田會珍, 李麗偉, 郭強(qiáng)偉, 李心儀

(上海電力學(xué)院 能源與機(jī)械工程學(xué)院, 上海 200090)

隨著集成電路和微機(jī)電系統(tǒng)的快速發(fā)展,便攜式低功耗電子設(shè)備得到了廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)的化學(xué)電池雖然可以在一定程度上解決電子產(chǎn)品的供電問題,但化學(xué)電池的制造和使用都會對環(huán)境造成污染,且存在體積大、使用壽命有限、需定期更換等缺點(diǎn)。環(huán)境中的振動能是無處不在的,利用能量收集裝置,將振動能轉(zhuǎn)換為電能為電子設(shè)備供電,無疑是一種清潔、可再生的電能供給方式[1]。其轉(zhuǎn)換方式一般有電磁式[2]、壓電式[3]和靜電式[4]3種。與電磁式和靜電式相比,壓電式發(fā)電裝置具有機(jī)電轉(zhuǎn)換效率高、輸出電壓高、體積小、結(jié)構(gòu)簡單且無電磁干擾等優(yōu)點(diǎn)。隨著壓電材料性能的不斷提升,壓電式發(fā)電電源的能量密度也不斷得到提高,且通過微機(jī)電系統(tǒng)易于實(shí)現(xiàn)集成化[5],所以壓電式發(fā)電裝置受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。懸臂梁式壓電發(fā)電振子(以下簡稱“壓電振子”)可以產(chǎn)生最大的撓度,諧振頻率較低,對外界激勵敏感,因而發(fā)電量也較大,應(yīng)用相對廣泛?，F(xiàn)有的研究多偏重于懸臂梁壓電振子的材料性能[6]、結(jié)構(gòu)尺寸[7]及壓電晶體與金屬基板的厚度比[8]對發(fā)電量的影響,而有關(guān)懸臂梁發(fā)電振子壓電材料和金屬材料的長度比對發(fā)電量產(chǎn)生影響的研究不多。本文通過對懸臂梁單晶壓電振子理論建模和有限元仿真,重點(diǎn)研究了懸臂梁壓電振子壓電片和金屬基板的長度比對輸出電壓特性的影響,以期在有限長度內(nèi)獲得最高的輸出電壓。

1 壓電振子的理論建模

壓電材料具有正壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)[9-10]。當(dāng)壓電晶體受到外界激勵作用發(fā)生形變從而產(chǎn)生電荷的現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)[11]。利用壓電晶體的正壓電效應(yīng)制作壓電元件,可以實(shí)現(xiàn)低功耗電子設(shè)備的自供能。圖1為懸臂梁式單晶壓電振子的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1中,壓電振子由壓電晶體和金屬基板組成,并由導(dǎo)電膠將壓電晶體和金屬基板粘接成一個(gè)整體,且忽略導(dǎo)電膠對發(fā)電量的影響。其中,l為壓電振子長度,t為壓電振子厚度,tp和tm分別為晶體板和金屬基板的厚度。懸臂梁一端約束,另一端隨環(huán)境中的振動源自由振動。由機(jī)械邊界條件和電學(xué)邊界條件可得壓電方程為:

Tx=Ep(Sx-gDz)

(1)

(2)

式中:Tx——X軸方向的應(yīng)力;

Ep——壓電晶體的彈性模量;

Sx——X軸方向的應(yīng)變;

g——壓電常數(shù);

Dz——Z軸方向的電位移;

Ez——Z軸方向的電場強(qiáng)度;

圖1 懸臂梁式單晶壓電振子結(jié)構(gòu)示意

設(shè)懸臂梁單晶壓電振子的長、寬、厚分別為l,w,t,則壓電晶體的厚度tp為

tp=t-tm=(1-α)t

(3)

式中:α——壓電晶體與金屬基板的厚度比,α=tm/t。

根據(jù)Euler-Bernoulli方法可以確定壓電晶體上表面到中性層的距離tz[4]為

(4)

式中:Em——金屬基板的彈性模量;

β——金屬基板與壓電晶體的彈性模量比,β=Em/Ep。

若在懸臂梁壓電振子自由端施加沿Z軸負(fù)方向大小為F的力激勵,則懸臂梁任意一點(diǎn)x處的彎矩方程為

M(x)=F(x-l)

(5)

而該截面處應(yīng)力與彎矩的關(guān)系為

(6)

式中:Tm——金屬基板在X軸方向的應(yīng)力,Tm=EmSx。

由式(1)、式(3)至式(6)可以求得

(7)

式中:K——懸臂梁壓電振子的曲率。

(8)

式中:μ1=tz;μ2=tz-tp;μ3=tz-t。

由式(8)和壓電方程可得Z軸方向的電場強(qiáng)度Ez為

(9)

由式(9)可知,Ez為關(guān)于x和z的函數(shù),則外加電場電壓Up為Ez在場強(qiáng)Z軸方向的積分值,即

(10)

經(jīng)移項(xiàng)計(jì)算可得

(11)

又因Dz=Qp/Sxy(Sxy為壓電晶體橫截面積),故可求得壓電振子晶體所產(chǎn)生的電荷量Qp為

(12)

同時(shí),由式(12)可知,懸臂梁壓電振子的電容Cp為

(13)

懸臂梁壓電振子僅僅受到外界沿Z軸方向的力的激勵作用,即外加電場Up為零,則由式(12)可知,

(14)

因此,在外界力的激勵下,懸臂梁壓電振子產(chǎn)生的開路電壓UpF為

(15)

當(dāng)在懸臂梁壓電振子的末端施加固定的位移激勵δ時(shí),力激勵F和位移激勵δ兩者之間的關(guān)系為

(16)

求得位移激勵下懸臂梁單晶壓電振子的開路電壓Upδ為

(17)

式中:

(18)

2 壓電振子有限元仿真

本文的懸臂梁壓電振子的晶體板采用PZT-5H,金屬板采用磷青銅,其性能參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1和表2所示。

表1 壓電振子晶體板與基板的性能參數(shù)

表2 壓電振子結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù) mm

懸臂梁壓電振子的有限元仿真主要是建立結(jié)構(gòu)-電場之間的耦合有限元模型。根據(jù)表1中壓電振子的性能參數(shù)及表2中的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立有限元模型。有限元模型分別為SOLID5單元和SOLID45單元,其中,SOLID5單元為六面體8節(jié)點(diǎn)的三維耦合場體單元,特別適合對壓電薄膜的模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。采用布爾操作的GLUE命令將SOLID5和SOLID45合成一個(gè)整體,并分別采用映射方式劃分網(wǎng)格。有限元分析時(shí)忽略導(dǎo)電膠的影響,即將晶體板與金屬基板的粘貼視為理想狀態(tài)。

晶體板的相對介電常數(shù)為

壓電常數(shù)為

彈性剛度矩陣為

保持單晶壓電振子各性能參數(shù)不變,只改變振子長度,取值分別為35 mm,40 mm,45 mm,50 mm,55 mm,60 mm,65 mm,70 mm,75 mm,壓電振子一端約束所有自由度為零,另一端自由,并在自由端施加1.5 mm的位移載荷。由ANSYS有限元仿真得到輸出電壓與振子長度的關(guān)系和由數(shù)學(xué)模型中式(17)所得到的計(jì)算值如圖2所示。

圖2 壓電振子長度-電壓曲線

由圖2可知,在保持位移載荷不變的情況下,輸出電壓隨振子長度的增加而減小。這是因?yàn)楫?dāng)壓電振子結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)相同時(shí),隨著壓電振子長度的增加,由變形產(chǎn)生的最大應(yīng)變值逐漸減小,從而導(dǎo)致輸出電壓逐漸減小。這與數(shù)學(xué)模型中式(13)得到的壓電振子長度的平方與輸出電壓呈負(fù)相關(guān)一致。由此可見,為了保證懸臂梁壓電振子具有較高的電壓,在設(shè)計(jì)振子尺寸時(shí),不宜過長。

懸臂梁式壓電振子晶體板與金屬基板的長度關(guān)系也是影響電壓輸出的因素。為了探究長度比對輸出電壓的影響,在保證金屬基板不變的情況下,分別改變晶體板的長度。仿真分析中,設(shè)金屬基板長度lm分別為45 mm,50 mm,55 mm,60 mm。針對金屬基板長度,晶體板長度lp分別取對應(yīng)的10 mm,15 mm,20 mm,25 mm,30 mm 35 mm,40 mm,45 mm,50 mm,55 mm,60 mm 8組長度,同樣施加1.5 mm的位移載荷,得到的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 壓電振子晶體板長度-電壓曲線

由圖3可知,隨著晶體板長度的增加,壓電振子輸出電壓呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢,且在晶體板與金屬基板等長時(shí),電壓出現(xiàn)了直線下降;當(dāng)晶體板與金屬基板的長度比值為0.7左右時(shí),輸出電壓值達(dá)到最大。文獻(xiàn)[12]針對相同材料和結(jié)構(gòu)尺寸的懸臂梁單晶壓電振子,通過實(shí)驗(yàn)得到的晶體板和金屬基板的最佳長度比也為0.7左右,由此驗(yàn)證了ANSYS仿真結(jié)果的正確性。此外,當(dāng)晶體板長度超過最佳比值的長度時(shí),懸臂梁壓電振子對外界施加的載荷敏感度降低,從而導(dǎo)致輸出電壓減小;而當(dāng)晶體板長度與金屬基板長度相同時(shí),輸出電壓隨金屬基板長度的減小而逐漸增大。因此,在設(shè)計(jì)懸臂梁壓電振子時(shí),應(yīng)根據(jù)應(yīng)用對象的尺寸,同時(shí)考慮晶體板與金屬基板的長度,以保證獲得最大的輸出電壓。

在此基礎(chǔ)上,針對其他幾種金屬基板材料的壓電振子進(jìn)行了最佳長度比的分析。金屬基板分別采用不銹鋼、硅、磷青銅、鋁合金,其中,不銹鋼、硅、鋁合金的性能參數(shù)如表3所示。

表3 不銹鋼、硅、鋁合金的性能參數(shù)

不同金屬基板材料對應(yīng)的電壓曲線和最佳長度比曲線如圖4和圖5所示。由圖5可以看出,懸臂梁單晶壓電發(fā)電振子的最佳長度比分別為0.60,0.65,0.70,0.75,可見,隨著金屬基板彈性模量的減小,晶體板與金屬基板的最佳長度比逐漸增大。

圖4 不同金屬基板材料對應(yīng)的電壓曲線

圖5 不同金屬基板材料對應(yīng)的最佳長度比曲線

3 結(jié) 論

(1) 建立的懸臂梁單晶壓電振子的數(shù)學(xué)模型與有限元仿真結(jié)果基本吻合,在相同位移載荷下,隨著壓電振子長度的增加,輸出電壓逐漸減小,驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性。

(2) 當(dāng)金屬基板采用磷青銅時(shí),隨著晶體板長度的增加,壓電振子的輸出電壓呈先增大后減小的趨勢,并在晶體板與金屬基板的長度比值為0.7時(shí)出現(xiàn)最大,這與文獻(xiàn)[12]中相同材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)尺寸的壓電振子得到的測試結(jié)果一致。

(3) 改變金屬基板的材料,分別取不銹鋼、硅、磷青銅和鋁合金4種材料進(jìn)行分析。結(jié)果表明,晶體板和金屬基板的最佳長度比分別為0.60,0.65,0.70,0.75,且隨著彈性模量的減小,最佳長度比逐漸增大。