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      約束條件下兩個Pareto總體的參數(shù)估計

      2018-11-09 09:04:38
      關(guān)鍵詞:后驗參數(shù)估計約束條件

      (吉林師范大學(xué)博達(dá)學(xué)院,吉林 四平 136000)

      0 引 言

      近年來,隨著統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展,對序約束下多個總體參數(shù)估計的研究已有很大發(fā)展.目前對k個有序正態(tài)均值的極大似然估計(MLE)、多個指數(shù)總體參數(shù)的極大似然估計、二項分布的混合估計以及最小最大估計、可容許估計等方面的問題已經(jīng)有了明確的研究成果.但現(xiàn)有研究均未考慮約束條件下兩個Pareto總體的參數(shù)估計問題.

      1 半序約束下兩個Pareto總體參數(shù)的Bayes估計

      設(shè)X11,X12,...,X1n1和X21,X22,...,X2n2是分別來自于參數(shù)為(b1,θ1)和(b2,θ2)的Pareto總體的樣本,并且彼此獨立.這里,Pareto總體的密度函數(shù)為:

      p(x|θi)=θibiθix-(θi+1),x>bi>0,θi>0(i=1,2)如果根據(jù)實際問題所提供的知識,有

      θ1θ2

      (1)

      要根據(jù)以上樣本,求(1.1)式成立時,(θ1,θ2)的Bayes估計.

      1.1 先驗分布的選取

      根據(jù)文獻(xiàn)[1],如果單樣本總體的先驗分布選取參數(shù)為(a,b)的Gamma分布時,(θ1,θ2)在約束條件(1.1)下的先驗分布為:

      并且在平方損失下,后驗期望向量(E(θ1|X),E(θ2|X))為(θ1,θ2)的Bayes估計.其中X=(X11,...,X1n1,X21,...,X2n2)

      1.2 后驗密度

      設(shè)Xij服從Pareto 分布,j= 1,2,...,ni,i=1,2,Xij相互獨立.假定根據(jù)某些已知信息,有(1)式成立,則由因子分解定理及充分性原則,即可通過

      來求(θ1,θ2)的Bayes估計,即(θ1,θ2)的Bayes估計為(E(θ1|T1,T2),E(θ2|T1,T2)),為此,先計算后驗密度.

      引理1.2.1[3]X~Pareto(b,θ),則lnX~Exp(lnb,θ),進(jìn)而有

      θ(lnT-lnb)~Exp(1)=Ga(1,1)

      引理1.2.2X1,X2,...,Xn是來自Pareto(b,θ)的簡單樣本,則

      命題1.2 在約束條件(1)下,當(dāng)單樣本總體的先驗分布為Gamma分布時,Pareto分布的

      后驗密度為:

      證明: 由引理1.2.2,(T1,T2)關(guān)于(θ1,θ2)的條件密度為

      于是,(T1,T2)的邊際密度

      化簡整理得:

      m(t1,t2)=

      (2)

      ∴m(t1,t2)=

      ∴后驗密度

      =

      1.3 Bayes估計

      命題1.3 在約束條件(1)下,當(dāng)單樣本總體的先驗分布為Gamma分布時,兩個Pareto總體參數(shù)的Bayes估計為:

      E(θ1|T1,T2)=

      證明:

      由(2)式,

      同理

      2 錐序約束下兩個Pareto總體參數(shù)的極大似然估計

      2.1 單樣本Pareto總體參數(shù)的極大似然估計

      引理2.1 設(shè)X~Pareto(x|b,θ),抽取樣本X1,X2,...,Xn,則θ的極大似然估計為

      證明: 對于樣本X1,X2,...,Xn,似然函數(shù)

      2.2 兩個Pareto總體參數(shù)的約束極大似然估計問題

      設(shè)X11,X12,...,X1n1和X21,X22,...,X2n2是分別來自于參數(shù)為(b1,θ1)和(b2,θ2)的Pareto總體的樣本,并且彼此獨立.這里,Pareto分布的密度函數(shù)為:

      此時樣本X11,X12,...,X1n1,X21,X22,...,X2n2的似然函數(shù)

      因此,對數(shù)似然函數(shù)為

      lnL(θ1,θ2)=n1lnθ1+n2lnθ2+n1θ1lnb1+

      {(θ1,θ2):θ2=a1θ1}上的點,這相當(dāng)于在約束θ2=a1θ1下,求Laglange函數(shù)

      的最大值點,即約束極大似然估計.由Laglange乘子法可得

      解之可得θ1,θ2的極大似然估計分別為

      G(θ1,θ2,a)=n1lnθ1+n2lnθ2+n1θ1lnb1+n2θ2lnb2-

      的最大值點,同樣解得θ1,θ2的約束極大似然估計分別為:

      3 結(jié) 語

      在半序約束下,當(dāng)先驗分布為Gamma分布時,計算了Pareto總體參數(shù)的后驗密度,并給出了兩個Pareto總體參數(shù)的Bayes估計;在錐序約束下,根據(jù)Laglange乘子法,計算了兩個Pareto總體參數(shù)的極大似然估計.

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