南海北部海洋平臺(tái)環(huán)境參數(shù)嵌套邏輯分布估計(jì)

董 勝，廖振焜，馮 亮，陶山山

（中國(guó)海洋大學(xué) 工程學(xué)院，山東 青島 266100）

0 引 言

隨著陸上及近海石油的日益枯竭，深海油氣資源勘探及開(kāi)發(fā)成為我國(guó)保持經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的必然選擇。我國(guó)南海海域極易遭受臺(tái)風(fēng)等極端氣象災(zāi)害的侵襲，因而在該海域建造海洋石油平臺(tái)時(shí)應(yīng)當(dāng)慎重考慮各種環(huán)境要素的影響。以往以單個(gè)環(huán)境要素為標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)海洋平臺(tái)無(wú)法反映平臺(tái)所處的真實(shí)海洋環(huán)境條件。美國(guó)API規(guī)范[1]中針對(duì)近海固定式平臺(tái)的設(shè)計(jì)和建造提出了同時(shí)考慮惡劣環(huán)境條件下風(fēng)、浪、流等疊加的組合。我國(guó)海洋平臺(tái)設(shè)計(jì)規(guī)范[2]也部分選用了單因素頻率分析法對(duì)海洋環(huán)境參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并選用各環(huán)境參數(shù)不同組合的疊加作為最終的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。在這種標(biāo)準(zhǔn)下，各環(huán)境要素被視為獨(dú)立的。但實(shí)際的海洋環(huán)境并非如此，各環(huán)境要素具有一定的相關(guān)性。

海洋平臺(tái)的環(huán)境荷載設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)必須兼顧安全性和經(jīng)濟(jì)性。在保證安全的前提下，單因素組合法所設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)趨于保守。不同極端海洋環(huán)境要素同時(shí)出現(xiàn)是一個(gè)小概率事件，將其用作設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)與實(shí)際情況不符，會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)參數(shù)偏高，從而增加平臺(tái)的建造成本。因此選取以一種環(huán)境要素為主要素，同時(shí)發(fā)生的其他環(huán)境要素為條件要素的伴隨樣本，進(jìn)行相關(guān)聯(lián)合概率設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的研究具有實(shí)際意義。

海洋環(huán)境要素聯(lián)合概率研究有三種方法[3-4]：隨機(jī)模擬法、極值響應(yīng)法和多元極值理論。其中，多元極值理論可以利用海洋環(huán)境要素的聯(lián)合分布進(jìn)行求解，因而更加符合實(shí)際。Coles和Tawn[5-6]概括了對(duì)稱logistic模型、非對(duì)稱logistic模型、負(fù)非對(duì)稱logistic模型、Dirichlet模型、Bilogistic模型、嵌套logistic模型等。這些模型種類繁多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且邊緣一般限制使用極值分布，實(shí)際應(yīng)用受到了限制。Zachary[7]利用三維logistic模型計(jì)算波高及其相應(yīng)周期、風(fēng)速聯(lián)合發(fā)生的概率，該模型要求各個(gè)變量之間的相關(guān)性完全對(duì)稱，這在實(shí)際應(yīng)用中往往難以滿足，而嵌套logistic模型并無(wú)此限制。Liu等[8]基于嵌套logistic模型構(gòu)造了三維Poisson復(fù)合極值分布，以探討黃海海域極值波高、周期和風(fēng)速的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

本文選用最大熵分布作為三維嵌套邏輯模型的邊緣，對(duì)南海某海域有效波高、周期和風(fēng)速進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，構(gòu)造聯(lián)合概率模型，給出三種多維海洋環(huán)境條件下的海洋平臺(tái)聯(lián)合設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，并且推導(dǎo)出相應(yīng)的聯(lián)合重現(xiàn)值，為海洋平臺(tái)的設(shè)計(jì)提供參考。

1 基于最大熵邊緣的三維嵌套邏輯模型

Zhang等[9]提出的最大熵分布的分布函數(shù)為

式中：β，γ，ξ和 a0為最大熵分布的四個(gè)參數(shù)，κ為 β，γ，ξ的組合，由下式給出：

嵌套logistic模型的邊緣一般選取Gumbel分布、Weibull分布等極值型分布。由于以上分布大多為最大熵分布的特例（如表1），所以我們建立基于最大熵邊緣的三維嵌套邏輯模型，進(jìn)而對(duì)波高、風(fēng)速和周期進(jìn)行三維概率分析。

設(shè)G（ x1, x2,x3）表示隨機(jī)向量 （X1, X2,X3）的三維聯(lián)合分布，則三維嵌套邏輯模型的一般表達(dá)式為

表1 最大熵分布與其他分布類型的關(guān)系Tab.1 Relationship between maximum entropy distribution and other probability distributions

式中：α和β為相關(guān)參數(shù)，且0≤α，β≤1。若α→0，且β→0，則變量之間近于完全相關(guān)；若α→1，且β→1，則變量之間近于相互獨(dú)立。

其聯(lián)合密度函數(shù)g（x1,x2,x3）為

2000年，法國(guó)國(guó)營(yíng)鐵路公司(SNCF)采用CFRP研制出雙層TGV型車體(見(jiàn)圖2)，其相對(duì)鋁合金車體減重約25%，并且通過(guò)線路運(yùn)行驗(yàn)證了CFRP 在強(qiáng)度、沖擊、防火、降噪、隔熱等性能方面的優(yōu)點(diǎn)和工業(yè)可行性。

式中：

史道濟(jì)[13]給出了當(dāng)H1（x1）、H2（x2）和H3（x3）均服從標(biāo)準(zhǔn)Gumbel分布時(shí)，相關(guān)參數(shù) α 和 β 的矩估計(jì)，見(jiàn)（9）式和（10）式。

式中：r12、r13、r23分別為變量 （X1,X2）、（X1,X3）、（X2,X3）的線性相關(guān)系數(shù)。該表達(dá)式簡(jiǎn)化了復(fù)雜的相關(guān)函數(shù)，為工程界應(yīng)用三維嵌套邏輯模型提供了良好的計(jì)算方法。

若H1（x1）、H2（x2）和H3（x3）均為最大熵類型分布，則公式（3）可稱為基于最大熵邊緣的三維嵌套邏輯模型。其中

式中：βi，γi，ξi和a0i為第i個(gè)最大熵分布的參數(shù)；hi（xi）為第i個(gè)最大熵分布的密度函數(shù)。 αi為 βi，γi，ξi的組合（如（2）式）。

與Nataf變換類似，設(shè)隨機(jī)變量Xi（i=1,2,3）的樣本為xi1，xi2，…，xin，其對(duì)應(yīng)的最大熵分布函數(shù)值為Hi（xi1），Hi（xi2），…，Hi（xin），令于是得到服從標(biāo)準(zhǔn) Gumbel分布的新樣本yi1，yi2，…，yin（y=1,2,3），根據(jù)（9）式和（10）式求解三維嵌套邏輯模型相關(guān)參數(shù)α和β的值。

在三維嵌套邏輯模型中，由于模型是非對(duì)稱的，因此三個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，X3如何排列非常關(guān)鍵。根據(jù)參數(shù)α和β的矩估計(jì)結(jié)果，可得

因此

所以r12應(yīng)取三個(gè)相關(guān)系數(shù)中最大的那個(gè)值，否則β就有可能大于1，這樣就確定了第三個(gè)變量。而第一和第二個(gè)變量的位置，在三維嵌套邏輯模型中是等價(jià)的。

2 數(shù)據(jù)來(lái)源及最大熵邊緣擬合

選用南海潿洲島海域附近觀測(cè)結(jié)果：風(fēng)場(chǎng)為1976～2005年的再分析數(shù)據(jù)，分辨率0.2°×0.2°，時(shí)間間隔6小時(shí)；波浪計(jì)算采用WAVEWATCH-III波浪模式，分辨率0.25°×0.25°，時(shí)間間隔6小時(shí)。圖1為所取點(diǎn)位示意圖；選取4點(diǎn)1976～2005年風(fēng)速年最大值及對(duì)應(yīng)的波高、周期序列，其中波高為有效波高，周期為平均周期，波向采用的是航海坐標(biāo)。利用最大熵分布對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一維擬合。取置信水平為0.05，由于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度n=30，所以利用K-S（Kolmogorov-Smirnov）檢驗(yàn)可知，統(tǒng)計(jì)量D30,0.05=0.241 7。擬合結(jié)果見(jiàn)圖2～4及表2。

在表2中，有效波高、平均周期和風(fēng)速的K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn均小于D30,0.05。因此由K-S檢驗(yàn)可知，三種環(huán)境均通過(guò)檢驗(yàn)，并且三者的平均離差平方和Q值也都較小，結(jié)合圖2～4說(shuō)明擬合得到的最大熵分布曲線與數(shù)據(jù)偏差較小。因此，最大熵分布擬合有效波高、平均周期和風(fēng)速邊緣數(shù)據(jù)結(jié)果良好。

圖1 所取點(diǎn)位示意圖 Fig.1 Location diagram of selected points

圖2 年極值風(fēng)速擬合曲線Fig.2 Fitting curve of annual extreme wind speed

圖3 伴隨的有效波高擬合曲線Fig.3 Fitting curve of concomitant significant wave height

圖4 伴隨的平均周期擬合曲線Fig.4 Fitting curve of concomitant average period

表2 最大熵分布擬合結(jié)果Tab.2 Fitting results of maximum entropy distribution

3 海洋平臺(tái)環(huán)境條件聯(lián)合設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)

目前，在海洋平臺(tái)的設(shè)計(jì)中，我國(guó)通常取重現(xiàn)期為50年的環(huán)境條件，但為何選取50年一遇的設(shè)計(jì)參數(shù)，仍沒(méi)有明確的理論依據(jù)，缺乏必要的論證分析。國(guó)內(nèi)外傳統(tǒng)的確定海洋環(huán)境條件設(shè)計(jì)參數(shù)的方法是：不考慮各種災(zāi)害動(dòng)力環(huán)境條件之間的相關(guān)性，分別對(duì)其進(jìn)行長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)分析，選用不同重現(xiàn)期的動(dòng)力因素值，將其疊加后用作設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。比如，在海洋工程設(shè)計(jì)中取波高、風(fēng)速和流速分別為50年一遇值作為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)[14]。但實(shí)際上，不同的極端海洋環(huán)境條件同時(shí)出現(xiàn)的概率非常小，因此將其用作設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)不符合客觀情況，其概率意義不清晰，對(duì)結(jié)構(gòu)做出的可靠性評(píng)價(jià)與實(shí)際情況有較大的出入。偏高的設(shè)計(jì)參數(shù)將導(dǎo)致過(guò)于安全、龐大的海洋結(jié)構(gòu)，相應(yīng)增加了投資成本，導(dǎo)致某些油田不具備開(kāi)采價(jià)值。因此，如何準(zhǔn)確預(yù)測(cè)海上環(huán)境條件的聯(lián)合重現(xiàn)期，進(jìn)而推求聯(lián)合重現(xiàn)值，對(duì)設(shè)計(jì)時(shí)兼顧海洋平臺(tái)的安全性和經(jīng)濟(jì)性至關(guān)重要。

本文利用基于最大熵邊緣的三維嵌套邏輯模型，給出了三種多維海洋環(huán)境條件下的聯(lián)合設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)（如表3），并且推導(dǎo)出相應(yīng)的聯(lián)合重現(xiàn)值，為海洋平臺(tái)的設(shè)計(jì)提供參考。冬季極端海冰荷載會(huì)對(duì)平臺(tái)造成嚴(yán)重破壞[15]，而在平時(shí)風(fēng)浪是主要破壞荷載。在表3中，風(fēng)浪荷載產(chǎn)生的基底剪力由以下公式[16]給出：

將原樣本數(shù)據(jù)xi1，xi2，…，xin（服從最大熵分布）轉(zhuǎn)化為服從標(biāo)準(zhǔn) Gumbel分布的數(shù)據(jù)yi1，yi2，…，yin，i=1,2,3。利用參數(shù) α 和 β的矩估計(jì)（9）式和（10）式，首先求解yi1，yi2，…，yin和yj1，yj2，…，yjn（i,j=1,2,3,i≠j）的線性相關(guān)系數(shù)，最終得到相關(guān)參數(shù)的估計(jì)值；并根據(jù)各線性相關(guān)系數(shù)的大小，確定風(fēng)速（W）、有效波高（H）、平均周期（T）在三維嵌套邏輯模型中的位置。經(jīng)計(jì)算得到，線性相關(guān)系數(shù)為：rHW=0.940 2；rHT=0.962 1；rWT=0.891 4。r12應(yīng)取三個(gè)相關(guān)系數(shù)中最大的那個(gè)值，即rHT，這樣就定下了風(fēng)速為X3。由于X1和X2的位置在三維嵌套邏輯模型中等效，故令有效波高為X1，平均周期為X2。最終求得=0.287 1，

3.1 傳統(tǒng)的單因素統(tǒng)計(jì)方法

根據(jù)有效波高、平均周期和風(fēng)速的最大熵分布擬合結(jié)果，得到各自10年、20年、25年、50年和100年一遇的重現(xiàn)值，代入風(fēng)浪荷載與有效波高、風(fēng)速的關(guān)系式中，計(jì)算相應(yīng)的風(fēng)浪荷載；且根據(jù)三維嵌套邏輯模型可得單因素重現(xiàn)值情況下的聯(lián)合重現(xiàn)期，結(jié)果如表4。

表4 各環(huán)境要素重現(xiàn)值及對(duì)應(yīng)的荷載和聯(lián)合重現(xiàn)期Tab.4 Return values of environmental elements and corresponding loads and joint return periods

表4結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)有效波高、平均周期、風(fēng)速均取10年一遇重現(xiàn)值時(shí)，經(jīng)三維嵌套邏輯模型計(jì)算得到的聯(lián)合重現(xiàn)期為13年。但理論上若將其視為獨(dú)立，則聯(lián)合重現(xiàn)期應(yīng)為103=1 000年。可見(jiàn)三個(gè)環(huán)境要素的相關(guān)性較高，其他情形類似。相應(yīng)的風(fēng)浪荷載由公式（15）求得。

3.2 條件概率分布設(shè)計(jì)法

50年一遇和100年一遇風(fēng)速對(duì)應(yīng)的有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度等值線見(jiàn)圖5～6。圖中的最大峰值（眾值）處所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值即為最常出現(xiàn)的海洋環(huán)境條件。

圖5 五十年一遇風(fēng)速對(duì)應(yīng)的有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度等值線圖Fig.5 Joint probability density contours of concomitant significant wave height and average period under 50-year return wind speed

圖6 百年一遇風(fēng)速對(duì)應(yīng)的有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度等值線圖Fig.6 Joint probability density contours of concomitant significant wave height and average period under 100-year return wind speed

均值往往大于眾值，對(duì)平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，考慮均值更加安全一些，且其計(jì)算概念比較明確，因此同時(shí)考慮多年一遇風(fēng)速條件下有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度的均值。在聯(lián)合概率密度等值線圖中，均值所對(duì)應(yīng)的圖像為一條曲線，取曲線中使得對(duì)應(yīng)風(fēng)浪荷載最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)值作為所求的環(huán)境條件值。

當(dāng)主要環(huán)境因素風(fēng)速取某一確定重現(xiàn)值時(shí)，另外兩個(gè)環(huán)境要素有效波高、平均周期最可能出現(xiàn)的值稱為眾值組合，其結(jié)果見(jiàn)表5；當(dāng)主要環(huán)境要素風(fēng)速取某一確定重現(xiàn)值，另外兩個(gè)環(huán)境要素有效波高、平均周期的聯(lián)合概率密度取均值時(shí)，對(duì)應(yīng)風(fēng)浪荷載最大的環(huán)境條件組合結(jié)果如表6。

表5 風(fēng)速重現(xiàn)值與對(duì)應(yīng)最常出現(xiàn)的有效波高、平均周期，及該組合對(duì)應(yīng)的最大風(fēng)浪荷載Tab.5 Return wind speeds and the groups of significant wave height and average period which occur the most frequently,and corresponding maximal wind wave loads

表6 風(fēng)速重現(xiàn)值與有效波高、平均周期聯(lián)合概率密度均值對(duì)應(yīng)最大風(fēng)浪荷載Tab.6 Return wind speeds and the groups of significant wave height and average period which make their joint probability density equal the mean value,and corresponding maximal wind wave loads

由表5和表6可知，使用次要環(huán)境條件為均值的方法得到的風(fēng)浪荷載遠(yuǎn)大于眾值情況下得到的結(jié)果，以此為環(huán)境條件設(shè)計(jì)的平臺(tái)更加安全。在平臺(tái)設(shè)計(jì)時(shí)，建議選取聯(lián)合密度的均值而不是眾值，來(lái)選擇海洋環(huán)境條件的聯(lián)合重現(xiàn)值。

3.3 聯(lián)合環(huán)境條件設(shè)計(jì)法

當(dāng)聯(lián)合重現(xiàn)期為N年時(shí)，對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)組有效波高、平均周期和風(fēng)速，分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)的風(fēng)浪荷載，取其中風(fēng)浪荷載最大值對(duì)應(yīng)的那組有效波高、平均周期和風(fēng)速作為聯(lián)合環(huán)境條件值。結(jié)果列于表7中。

表7 N年聯(lián)合重現(xiàn)期下使風(fēng)浪荷載最大的有效波高、平均周期和風(fēng)速組合Tab.7 Groups of significant wave height,average period and wind speed which make the wind wave loads largest under N-year return period

4 結(jié) 論

本文建立了邊緣分布為最大熵分布的三維嵌套邏輯模型，應(yīng)用于南海潿洲島附近海域的有效波高、周期和風(fēng)速聯(lián)合統(tǒng)計(jì)分析中，該模型克服了原有單一因素估計(jì)重現(xiàn)期的不足?？紤]不同的聯(lián)合設(shè)計(jì)條件，總結(jié)提出了三種設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，從客觀上解釋了現(xiàn)有單一要素重現(xiàn)期存在的不足，使得降低海洋平臺(tái)投資規(guī)模在一定條件下得以實(shí)現(xiàn)。

需要指出的是，在確定海洋平臺(tái)環(huán)境設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，如何考慮平臺(tái)投資的風(fēng)險(xiǎn)，獲得新的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，對(duì)于海洋平臺(tái)的建造更有現(xiàn)實(shí)意義。另外，風(fēng)浪荷載公式的選取及其擬合仍需進(jìn)一步的研究。