用夾逼法解決求值問題

郭洪林

(黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué) 150001)

求字母或式子的值是數(shù)學(xué)中常見問題.這類問題由于題目類型多，求解方法也是各種各樣.但有一種方法——夾逼法是別具特色的.為了求x的值，一方面我們可以推得x≥a，另一方面我們又可以推得x≤a，從而夾逼出x=a.

下面我們分類舉例來體會夾逼法的幾種實(shí)施方式.

一、利用不等式

分析顯然由題設(shè)的兩個(gè)關(guān)于a、b、c的方程無法解出三個(gè)未知數(shù)a、b、c的值.可把式子abc作為一個(gè)整體來求解.不難觀察到，利用基本不等式可以構(gòu)建起abc與已知式的聯(lián)系.

解根據(jù)基本不等式，一方面有

由①和②可得abc=1.

二、巧用平方數(shù)非負(fù)

例2 求滿足條件2x-4y+6z>x2+y2+z2+13的整數(shù)x、y、z的值.

解將不等式移項(xiàng)，配方可得(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2<1.

而(x-1)2、(y+2)2、(z-3)2均非負(fù)，故有

0≤(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2<1.

但(x-1)2、(y+2)2、(z-3)2都是非負(fù)整數(shù)，所以只能有x-1=0,y+2=0,z-3=0,從而得x=1,y=-2,z=3.

點(diǎn)評本解法通過配方，利用非負(fù)數(shù)夾出式子的較小的范圍，再用整數(shù)的條件，逼出具體值.

三、多次用判別式

x2+ax+b+1≥0，故Δ1=a2-4(b+1)≤0 ①.

由①和②知有

Δ1=a2-4(b+1)=0 ③.

聯(lián)立③和④，可解得a=±4,b=3.

四、不斷構(gòu)造函數(shù)求最值

例4 (2017年全國Ⅱ卷21(1)題)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0，求a的值.

解法1 (多次分類討論)由題設(shè)知f(x)的定義域是(0,+∞)，因此f(x)≥0等價(jià)于恒有g(shù)(x)=ax-a-lnx≥0(*).

(1)當(dāng)a≤0時(shí)，易見g(2)=a-ln2<0,(*)式不成立，故必有a>0.

(2)當(dāng)a>0時(shí)，(*)式恒成立，即g(x)的最小值≥0.以下來求g(x)的最小值.

她為沐浴后的秦川按摩，她讓秦川變得赤裸。她仔細(xì)檢查秦川的耳垂，腋窩，膝窩，腳踝，腳跟，腳趾……她沒有發(fā)現(xiàn)一道哪怕最微小的傷痕。她讓秦川翻過身來，她的指尖和目光將秦川的每一處探遍。

故有h(a)=1-a+lna≥0 ①.

當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，h′(a)>0，h(a)遞增；當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí)，h′(a)<0,h(a)遞減，所以h(a)的最大值是(h(1),)即h(a)≤h(1)=0，得

1-a+lna≤0 ②.

由①和②得1-a+lna=0 ③.

為了解出a，現(xiàn)構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)k(x)=1-x+lnx，來求k(x)的零點(diǎn).

易見k(1)=0.利用導(dǎo)數(shù)易知k(x)在(0，1)上遞增，在(1，+∞)上遞減，故k(x)的最大值是k(1)=0.這樣，k(x)有唯一的零點(diǎn)x=1.

所以方程③有唯一解是a=1.

點(diǎn)評1.本解答中，一方面由g(x)min≥0推得h(a)=1-a+lna≥0,另一方面又求得h(a)的最大值是h(1)=0,推得h(a)=1-a+lna≤0，從而夾逼出h(a)=1-a+lna=0.

2.本解答中，不斷地構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，零點(diǎn)，充分體現(xiàn)了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的工具作用，這是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn).

解法2 (分離參數(shù))

由解法1有ax-a-lnx≥0，即a(x-1)≥lnx在x∈(1,+∞)上恒成立.

(1)當(dāng)x=1時(shí)，顯然a(x-1)≥lnx恒成立.

結(jié)合①和②可知a=1.

下面給出一道題，供練筆.

設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1，若對于任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，求實(shí)數(shù)a的值.(答案：a=4)