(吉林師范大學(xué)博達(dá)學(xué)院,吉林 四平 136000)
近年來,隨著統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展,對序約束下多個總體參數(shù)估計的研究已有很大發(fā)展.目前對k個有序正態(tài)均值的極大似然估計(MLE)、多個指數(shù)總體參數(shù)的極大似然估計、二項分布的混合估計以及最小最大估計、可容許估計等方面的問題已經(jīng)有了明確的研究成果.但現(xiàn)有研究均未考慮約束條件下兩個Pareto總體的參數(shù)估計問題.
設(shè)X11,X12,...,X1n1和X21,X22,...,X2n2是分別來自于參數(shù)為(b1,θ1)和(b2,θ2)的Pareto總體的樣本,并且彼此獨立.這里,Pareto總體的密度函數(shù)為:
p(x|θi)=θibiθix-(θi+1),x>bi>0,θi>0(i=1,2)如果根據(jù)實際問題所提供的知識,有
θ1θ2
(1)
要根據(jù)以上樣本,求(1.1)式成立時,(θ1,θ2)的Bayes估計.
根據(jù)文獻(xiàn)[1],如果單樣本總體的先驗分布選取參數(shù)為(a,b)的Gamma分布時,(θ1,θ2)在約束條件(1.1)下的先驗分布為:
并且在平方損失下,后驗期望向量(E(θ1|X),E(θ2|X))為(θ1,θ2)的Bayes估計.其中X=(X11,...,X1n1,X21,...,X2n2)
設(shè)Xij服從Pareto 分布,j= 1,2,...,ni,i=1,2,Xij相互獨立.假定根據(jù)某些已知信息,有(1)式成立,則由因子分解定理及充分性原則,即可通過
來求(θ1,θ2)的Bayes估計,即(θ1,θ2)的Bayes估計為(E(θ1|T1,T2),E(θ2|T1,T2)),為此,先計算后驗密度.
引理1.2.1[3]X~Pareto(b,θ),則lnX~Exp(lnb,θ),進(jìn)而有
θ(lnT-lnb)~Exp(1)=Ga(1,1)
引理1.2.2X1,X2,...,Xn是來自Pareto(b,θ)的簡單樣本,則
命題1.2 在約束條件(1)下,當(dāng)單樣本總體的先驗分布為Gamma分布時,Pareto分布的
后驗密度為:
證明: 由引理1.2.2,(T1,T2)關(guān)于(θ1,θ2)的條件密度為
于是,(T1,T2)的邊際密度
即
化簡整理得:
m(t1,t2)=
∵
(2)
∴m(t1,t2)=
∴后驗密度
=
命題1.3 在約束條件(1)下,當(dāng)單樣本總體的先驗分布為Gamma分布時,兩個Pareto總體參數(shù)的Bayes估計為:
E(θ1|T1,T2)=
證明:
由(2)式,
同理
引理2.1 設(shè)X~Pareto(x|b,θ),抽取樣本X1,X2,...,Xn,則θ的極大似然估計為
證明: 對于樣本X1,X2,...,Xn,似然函數(shù)
設(shè)X11,X12,...,X1n1和X21,X22,...,X2n2是分別來自于參數(shù)為(b1,θ1)和(b2,θ2)的Pareto總體的樣本,并且彼此獨立.這里,Pareto分布的密度函數(shù)為:
此時樣本X11,X12,...,X1n1,X21,X22,...,X2n2的似然函數(shù)
因此,對數(shù)似然函數(shù)為
lnL(θ1,θ2)=n1lnθ1+n2lnθ2+n1θ1lnb1+
{(θ1,θ2):θ2=a1θ1}上的點,這相當(dāng)于在約束θ2=a1θ1下,求Laglange函數(shù)
的最大值點,即約束極大似然估計.由Laglange乘子法可得
解之可得θ1,θ2的極大似然估計分別為
G(θ1,θ2,a)=n1lnθ1+n2lnθ2+n1θ1lnb1+n2θ2lnb2-
的最大值點,同樣解得θ1,θ2的約束極大似然估計分別為:
在半序約束下,當(dāng)先驗分布為Gamma分布時,計算了Pareto總體參數(shù)的后驗密度,并給出了兩個Pareto總體參數(shù)的Bayes估計;在錐序約束下,根據(jù)Laglange乘子法,計算了兩個Pareto總體參數(shù)的極大似然估計.