等可能條件下概率問(wèn)題的錯(cuò)因分析和教學(xué)反思

【摘要】學(xué)生在解決等可能條件下的概率問(wèn)題時(shí)，常常錯(cuò)誤使用樹(shù)狀圖。教師在教學(xué)時(shí)也會(huì)因?yàn)閮?nèi)容要求較低而一帶而過(guò)，不夠重視。本文分析了學(xué)生做題中的常見(jiàn)錯(cuò)誤，并反思我們的教學(xué)，對(duì)這部分教學(xué)給出相應(yīng)建議。

【關(guān)鍵詞】概率模型 樹(shù)狀圖 教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）37-0206-01

在每一年的中考中，等可能條件下的概率問(wèn)題是必考題，約8分。這8分是基礎(chǔ)題，對(duì)于中等以上學(xué)生比較好拿分，但是對(duì)于較薄弱學(xué)生往往處于混亂狀態(tài)，畫(huà)樹(shù)狀圖主要靠碰運(yùn)氣。在近幾年的初三教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)越來(lái)越多的學(xué)生沒(méi)有真正弄清原因，因此想針對(duì)此情況進(jìn)行分析和教學(xué)反思。

一、課標(biāo)分析

新課標(biāo)中關(guān)于概率問(wèn)題的要求有：能通過(guò)列表、畫(huà)樹(shù)狀圖等方法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率。課標(biāo)對(duì)此的要求是“了解”，但由于實(shí)際問(wèn)題的千變?nèi)f化，對(duì)于不同背景，如何正確列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。我們可以通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖、列表或枚舉等方法幫助解決問(wèn)題。

二、常見(jiàn)錯(cuò)誤及原因分析

問(wèn)題1 （蘇科版教材九上P139 8）“石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙都做出“石頭”、“剪子”、“布”3種手勢(shì)中的1種，其中“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“石頭”，手勢(shì)相同不分勝負(fù)。假定甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢(shì)中的1種，求下列事件發(fā)生的概率：

（1）甲取勝；（2）乙取勝；（3）甲、乙兩人不分勝負(fù)。

錯(cuò)解：

分析：這是學(xué)生最常見(jiàn)的錯(cuò)誤，不知道選擇的對(duì)象是什么，看到什么就把什么當(dāng)成樹(shù)狀圖的分支。

問(wèn)題2 （蘇科版教材九上P145 8）小明有兩副完全相同的手套（分左、右手），上學(xué)時(shí)，小明從中任意拿了兩只。求這兩只手套恰好配成一副的概率。

錯(cuò)解：第一只 第二只

分析：弄錯(cuò)選擇對(duì)象，應(yīng)把兩副手套分別記作：左1，右1，左2，右2，把4只手套放在一起作為選項(xiàng)，從四只中任取兩只，可能的結(jié)果為（左1，右1）、（左1，左2）、（左1，右2）、（右1，左2）、（右1，右2）、（左2，右2）六種。

問(wèn)題3 （2016南京中考第22題）某景區(qū)7月1日～7月7日一周天氣預(yù)報(bào)如右圖，小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區(qū)旅游。求下列事件的概率：

（2）隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，恰好天氣預(yù)報(bào)都是晴。

錯(cuò)解：學(xué)生無(wú)法畫(huà)樹(shù)狀圖，不會(huì)寫(xiě)結(jié)果。

分析：本題與常規(guī)題型不同，如果學(xué)生的思維局限于選擇兩天一定要畫(huà)樹(shù)狀圖，則本題將無(wú)法解決。本題的考查意圖即為學(xué)生要能弄清求概率的本質(zhì)，是要分析出實(shí)際問(wèn)題中可能出現(xiàn)的結(jié)果，方法是多樣的，而不應(yīng)局限于畫(huà)樹(shù)狀圖或列表這樣機(jī)械的方法。

三、教學(xué)反思

1.充足課時(shí)保證學(xué)生充分感受

由于筆者近四年都在初三進(jìn)行教學(xué)，感觸最深的是課時(shí)緊張。因此，往往教師會(huì)在統(tǒng)計(jì)和概率這樣比較容易的內(nèi)容里壓縮課時(shí)，以講題為主。學(xué)生沒(méi)有機(jī)會(huì)充分感受隨機(jī)現(xiàn)象和概率的意義，解決問(wèn)題時(shí)不會(huì)分析問(wèn)題，只知道生搬硬套畫(huà)樹(shù)狀圖，不弄清原理，無(wú)法建立“概率模型”。建議大家在教學(xué)時(shí)通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，感受等可能的結(jié)果。例如通過(guò)讓學(xué)生做摸球的實(shí)驗(yàn)，感受不同摸球方法帶來(lái)的結(jié)果的不同。本文提到的問(wèn)題1也可以讓學(xué)生通過(guò)兩兩操作，找出可能的結(jié)果應(yīng)該是（甲石頭，乙剪子）這樣的形式，進(jìn)一步理解樹(shù)狀圖的結(jié)構(gòu)。在新課階段讓學(xué)生多接觸不同的背景，感受他們的異同。

2.適當(dāng)補(bǔ)充加法原理與乘法原理

兩個(gè)基本原理是高中排列、組合章節(jié)的起始課，找等可能結(jié)果的過(guò)程往往相當(dāng)于排列、組合問(wèn)題，與其讓學(xué)生糊里糊涂排，不如講清原理，盡可能不完全依賴(lài)于樹(shù)狀圖這種過(guò)于機(jī)械的方法，先從計(jì)算角度理清可能的結(jié)果數(shù)，再具體列舉。很多概率問(wèn)題就是在解決簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題例如2014南京中考第20題，從甲、乙、丙3名同學(xué)中隨機(jī)抽取環(huán)保志愿者，抽取1名和抽取2名就是經(jīng)典的組合數(shù)問(wèn)題，學(xué)生直接用枚舉法列出抽取兩名的可能結(jié)果（甲，乙）、（乙，丙）、（甲、丙）非常簡(jiǎn)單，比樹(shù)狀圖更為清楚，尤其是被抽取對(duì)象較多時(shí)，這種方法優(yōu)勢(shì)更明顯。

3.歸納提升，總結(jié)方法，形成能力

學(xué)生的主要困難是，遇到的新問(wèn)題、新背景不知道如何處理，常常會(huì)陷入是選人還是選地方，選鑰匙還是選鎖的混亂之中。實(shí)際上，初中階段可能遇到的簡(jiǎn)單隨機(jī)問(wèn)題基本可以用同一個(gè)“概率模型”——摸球來(lái)刻畫(huà)，只要把不同背景的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)的摸球問(wèn)題，學(xué)生的問(wèn)題就迎刃而解了。例如，問(wèn)題1相當(dāng)于在一個(gè)袋子里有放回的摸球；問(wèn)題2相當(dāng)于在一個(gè)袋子中一次摸兩個(gè)球，也可以看成是無(wú)放回的摸球；把這樣的問(wèn)題集中呈現(xiàn)讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何把不同背景轉(zhuǎn)化為相同，化陌生為熟悉，更一般性的解決問(wèn)題。

4.把握中考要求，控制難度

縱觀十年來(lái)的南京中考題，概率問(wèn)題的背景都很簡(jiǎn)單，都以學(xué)生平時(shí)熟知的問(wèn)題為背景。2009至今摸球問(wèn)題出現(xiàn)三次，選人問(wèn)題出現(xiàn)三次，生男生女問(wèn)題出現(xiàn)兩次，抽取紙幣的問(wèn)題出現(xiàn)一次。應(yīng)該說(shuō)，避免了讓學(xué)生會(huì)混亂的問(wèn)題。問(wèn)題3是最特別的一題，這一題旨在提醒教師和學(xué)生不要把概率問(wèn)題等同于畫(huà)樹(shù)狀圖，而把重點(diǎn)放在排出所有等可能的結(jié)果。從中考的導(dǎo)向來(lái)看，概率問(wèn)題不應(yīng)出現(xiàn)刁鉆的、學(xué)生不熟悉的背景，不能變成復(fù)雜的排列組合問(wèn)題.在教學(xué)中，應(yīng)以基本問(wèn)題為主，讓所有層次學(xué)生都能輕松掌握，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。

作者簡(jiǎn)介：

毛南燕（1979.6-）， 女，漢族，江蘇南京人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。