張 龍，胡世軍

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

我國現(xiàn)代化工業(yè)發(fā)展進(jìn)程中，齒輪是不可或缺的機(jī)械零件，數(shù)控滾齒機(jī)床在加工齒輪的過程中起十分重要的作用。目前主要使用誤差補(bǔ)償法來提高齒輪的制造精度，而準(zhǔn)確建立機(jī)床誤差幾何模型是進(jìn)行誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵步驟，因此如何建立機(jī)床誤差幾何模型是目前需解決的難題。

近年來，人們大多通過多體系統(tǒng)理論研究法來解決復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)產(chǎn)生的誤差問題。多體系統(tǒng)可以對復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動進(jìn)行概括，能夠綜合考慮機(jī)械系統(tǒng)相鄰部件的聯(lián)系，避免了建模過程中零部件的缺失，該方法具有準(zhǔn)確化、公式化、廣泛化、便于計(jì)算等特點(diǎn)[1]。

本文以多體系統(tǒng)理論研究法為依據(jù)，通過對滾齒機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分析計(jì)算，得到相鄰部件產(chǎn)生的誤差，利用坐標(biāo)變換原理，建立誤差幾何模型，經(jīng)過對幾何模型進(jìn)行誤差解耦，最終求得機(jī)床各軸的誤差補(bǔ)償量。

1 YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)床結(jié)構(gòu)分析

目前齒輪加工的方法主要有兩大類，一類是成形法[2]，其特點(diǎn)是加工精度和生產(chǎn)效率均比較低，不適合工業(yè)大批量生產(chǎn)；另一類是展成法，使用一把刀具，加工相同模數(shù)、相同壓力角、不同齒數(shù)的齒輪，其加工精度與生產(chǎn)效率均比較高，故在工業(yè)生產(chǎn)中常使用此方法。齒輪加工的機(jī)床類型眾多，如滾齒機(jī)、插齒機(jī)、磨齒機(jī)等。本文以滾齒機(jī)為研究對象，通過一系列技術(shù)手段，提高齒輪的加工精度。

圖1為YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)的簡化物理結(jié)構(gòu)圖，它主要完成3部分運(yùn)動：

1)主運(yùn)動，即滾刀的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。

2)嚙合運(yùn)動，即齒坯和滾刀按照一定的速度比旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。

3)進(jìn)給運(yùn)動，即滾刀沿著齒坯軸向進(jìn)給運(yùn)動。

圖1 YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)簡化物理結(jié)構(gòu)圖

2 滾齒機(jī)床加工誤差幾何模型的建立

進(jìn)行誤差補(bǔ)償最重要的步驟是幾何誤差建模。當(dāng)前幾何誤差建模有諸多方法，例如多體系統(tǒng)理論法[3]、三角幾何法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和誤差矩陣法等，在這些方法中，利用多體系統(tǒng)理論方法來建立誤差模型，可以將齒輪機(jī)械的復(fù)雜性及系統(tǒng)的彼此關(guān)系進(jìn)行綜合考量，從而大幅度提高誤差模型的精準(zhǔn)度，有效克服了誤差建模過程的通用性差、自動化程度低等問題。

2.1 多體系統(tǒng)理論及其描述方法

多體系統(tǒng)[4]是對一些復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的抽象描述，使用經(jīng)典力學(xué)方法建立微分方程，理論上可以解決任何復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)問題，但由于部分系統(tǒng)中內(nèi)分體數(shù)和自由度較多，各個部件間的約束復(fù)雜，使得求解所建立的微分方程十分困難，因此使用傳統(tǒng)經(jīng)典力學(xué)方法對復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行分析已不能滿足現(xiàn)代結(jié)構(gòu)計(jì)算的需要。目前普遍利用多體系統(tǒng)理論研究法來解決復(fù)雜系統(tǒng)中的問題，該方法主要有兩個步驟，第一個步驟是建立模型，第二個步驟是求解模型。在建立模型時，有數(shù)學(xué)模型和物理模型兩種。多體系統(tǒng)理論研究法可以對機(jī)械產(chǎn)品中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化和抽象，是目前解決復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)問題的主要研究手段。

2.2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及低序體陣列

應(yīng)用多體系統(tǒng)理論研究法解決問題的一個重要過程就是得出研究目標(biāo)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。假定慣性坐標(biāo)系是A0，選任意一體作為A1，沿著疏遠(yuǎn)A1的方向用增進(jìn)數(shù)列來標(biāo)記各個部件的序號，最后將系統(tǒng)的所有分支全部標(biāo)記完成。圖2所示為YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)的環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。

圖2 YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

在多體系統(tǒng)中，一般將構(gòu)成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的單位稱作體，常用低序體陣列對其進(jìn)行數(shù)字化表述，如圖3所示為YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)低序體陣列表，其中用Lj(k)來描述典型體k的j階低序體。

123456L0(k)123456L1(k)012045L2(k)001004L3(k)000000

圖3 YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)低序體陣列表

2.3 相鄰體誤差分析

建立數(shù)控滾齒機(jī)床的幾何誤差模型，利用矩陣的運(yùn)算方式，把數(shù)控滾齒機(jī)各部件的傳動誤差、安裝制造誤差、運(yùn)動誤差統(tǒng)一疊加在刀具和工件對應(yīng)的位置矢量誤差上，并建立誤差特征矩陣。研究各個相鄰體的特征矩陣，通過拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)把這些特征矩陣相乘，進(jìn)而得到刀具和工件的最終誤差矩陣Tmn。

Tmn=Tmn,pTmn,peTmn,sTmn,se

(1)

式中：Tmn,p為鄰體的位置矩陣;Tmn,pe為位置誤差矩陣;Tmn,s為位移矩陣;Tmn,se為位移誤差矩陣。

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：amn,bmn,cmn為相鄰體間的靜止位置；θxmn,θymn,θzmn為靜止角度姿態(tài)；xDH,yDH,zDH為運(yùn)動位移誤差；xDHmn,yDHmn,zDHmn為靜止位置誤差；εoxmn,εoymn,εozmn為靜止角度姿態(tài)誤差；xmn,ymn,zmn為運(yùn)動位移；αmn,βmn,γmn為運(yùn)動角度姿態(tài)；εxmn,εymn,εzmn為運(yùn)動角度姿態(tài)誤差。

2.4 誤差建模

對數(shù)控滾齒機(jī)床進(jìn)行幾何誤差建模，依次建立各體的坐標(biāo)系，數(shù)控滾齒機(jī)床相鄰體之間的誤差利用滾齒機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)傳遞計(jì)算，進(jìn)而得到刀具和工件的相對位置偏差，通過對此位置偏差進(jìn)行計(jì)算，從而得到數(shù)控滾齒機(jī)床的幾何誤差模型矩陣。

2.4.1坐標(biāo)系設(shè)立

設(shè)立0，1，2，3，4，5，6坐標(biāo)系分別為床身坐標(biāo)系(基坐標(biāo)系)、立柱坐標(biāo)系、滾刀主軸坐標(biāo)系、滾刀坐標(biāo)系、X向進(jìn)給板坐標(biāo)系、工件軸坐標(biāo)系、工件坐標(biāo)系。

2.4.2建模分析

(6)

對YK3150E滾齒機(jī)誤差進(jìn)行分析，由于在運(yùn)動過程中存在誤差，因此坐標(biāo)系3相對于坐標(biāo)系6的變換矩陣為：

(7)

式中：e為運(yùn)動過程中所存在的誤差。在實(shí)際加工過程中，刀具坐標(biāo)系3相對于工件坐標(biāo)系6的變換矩陣為在理想情況下的變換矩陣上面疊加一個誤差運(yùn)動矩陣E，即：

(8)

計(jì)算數(shù)控滾齒機(jī)每對相鄰件的特征矩陣，使用齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)變法[5]，將切削點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系3中的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)變到工件坐標(biāo)系6中。這兩個坐標(biāo)系中，當(dāng)相對應(yīng)的坐標(biāo)軸之間的夾角小于0.5°時，轉(zhuǎn)換矩陣將簡寫成以下形式，從而得到機(jī)床加工誤差的幾何數(shù)學(xué)模型為：

(9)

式中：x63，y63，z63分別為切削刀所在坐標(biāo)系3對應(yīng)被加工件所在坐標(biāo)系6中沿X,Y,Z軸的運(yùn)動位移誤差；α,β,γ分別為刀具坐標(biāo)系3繞工件坐標(biāo)系6中Z,Y,X軸的回轉(zhuǎn)角度誤差。

3 誤差模型數(shù)據(jù)解耦

上述得到誤差幾何數(shù)學(xué)模型是滾刀相對于工件的誤差矢量，要想提高齒輪加工精度，需要得到各軸獨(dú)立的進(jìn)給誤差補(bǔ)償量，而滾刀和工件之間的誤差矢量與各軸的誤差補(bǔ)償量間存在耦合關(guān)系，故需要對其進(jìn)行誤差解耦[6]。本文利用變系數(shù)微積分法,忽略運(yùn)動誤差影響，通過各軸補(bǔ)償值的正負(fù)號，來確定補(bǔ)償?shù)姆较颍蛊湓谶M(jìn)行誤差補(bǔ)償后，分離的滾刀坐標(biāo)系3與工件坐標(biāo)系6盡量重合，則存在以下函數(shù)關(guān)系：eT6,3·sT6,3=E，用sT6,3表示坐標(biāo)系3相對坐標(biāo)系6補(bǔ)償運(yùn)動變換的矩陣；eT6,3表示幾何誤差模型矩陣。由微分變換法可知滾刀坐標(biāo)系3對于工件坐標(biāo)系6的微分變換為：

(10)

式中：ΔθB，ΔθC，Δx，Δy，Δz分別為旋轉(zhuǎn)軸B、旋轉(zhuǎn)軸C和X，Y,Z軸的補(bǔ)償當(dāng)量。

同時：

(11)

且：

eT6,3·sT6,3=E

(12)

sT6,3=T6,3+dT6,3

(13)

聯(lián)立公式(10)～(13)，可得YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)床每一個軸的誤差補(bǔ)償量為：

δx=sinψ[y63-zcosψ(x-Q)]+

z[cosψsinφ(x-Q)/cosφ-cscψ]-cosψx63

(14)

δy=-x63sinψ-y63cosψ-

z[1+(x-Q)cos2ψ]-tanφ(x-Q)(1+zcos2ψ)/sinψ

(15)

δz=cscψ(x-Q)-z63

(16)

式中：Q為坐標(biāo)系6相對坐標(biāo)系3在X軸的偏離量；x,z為機(jī)床沿X軸、Z軸的運(yùn)動位移；x63,y63,z63分別為坐標(biāo)系6相對于坐標(biāo)系3在X,Y,Z軸的運(yùn)動位移誤差；ψ為工件的轉(zhuǎn)動量；φ為滾齒機(jī)加工斜齒輪時滾刀安裝的角度。

將誤差模型進(jìn)行數(shù)據(jù)解耦后得到各軸件的誤差補(bǔ)償量，通過修改數(shù)控機(jī)床加工參數(shù)，對齒輪加工精度進(jìn)行修正，從而提高了齒輪本身的精度。

4 結(jié)束語

隨著制造業(yè)的飛速發(fā)展，齒輪加工、制造的水平也在逐步提高。YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)床的加工精度對我國齒輪制造業(yè)的發(fā)展作用重大。本文通過多體系統(tǒng)理論研究法，建立機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，用低序體陣列對拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)字化描述，結(jié)合坐標(biāo)變換法進(jìn)行機(jī)床誤差幾何建模，從而分析了滾刀和工件之間產(chǎn)生的位置誤差和旋轉(zhuǎn)誤差對齒輪加工精度所造成的影響，通過變系數(shù)微分法，對幾何模型進(jìn)行誤差解耦，進(jìn)一步得到機(jī)床各軸的誤差補(bǔ)償量，根據(jù)所得到的誤差補(bǔ)償量，可以對齒輪加工精度進(jìn)行修正。這一研究對于提高齒輪的制造精度有著重要作用，同時也對研究數(shù)控滾齒機(jī)床誤差補(bǔ)償技術(shù)具有一定的借鑒意義。