向反應與橫向反應的曲線樣本分布區(qū)間有所差異，豎向反應的突出頻段有三部分： 3.0～6.0 Hz的寬峰段， 6.0～7.5 Hz的平臺段及7.5～30.0 Hz的下降段；橫向反應的突出頻段有兩部分： 3.0～7.0 Hz的寬峰段及7.0～30.0 Hz的下降段。為滿足工程實踐的易用性要求，借鑒地震作用設計反應譜的建立方法，本文對鋼樓梯的加速度反應提出相應的設計反應譜。

(1)平臺段幅值擬合

將所關心的系統(tǒng)反應平臺段進行分段離散[25](離散數(shù)量滿足相應的統(tǒng)計分析要求)，并基于樣本統(tǒng)計結果進行分布的假設檢驗。分析結果表明，Weibull模型可較好地描述樣本的概率分布，其累積概率函數(shù)及概率密度函數(shù)分別為：

(4)

(5)

圖4 均方根加速度設計反應譜Fig.4 Design RMS spectrum

表5 單人通行時的設計反應譜平臺表達式Tab.5 Formulaofspectrumplatformwhileapersonpassing

表6 單人通行時的設計反應譜衰減系數(shù)γ、特征系數(shù)λTab.6 Formulaofattenuationcoefficient, characteristic parameter of spectrum whileapersonpassing

式中：arms表示反應譜值，P表示對應arms的保證率，m表示該Weibull分布的形狀參數(shù)，n表示比例參數(shù)。

對式(4)求反函數(shù)，可得擬合譜值與對應保證率的關系如式(6)所示，即設計反應譜的平臺段幅值。

arms=m[-ln(1-p)]1/n

(6)

各平臺段間采用直線連接。

(2)下降段擬合

統(tǒng)計計算結果表明，反應譜曲線的7.0～20.0 Hz下降段可由式(7)的表達式較好擬合：

(7)

大于20.0 Hz后的下降段，對系統(tǒng)反應的影響很小，可采用線性函數(shù)進行擬合。

經(jīng)上述處理后，鋼樓梯在單人通行時的結構系統(tǒng)均方根加速度設計反應譜擬合函數(shù)由表5和表6(保證率均取90%)給出，圖4所示為ξ取2.0%時的曲線圖。

由表5及圖4可見，豎向振動均方根加速度設計反應譜中出現(xiàn)了二階平臺，這與我國抗震設計規(guī)范的設計反應譜具有一定差別。其主要原因在于人行荷載的特殊性，也即人行荷載具有倍頻的影響，這也造成了豎向振動均方根加速度設計反應譜中二階平臺的出現(xiàn)。

2.2 結構反應估算

工程實際中，采用表5給出的均方根加速度反應譜進行人行荷載下的樓梯振動水平估算時，可參考如下流程。

(1)對擬評估的結構進行基本動力特性參數(shù)識別，包括固有頻率、阻尼比、主控振型、振型質(zhì)量與剛度等。參數(shù)識別可通過數(shù)值分析或動力實測實現(xiàn)。

(2)根據(jù)結構動力特性參數(shù)識別結果，選取合理的反應譜控制參數(shù)，獲得相應的反應譜幅值。對于工程實際中常見的鋼樓梯加速度設計反應譜參數(shù)的取值建議，可參考文獻[26]中附錄表1～6。

(3)結構驗算點處的振動水平基于考慮組合效應的振型分解法進行，由式(8)給出。

(8)

式中：arms,j為第j階振型的均方根加速度反應幅值，φjk

為第j階振型向量在設計驗算點k處的幅值，φjr為人行產(chǎn)生的激勵點r處對應的第j階振型向量幅值，實際中可取人行產(chǎn)生最大值時的r點。

2.3 多人通行情況討論

(9)

式中：RN為多人組合折減后的結構總反應；R為單人工況下的結構反應；N為通行人數(shù)。

3 動力實測驗證

以某公共建筑室內(nèi)懸挑鋼樓梯為實測對象，驗證本文提出的均方根加速度反應譜動力估算方法的適用性。

3.1 動力參數(shù)識別

采用人工激勵、脈動激勵方法，對圖5(a)中所示的懸挑鋼樓梯基本動力特性參數(shù)(固有頻率、阻尼比、振型、振型質(zhì)量與剛度)進行動測識別，測點布置見圖5(b)和圖5(c)所示。動測設備為Iotech-645U型環(huán)境振動采集儀，配套Lance115型低頻壓電加速度計，采樣率為256 sps，實測樣本有效線性頻帶為0.2～100 Hz。動力參數(shù)的識別結果如表7所示，振型識別結果見表8，考慮篇幅限制，表8中未給出全部振型測點識別結果。

圖5 鋼樓梯測試點位布置圖Fig.5 Appearance and position of site test

表7 自振頻率、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度及阻尼比識別結果Tab.7 Recognition results of natural frequency, modal mass, modal stiffness and damping ratio

表8 振型識別結果Tab.8 Recognition results of modal

4.2 動力反應實測對比

通過對結構動力特性的分析可知，鋼樓梯在人行荷載下的動力反應在平臺板處最大，故在確定反應觀測點位時只需考慮平臺板外梯梁，綜合考慮各種因素后，動力反應試驗觀測點取圖5中的1#測點。

表9 試驗人員編號及體重Tab.9 Testers’ number and weight

由于本文研究鋼樓梯位于學校教學樓，其主要使用對象多為年輕學生以及老師，因此在進行單人激勵動力測試時選用學生作為激勵源，因樓梯寬度限制，試驗成員總?cè)藬?shù)為5人，各個成員的體重匯總于表9中。在進行自由通行樓梯的測試中，試驗成員先從樓梯頂端走到底端，然后再從底端走到頂端，在此過程中旁邊有計時人員記錄試驗人員每次走動的時間，以便統(tǒng)計上、下樓梯步頻。每次試驗前各個成員均在樓梯附近平地進行小范圍走動，保證以最舒適的狀態(tài)上、下樓梯，每個工況均重復進行至少15次以保證最終統(tǒng)計結果的準確性。在進行以固定步頻通行樓梯的試驗中，計時人員手拿節(jié)拍器，試驗人員跟隨節(jié)拍器的節(jié)奏進行上、下樓梯走動。單人和多人試驗工況，如表10所示。

選取圖5中的1#測點為設計驗算點，現(xiàn)場分別對單人通行和多人通行的結構振動反應進行實測，典型的實測樣本及Fourier譜圖，如圖6所示。

表10 單人及多人試驗工況統(tǒng)計表Tab.10 Statistical table under different conditions

對各工況下1#測點處的實測加速度反應有效值進行統(tǒng)計計算，并取多樣本統(tǒng)計期望作為評價量，相應的結果由表11、12給出；同時，將表7中的動力實測參數(shù)代入式(8)及式(9)中，可得到1#測點對應的反應譜方法估算結果，同樣由表11、12給出。表11、12中的誤差項δ由式(10)給出，表示采用反應譜方法的估算結果與實測量的差異。

(10)

由表11、12的實測與估算比較結果可見：

(1)單人工況下的反應譜估算結果與實測結果吻合較好，豎向反應的估算誤差在2.0%以內(nèi)，橫向反應的誤差在6.0%以內(nèi)，說明反應譜方法可較完備地考慮豎向反應的主要參與振型，但橫向反應僅考慮了一階橫向振型，忽略了實際情況中高階振型及扭轉(zhuǎn)效應的貢獻，導致估算結果有一定的偏差，但仍滿足一般的工程振動舒適度評價要求(振動加速度級差異在0.5 dB以內(nèi))。

圖6 典型實測樣本及Fourier譜圖Fig.6 Typical experimental samples and Fourier spectrum

表11 單人工況實測結果與反應譜計算結果對比(×10-2m/s2)Tab.11 Results of vertical response for a person while passing(×10-2m/s2)

表12 多人工況實測結果與反應譜計算結果對比(×10-2m/s2)Tab.12 Results of vertical response for persons while passing(×10-2m/s2)

(2)多人通行時，估算結果誤差較單人工況大，最大誤差接近10.0%；誤差的放大一方面是因為多人通行時的高階振型貢獻更大，同時也更易引發(fā)樓梯結構的扭轉(zhuǎn)效應，導致反應譜所考慮的參與振型不足；另一方面，式(9)給出的多人工況簡化處理方法與多人通行實際情況之間的差異也是造成誤差放大的因素之一?？紤]一般工程振動舒適度評價問題，該誤差對應的振動加速度級在1.0 dB以內(nèi)，工程上可以接受。

4 主要結論

本文以某公共建筑室內(nèi)鋼樓梯為工程背景，系統(tǒng)探討了鋼樓梯加速度設計反應譜的建立與應用：

(1) 選取不同教學樓、辦公樓內(nèi)共8部公共部位的鋼樓梯，對行人上、下樓的步頻進行實測統(tǒng)計，并在標準激勵系統(tǒng)動力方程基礎上，采用Monte Carlo隨機模擬獲取了標準激勵系統(tǒng)均方根加速度反應譜；

(2)統(tǒng)計并擬合建立了可應用于工程快速估算的實用設計反應譜；

(3) 以某公共建筑室內(nèi)鋼樓梯為實測對象，進行了單人和多人工況下的反應譜方法估算與實測對比。單人工況下反應譜估算結果與實測結果最大誤差在6.0%以內(nèi)，滿足一般工程實踐要求；多人工況下反應譜估算結果與實測結果誤差可控制在10.0%以內(nèi)，對于舒適度水平的評價而言是可以接受的。

本文提出的人致激勵下樓梯加速度設計反應譜方法適用于一般鋼樓梯振動水平的估算。