我出高考數(shù)學題（十八）

1.某地發(fā)生了一起撞車事件.肇事后，司機駕車逃逸了.交警在調(diào)查此案時，詢問了3名現(xiàn)場目擊者.遺憾的是，他們誰也記不清肇事車輛的車牌號，能記憶的分別是：車牌號是四位數(shù)碼且頭兩位數(shù)字相同：末兩位數(shù)字也相同：車牌號是一個正整數(shù)的平方.恰好這位交警精于數(shù)學，進而迅速推斷出了肇事車輛的車牌號.肇事車輛的車牌號為____.

解 設車牌號是aabb，其中a，b∈{0，1，2，…，9}，1≤a+b≤18.

由aabb=11（100a+b）=11（9·11a+a+b），及aabb是一個正整數(shù)的平方，可得11|a+b，所以b=11-a（a=2，3，…，9）.于是可得aabb=11（9·11a+11）=11₂.（9a+1），則9a+1也是一個正整數(shù)的平方.設9a+1=n₂（n∈N_*），可得9a=（n-1）（n+1）（n=5，6，7，8，9）.

若3|n-1且3|n+1，可得3|2，這不可能，所以9|n-1或9|n+1，則n+1≥9，進而可得n=8.故a=7，b=4，肇事車輛的車牌號為7744.